MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS

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1 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 1. Introdução A química é uma ciência cujo objeto de estudo é a Natureza. Assim, ocupa-se das ações fundamentais entre os constituintes elementares da matéria, ou seja, entre os átomos e seus componentes. Ao estudar um dado fenômeno, interessa-nos entender como variam certas propriedades ou grandezas associadas aos corpos que participam deste fenômeno. Para isso, utilizamos o Método Científico. O método científico é composto basicamente de três etapas: observação; raciocínio; e experimentação. Na primeira etapa, é feita a observação do fenômeno a ser compreendido, realizando-se experiências para repetir a observação e isolar, se necessário, o fenômeno de interesse. Na segunda etapa, propõe-se um modelo ou hipótese com o propósito de explicar e descrever o fenômeno. Finalmente, esta hipótese sugere novas experiências cujos resultados irão ou não comprovar sua veracidade. Assim, fica claro que para estudar um determinado fenômeno pelo método científico, precisamos realizar medidas quantitativas de grandezas físicas. Desta maneira, o primeiro passo para as práticas experimentais é o conhecimento e a avaliação correta das medidas observadas no laboratório. Uma medição correta depende dos instrumentos utilizados e do tratamento correto dos dados obtidos, e é o tema das seções a seguir. 2. Grandezas Físicas e Padrões de Medida Todas as grandezas físicas podem ser expressas em termos de um pequeno número de unidades fundamentais. Fazer uma medida significa comparar uma quantidade de uma dada grandeza, com outra quantidade da mesma grandeza, definida como unidade ou padrão. A escolha de padrões destas grandezas determina o sistema de unidades utilizados. O sistema utilizado pela comunidade científica é o Sistema Internacional (SI), no qual temos os seguintes padrões: Grandeza comprimento massa tempo Unidade metro (m) quilograma (kg) segundo (s) Quando dizemos, por exemplo, que um dado comprimento vale 10 m, estamos dizendo que o comprimento em questão corresponde a dez vezes o comprimento da unidade padrão, o metro. As unidades de outras grandezas, como velocidade, energia, força, torque, etc. são derivadas destas três unidades. Na tabela abaixo estão listadas algumas destas grandezas:

2 Grandeza Dimensão Unidade Força 1 kg.m/s Newton (N) Trabalho 1 N.m Joule (J) Potência 1 J.s Watt (W) Velocidade m/s Aceleração m/s 2 Volume m 3 Densidade kg/m 3 No quadro abaixo também estão listados os prefixos dos múltiplos e submúltiplos mais comuns das grandezas fundamentais, todos na base de potências de 10. Os prefixos podem ser aplicados a qualquer unidade. Assim, 10 3 s é 1 milisegundo, ou 1 ms; 10 6 Watts é 1 megawatt, ou 1MW. Múltiplo Prefixo Símbolo tera T 10 9 giga G 10 6 mega M 10 3 quilo k 10-2 centi c 10-3 mili m 10-6 micro 10-9 nano n 3. Medidas Físicas As medidas de grandezas físicas podem ser classificadas em duas categorias: medidas diretas e indiretas. A medida direta de uma grandeza é o resultado da leitura de uma magnitude mediante o uso de instrumento de medida, como por exemplo, um comprimento com uma régua graduada, ou ainda a de uma corrente elétrica com um amperímetro, a de uma massa com uma balança ou de um intervalo de tempo com um cronômetro. Uma medida indireta é a que resulta da aplicação de uma relação matemática que vincula a grandeza a ser medida com outras diretamente mensuráveis. Como por exemplo, a medida da densidade de um sólido pode ser obtida através da medida da sua massa m e do seu volume V, sendo = m/v. 4. Classificação de Erros Por mais cuidadosa que seja uma medição, e por mais preciso que seja o instrumento, não é possível realizar uma medida direta perfeita. Ou seja, sempre existe uma incerteza ao se comparar uma quantidade de uma dada grandeza física com sua unidade. Segundo sua natureza, os erros são geralmente classificados em três categorias: grosseiros, sistemáticos e aleatórios ou acidentais. Os erros grosseiros ocorrem devido à falta de prática (imperícia) ou distração do operador. Devem ser evitados pela repetição cuidadosa das medições.

3 Os erros sistemáticos são causados por fontes identificáveis, e, em princípio, podem ser eliminados ou compensados. Estes fazem com que as medidas feitas estejam consistentemente acima ou abaixo do valor real, prejudicando a exatidão da medida. Erros sistemáticos podem ocorrer devido a instrumentos mal calibrados, a métodos de observação errôneos, etc. Os erros aleatórios ou acidentais são devidos a causas diversas e incoerentes, bem como a causas temporais que variam durante observações sucessivas e que escapam a uma análise em função de sua imprevisibilidade. Podem ter várias origens, como pequenas variações das condições ambientais (pressão, temperatura, umidade, fontes de ruídos, etc.) ou fatores relacionados com o próprio observador sujeitos a flutuações, em particular a visão e a audição. 5. Teoria dos Erros O erro é inerente ao próprio processo de medida, isto é, nunca será completamente eliminado. Pode ser minimizado procurando-se eliminar o máximo possível as fontes de erros acima citadas. Portanto, ao realizar medidas, é necessário avaliar quantitativamente os erros cometidos. Aqui devem ser diferenciadas duas situações: a primeira trata de medidas diretas, e a segunda de indiretas. 5.1 Erros em medidas diretas A medida direta de uma grandeza x com seu erro estimado pode ser feita de duas formas distintas: a) Medindo-se apenas uma vez a grandeza x: neste caso, a estimativa de erro na medida, x, é feita a partir do aparelho utilizado e o resultado será obtido por: x ± x b) Medindo-se N vezes a mesma grandeza x, sob as mesmas condições físicas. Descontados os erros grosseiros e sistemáticos, os valores medidos x 1, x 2,..., x N não são geralmente iguais entre si; as diferenças entre eles são atribuídas aos erros acidentais. Neste caso, o resultado da medida é expresso como: x = x m ± x onde x m é o valor médio das N medidas e x é o erro ou a incerteza da medida. O erro x pode ser obtido de duas maneiras: 1. Erro Absoluto: 2. Desvio Padrão (): 2 x N i1 N i1 xi xm N 1 xi xm N 2 ; e 2 Outra grandeza importante é o erro relativo δ = x/x m, se considerarmos o erro absoluto, ou δ = σ/x m, se usarmos o desvio padrão. Por exemplo, se uma barra de aço tem comprimento dado por (2,5 ± 0,5) m, significa que esse comprimento é

4 comparado com o padrão denominado metro e que o erro associado à medida é de 0,5m. O erro relativo nesta medida é: 0,5/2,5 = 0,2 ou 20%. 5.2 Erros em medidas indiretas / Propagação de erros Geralmente é necessário usar valores medidos e afetados por erros para realizar cálculos a fim de se obter o valor de outras grandezas indiretas. É necessário conhecer como o erro na medida original afeta a grandeza final. Consideremos que a grandeza V a ser determinada esteja relacionada com outras duas ou mais, através da relação: V = f (x ± x, y ± y,...) onde f é uma relação conhecida de x ± x, y ± y,... Neste caso, a propagação de erros depende das operações realizadas entre x e y para a obtenção da grandeza V. Adição: V ± V = (x m ± x) + (y m ± y) = (x m + y m ) ± ( x + y) Subtração: V ± V = (x m ± x) (y m ± y) = (x m y m ) ± ( x + y) Multiplicação: V ± V = (x m ± x) (y m ± y) = (x m y m ) ± (x m y + y m x) x± Dx Divisão: V ± DV = y± Dy = x m ± 1 y m y (x Dy+ y Dx) 2 m m m onde todos os termos posteriores ao sinal ± são tomados em valor absoluto, ou seja, todos os termos pertencentes ao erro são positivos e sempre se somam. 6. Algarismos Significativos A medida de uma grandeza física é sempre aproximada, por mais capaz que seja o operador e por mais preciso que seja o aparelho utilizado. Esta limitação reflete-se no número de algarismos que usamos para representar as medidas. Ou seja, só utilizamos os algarismos que temos certeza de estarem corretos, admitindo-se apenas o uso de um algarismo duvidoso. Assim, por exemplo, se afirmamos que o resultado de uma medida é 3,24 cm, estamos dizendo que os algarismos 3 e 2 são corretos e que o algarismo 4 é duvidoso, não tendo sentido físico escrever qualquer algarismo após o 4. Ex.:

5 O número de algarismos significativos numa medida vai depender da precisão do instrumento realizado. Por exemplo, na Figura abaixo, a medida do comprimento x lida pela Régua 1 é 3,7 cm (temos certeza que o comprimento x é maior que 3 cm e menor que 4 cm, mas podemos apenas estimar o valor após a vírgula); enquanto que para a Régua 2 podemos escrever 3,72 cm (temos certeza que o comprimento está entre 3,7 cm e 3,8 cm, mas podemos apenas estimar o algarismo entre estas duas grandezas). Algumas observações devem ser feitas: 1. Não é algarismo significativo o zero à esquerda do primeiro algarismo significativo diferente de zero. Assim, tanto 32,5 cm como 0,325 m representam a mesma medida e tem 3 algarismos significativos. Outros exemplos: 5 = 0,5x10 = 0,05x10 2 = 0,005x10 3 (1 algarismo significativo ) 26 = 2,6 x 10 = 0,26 x 10 2 = 0,026x10 3 (2 algarismos significativos) 0, = 0,34606x10 3 = 3,4606x10 4 (5 algarismos significativos) 2. O zero à direita de um algarismo significativo também é algarismo significativo. Portanto, 32,5 cm e 32,50 cm são diferentes, ou seja, a primeira medida tem 3 algarismos significativos, enquanto a segunda é mais precisa e tem 4 algarismos significativos. 3. Quando tratamos apenas com matemática, podemos dizer, por exemplo, que 5 = 5,0 = 5,00 = 5,000. Contudo, ao lidarmos com resultados de medidas devemos sempre lembrar que 5 cm 5,0 cm 5,00 cm 5,000cm, já que estas medidas tem 1, 2, 3 e 4 algarismos significativos, respectivamente. Em outras palavras, a precisão de cada uma delas é diferente. 4. Arredondamento: Quando for necessário fazer arredondamento de algum número, utilizamos a seguinte regra: quando o último algarismo significativo for menor ou igual a 5 este é abandonado; quando o último algarismo significativo for maior que 5, somamos 1 unidade ao algarismo significativo anterior.

6 Ex.: 8,234 cm é arredondado para 8,23 cm 8,235 cm é arredondado para 8,23 cm 8,238 cm é arredondado para 8,24 cm 5. Potências de 10 (notação científica): Ás vezes, os zeros que aparecem como últimas cifras indicam apenas a ordem de grandeza da medida. Por exemplo, poderia ter apenas dois algarismos significativos (7 e 4) e os três zeros a direita indicam apenas o milhar. Ou então, poderia mesmo ser uma medida com cinco algarismos significativos (7, 4 e os três 0). Para evitar esse tipo de confusão, costumase escrever o número em potencias de 10: 74x10 3 significa que temos dois algarismos significativos. Se a medida foi realizada com um equipamento realmente capaz de medir cinco algarismos significativos, escrevemos O uso de potencias de 10 é indispensável quando lidamos com grandezas muito grandes ou muito pequenas: 6,02x10 23 (número de Avogadro) ou 1,27x10-27 kg (massa do próton), etc. Portanto, quando se escreve um número em potencia de 10, o primeiro fator deve indicar os algarismos significativos, e o segundo fator nos diz de quantos zeros deve-se deslocar a vírgula. 6.1 Operações com algarismos significativos a) Soma e subtração: Primeiro devemos reduzir todas as parcelas à mesma unidade. O resultado da adição e subtração de dois números não pode ter maior número de casas decimais que a parcela mais pobre (em casas decimais). Procede-se a operação normalmente e arredonda-se o resultado. Ex.: 2,653 m + 53,8 cm cm + 3,782 m = 2,653 m + 0,538 m + 3,75 m + 3,782 m = 10,72 m. 3,765 cm + 2,8 cm + 3,21 cm = 9,775 cm = 9,8 cm. 133,35 cm - 46,7 cm = 86,65 cm = 86,6 cm. Neste item sugere-se que as contas sejam feitas mantendo todos os algarismos significativos e os arredondamentos necessários sejam feitos no resultado da operação. b) Multiplicação e divisão: a regra é dar ao resultado da operação o mesmo número de algarismos significativos do fator que tiver o menor número de algarismos significativos. O resultado de uma multiplicação e divisão não pode ter maior número de algarismos significativos que o fator mais pobre (em algarismos significativos). Procede-se a operação normalmente e arredonda-se o resultado. Ex.: 32,74 cm x 25,2 cm = 825,048 cm 2 = 825 cm 2. 32,74 cm 2 x 3,8 cm = 124,412 cm 3 = 1,2 x 10 2 cm 3. 37,32 m / 7,45 s = 5,00940 m/s = 5,01 m/s. 6.2 Algarismos significativos em medidas com erro Suponhamos que uma pessoa ao fazer uma série de medidas do comprimento l de uma barra, tenha obtido os seguintes resultados: - comprimento médio, l m = 82,7390 cm - erro estimado, l = 0,538 cm

7 Como o erro da medida está na casa dos décimos de cm, não faz sentido fornecer os algarismos correspondentes aos centésimos, milésimos de cm e assim por diante. Ou seja, o erro estimado de uma medida deve conter apenas o seu algarismo mais significativo. Os algarismos menos significativos de erro são utilizados apenas para efetuar arredondamento ou simplesmente são desprezados. Neste caso l deve ser expresso apenas por: l = 0,5 cm Os algarismos 8 e 2 do valor médio são exatos, porém o algarismo 7 já é duvidoso porque o erro estimado afeta a casa que lhe corresponde. Deste modo, os algarismos 3 e 9 são desprovidos de significado físico e não é correto escrevê-los: estes algarismos são utilizados para efetuar arredondamento ou simplesmente são desprezados. O modo correto de escrever o resultado final desta medida será: l = (82, 7 ± 0, 5) cm Nos casos em que o erro da medida não é estimado devemos também escrever os algarismos significativos da grandeza mensurada com critério. Exercícios: 1. Escreva a medida x = 0,3002 cm com dois algarismos significativos e em notação científica. 2. Qual o resultado da operação S = 1,3m + 1,007m + 12,18m? 3. Qual a área A de um retângulo, cujos lados medem, a = 12,4200 cm e b = 6,10 cm? 4. O intervalo de tempo de um ano corresponde a quantos segundos? Dê sua resposta em notação científica e com dois algarismos significativos. 5. Numa série de 10 medições da espessura de uma chapa, foram obtidos os seguintes valores: 1,43 cm, 1,45 cm, 1,44 cm, 1,47 cm, 1,46 cm, 1,43 cm, 1,44 cm, 1,46 cm, 1,43 cm, 1,44 cm. Calcule o valor médio e os desvios das medidas individuais. 6. Preencha a Tabela 1 do Experimento Medidas e Algarismos Significativos com os resultados encontrados para os retângulos W, X, Y e Z, escrevendo o número correto de algarismos significativos em cada medida. 7. Calcule o perímetro dos retângulos W, X, Y e Z, escrevendo o valor final com o número correto de algarismos significativos. Utilize os dados da Tabela 1, calculando os perímetros com os resultados obtidos utilizando a régua A e a régua B. Houve alguma diferença nos valores? Por quê?