LABORATÓRIO DE HIDRÁULICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS CENTRO DE TECNOLOGIA LABORATÓRIO DE HIDRÁULICA Vladimir Caramori Josiane Holz Irene Maria Chaves Pimentel Davyd Henrique de Faria Vidal Guilherme Barbosa Lopes Júnior Marllus Gustavo F. Passos das Neves Maceió - Alagoas Maio de 01

2 Laboratório de Hidráulica Aula prática 01 Medidas e erros Aula prática 01: MEDIDAS E ERROS 1 - INTRODUÇÃO Uma medida eperimental é satisfatoriamente representada quando, a esta medida é atribuído um erro, ao qual a medida está sujeita. Quando efetuamos uma medida ou várias medidas, nas mesmas condições, de uma mesma grandeza, o valor dessa grandeza deve ser epresso pela relação: = ( ± σ )unidade (1) onde representa a estimativa intervalar e a média dos valores medidos é a estimativa pontual do valor real procurado, ou seja, espera-se que o valor real da medida esteja no intervalo acima. O chamado erro padrão σ é inversamente proporcional ao número de medições realizadas, de forma que, quanto maior a amostra, menor o intervalo acima e assim mais preciso o valor, isto é, a média fica cada vez mais próima do valor real procurado. Para os casos onde é realizada uma única medida, é a própria medida e para várias medidas é a média dos valores medidos. A equação e o que foi dito acima têm origem na teoria das distribuições amostrais da estatística e representam o chamado teorema do limite central. Este possibilita dizer que, para um número grande de observações, as flutuações aleatórias, para cima ou para baio, fazem com que aproimadamente a metade das medidas realizadas esteja desviada para mais, e a outra metade esteja desviada para menos, afetando a precisão da medida Na prática, isto é utilizado para avaliar a incerteza nas medidas de instrumentos. Em uma única medida, o termo σ (erro padrão para várias medidas), chamado de incerteza, é estimado como a metade da menor medida do instrumento. - MEDIDAS As medidas podem ser classificadas em dois tipos, diretas e indiretas suas definições são especificadas a seguir. Medidas diretas: são aquelas obtidas diretamente do instrumento de medida. Como eemplos podem ser citados: comprimento e tempo, sendo realizadas diretamente de trenas e cronômetros, respectivamente. Medidas indiretas: são aquelas obtidas a partir das medidas diretas, com o auílio de equações. Por eemplo: a área de uma superfície, volume de um corpo ou a vazão de um rio ou canal. 3 - ERRO EXPERIMENTAL Conceitualmente, o erro eperimental é a diferença entre o real valor de uma grandeza física (peso, área, velocidade...) e o respectivo valor dessa grandeza obtido através de medições eperimentais. Mesmo que o eperimento seja realizado com o máimo de cuidado, há sempre fontes de erro que podem afetá-la. Os erros eperimentais podem ser de dois tipos: erros sistemáticos e erros aleatórios. 3.1 Erros Sistemáticos São causados por fontes identificáveis; em princípio, podem ser eliminados ou compensados. Estes erros fazem com que as medidas feitas estejam consistentemente acima ou abaio do valor real, prejudicando a eatidão da medida.

3 Laboratório de Hidráulica Aula prática 01 Medidas e erros 3 Decorre de uma imperfeição no equipamento de medição ou no procedimento de medição, pode ser devido a um equipamento não calibrado. 3. Erros aleatórios Estes erros decorrem de fatores imprevisíveis. São flutuações, para cima ou para baio, que fazem com que aproimadamente a metade das medidas realizadas esteja desviada para mais, e a outra metade esteja desviada para menos, afetando a precisão da medida. Decorre da limitação do equipamento ou do procedimento de medição, que impede que medidas eatas sejam tomadas. Nem sempre é possível identificar as fontes de erros aleatórios. Precisão é quando, pressupõe-se que, se a mesma for repetida várias vezes a variação da mesma em relação ao valor médio medido é baia. A acurácia ou eatidão está associada a ausência de erros sistemáticos, mantendo as medidas em torno do valor real. Portanto, quando o conjunto de medidas realizadas se afasta muito da média, a medida é pouco precisa e o conjunto de valores medidos tem alta dispersão (Figuras 1 a e 1b). Quando as mesmas estão mais concentradas em torno da média diz-se que a precisão da medida é alta (Figuras 1 c e 1d), e os valores medidos tem uma distribuição de baia dispersão. a) Baia precisão e baia eatidão b) Baia precisão e alta eatidão c) Alta precisão e baia eatidão d) Alta precisão e alta eatidão Figura 1: Representação da precisão e eatidão em medidas eperimentais 4 - TRATAMENTO ESTATÍSTICO DE MEDIDAS COM ERROS ALEATÓRIOS Como os erros aleatórios tendem a desviar aleatoriamente as medidas feitas, se forem realizadas muitas medições aproimadamente a metade das medidas feitas estará acima e metade estará abaio do valor correto. Isto vem do chamado teorema do limite central, da estatística. Se a população de onde as amostras foram retiradas segue uma distribuição normal ou se o tamanho da amostra for grande (maior que 30 na prática), a média aritmética é um bom estimador da média populacional e ainda, a dispersão em torno dela é pequena, de forma que o valor obtido pela média aritmética dos valores medidos se torna uma boa estimativa para o valor correto da grandeza (valor da população): = 1 N N i 1= i () Ao serem realizadas várias medições da mesma grandeza nas mesmas condições, a incidência de erros aleatórios faz com que os valores medidos estejam distribuídos em torno da média. A dispersão do conjunto de medidas realizadas pode ser caracterizada através do desvio padrão amostral, definido como:

4 Laboratório de Hidráulica Aula prática 01 Medidas e erros 4 S = n ( ) i i= 1 (3) n 1 Conjuntos de medidas com desvio padrão baio são mais precisas do que quando o desvio padrão é alto. Quanto maior o número de medidas realizadas maior será a precisão, devido a compensação dos erros aleatórios. O erro padrão da média Doravante, o mesmo será representado por: σ (ver equação 1) é definido como S = Sm = (4) n S σ =. N onde n é o tamanho da amostra ou o número de medições realizadas. Observa-se através da equação 4 que o erro padrão da média diminui com a raiz quadrada de n. Portanto, quanto maior o número de medições melhor é a determinação do valor médio. O erro percentual ou relativo ao qual está submetida a medida, epresso em porcentagem, é obtido através da epressão: ( ) r = 100% (5) Como propagar os erros obtidos por medidas diretas nas medidas indiretas? Como propagar os erros de medidas (diretas) de comprimentos na determinação de um volume (medidas indiretas)? O tópico a seguir tratará deste assunto. 5 - PROPAGAÇÃO DE ERROS EM CÁLCULOS Como anteriormente mencionado, algumas medidas são obtidas através de equações (medidas indiretas), com base em medições realizadas diretamente de equipamentos (medidas diretas). Portanto, junto com as medidas são carregados também os erros, tornando necessário o conhecimento de como o erro da medida original pode afetar a grandeza final. 5.1 SOMA E SUBTRAÇÃO DE GRANDEZAS COM ERRO A análise estatística rigorosa mostra que ao somarmos ou subtrairmos grandezas estatisticamente independentes o erro no resultado será dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos erros de cada uma das grandezas. Por eemplo, se tivermos três grandezas: ±, y ± y e z ± z w = + y + z a soma (ou subtração) delas, será afetada por erro de valor: w + = ( ) + ( y) ( z) (6)

5 Laboratório de Hidráulica Aula prática 01 Medidas e erros 5 Como aproimação, pode-se usar que, se o erro de uma das grandezas da soma (ou subtração) for consideravelmente maior que os das outras, >> y, z por eemplo, o erro do resultado será dado por este erro: w 5. MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE GRANDEZAS COM ERROS Neste caso, o erro relativo do resultado será dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos erros relativos de cada fator. Por eemplo, se w = /y teremos: w w y = + (7) y 5.3 ERROS EM FUNÇÕES DE GRANDEZAS AFETADAS POR ERROS Frequentemente, é necessário estimar qual é o erro que afeta uma variável y que é uma função de, y = f(), quando se conhece o erro na determinação de. Quando a função for bem comportada nas vizinhanças do ponto de interesse, pode-se estimar o erro y em y de duas maneiras: 1 - O método da força bruta consiste em calcular o valor de y em, e em +, obtendo-se: y + y = f( + ) y y = f( ) de onde se calcula: f( + ) f( ) y = (8) - O método clássico usa a noção de derivada da função, e supõe que erro seja suficientemente pequeno para que possamos escrever: y = df d = (9) 6 - ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS A medida de uma grandeza física é sempre aproimada, por mais capaz que seja o operador e por mais preciso que seja o aparelho utilizado. Para representarmos uma medida usamos algarismos. Além de utilizarmos algarismos que temos certeza de estarem corretos, admite-se o uso de apenas um algarismo duvidoso. O número de algarismos significativos está diretamente ligado à precisão da medida, ou seja, quanto mais precisa a medida maior é o numero de algarismos significativos. Eemplo: Se o resultado de uma medida é 3,4cm, os algarismos 3 e são corretos e o algarismo 4 é o duvidoso não tendo sentido físico escrever qualquer algarismo após o 4. Observações importantes em relação aos algarismos significativos:

6 Laboratório de Hidráulica Aula prática 01 Medidas e erros 6 1. A presença de vírgula (casas decimais) no valor de uma medida não é considerada ao se tratar da identificação de algarismos significativos. Por eemplo, uma medida de 7,45 cm possui duas casas decimais, mas três algarismos significativos.. Não é algarismo significativo o zero a esquerda do primeiro algarismo significativo diferente de zero. 3. Zero a direita de algarismo significativo também é algarismo significativo. 4. É significativo o zero situado entre algarismos significativos. 5. Quando tratamos apenas com matemática, podemos dizer por eemplo, que 5; 5,0; 5,00 e 5,000 são iguais. Entretanto, ao lidarmos com resultados de medidas devemos sempre lembrar que 5 cm; 5,0 cm; 5,00 cm e 5,000 cm são diferentes, pois a precisão de cada uma delas é diferente. 6. Arredondamento: Quando for necessário fazer arredondamento de algum número, utiliza-se a seguinte regra: - quando a direita do último algarismo significativo for menor a 5 este é abandonado; - quando a direita do último algarismo significativo for maior ou igual a 5, somamos 1 unidade ao algarismo significativo anterior. 7. Operações com algarismos significativos: - Soma e subtração: Primeiro devemos reduzir todas as parcelas a mesma unidade. Após isto, deve-se observar qual a parcela que possui o menor número de casas decimais, esta deve ser mantida e as demais devem ser arredondadas para o mesmo número de casas decimais. Após deve ser realizada a soma. - Produto e divisão: A regra é dar ao resultado da operação o mesmo número de casas decimais do fator que tiver o menor número das mesmas. Portanto, a operação deve ser realizada da forma em que são apresentadas e o arredondamento é realizado no resultado. 8. Algarismos significativos em medidas de erro: se o erro da medida esta na casa dos décimos, por eemplo, não faz sentido fornecer os algarismos correspondentes aos centésimos e milésimos. 7 - EXERCÍCIO Os dados abaio foram coletados para o ensaio de vertedores, com o objetivo de calibrar uma curva eperimental de vazão dos vertedores em função da carga nos mesmos, que é definida aqui de forma simplificada como sendo a profundidade à montante do vertedor menos a altura da soleira do vertedor. Para a resolução deve ser utilizada a seguinte fórmula (Francis, 1883): Q onde: Q é a vazão do vertedor em m 3 /s; L é a largura do vertedor em m; H é a carga em m. 1,5 = 1,838 L H (10) Para diferentes valores de profundidade foi medida a velocidade de escoamento por meio de um molinete (Tabela 1). A equação do molinete, apresentada abaio, relaciona o número de rotações por segundo e a velocidade. Para determinar a vazão associada a essa medição de velocidade, multiplica-se essa velocidade pela área transversal do escoamento. A área de escoamento é definida como o produto dos valores da coluna "Cota da superfície" pela "Largura do Canal". A carga do vertedor, por sua vez, é definida como a diferença entre os valores da coluna "Profundidade da seção" e o valor da "Cota da soleira do vertedor".

7 Laboratório de Hidráulica Aula prática 01 Medidas e erros 7 Com esses dados, calcule para cada um dos valores de leitura eperimental, fazendo a correspondente propagação dos erros eperimentais: 1. A velocidade de rotação do molinete em rotações por segundo. Os valores de velocidade V de escoamento em m/s 3. As áreas de escoamento A em m 4. A vazão Q de cada uma das leituras em m 3 /s (a partir dos dados abaio) 5. As cargas hidráulicas H no vertedor Com esses dados obtidos, desenhe o gráfico dos pontos eperimentais de Q H com as respectivas barras de erro. No mesmo gráfico, desenhe uma linha contínua com a previsão teórica a partir da equação de Francis. Compare com os valores calculados a partir da equação de Francis e analise a aplicabilidade dessa equação aos dados coletados. Tabela 1: Dados do eperimento de vertedores Leitura Cota da superfície (cm) Profundidade da seção (cm) Profundidade do molinete (cm) Rotação do molinete Tempo (s) ,860 ± 0,005 0,600 ± 0,005 8,0 ± 0,5 135,0 ± 0,3 60,0 ± 0,5 3 1,630 ± 0,005 1,395 ± 0,005 8,5 ± 0,5 160,0 ± 0,3 60,0 ± 0,5 4 3,455 ± 0,005 3,60 ± 0,005 9, ± 0,5 04,3 ± 0,3 60,0 ± 0,5 5 4,70 ± 0,005 4,90 ± 0,005 9,7 ± 0,5 43,0 ± 0,3 60,0 ± 0,5 6 6,95 ± 0,005 5,750 ± 0,005 10,3 ± 0,5 306,0 ± 0,3 60,0 ± 0,5 Largura do canal: (30,00 ± 0,005) cm Cota do fundo do canal: (-0,095 ± 0,005) cm Cota da soleira do vertedor: (15,095 ± 0,005) cm Número da hélice do vertedor: 1 Número do molinete: Equação do molinete: v = 0,056 m + 0,038 v = 0,0545 m + 0,049,para,para m < 6,47 m > 6,47 (11) onde m é o número de rotações por segundo 8 - BIBLIOGRAFIA UNB. Apostila do Curso de Hidráulica Eperimental, ª versão. Universidade Federal de Brasília, Faculdade de Tecnologia, Departamento de Engenharia Civil e Ambiental. Brasília DF, 007. UNICAMP. Guia para Física Eperimental. Caderno de laboratório, Gráficos e Erros. Universidade de Campinas, Intituto de Física. Campinas SP, UEM. Manual de Laboratório. Universidade Estadual de Maringá, Departamento de Física. Maringá PR, 007. UFJF. Medidas físicas. Universidade Federal de Juiz de Fora. Instituto de Ciências Eatas. Departamento de Física. Juiz de Fora MG, 007. CAUDURO, F.A. & DORFMAN, R. Manual de Ensaios de Campo para Irrigação e Drenagem. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Instituto de Pesquisas Hidráulicas. Porto Alegre / RS, [1995].