MEDIDAS E INCERTEZAS

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1 MEDIDAS E INCERTEZAS O Que é Medição? É um processo empírico que objetiva a designação de números a propriedades de objetos ou a eventos do mundo real de forma a descrevêlos quantitativamente. Outra forma de eplicar este processo é comparar a quantidade, ou variável desconhecida, com um padrão definido para este tipo de quantidade, implicando então num certo tipo de escala.

2 Tipos de medidas Medida Nominal Quando duas quantidades do mesmo tipo são comparadas para saber se são iguais (E. duas cores, acidez de dois líquidos) Medida Ordinal Quando é necessário ter informação a tamanhos relativos (E. Classificação por peso e altura de uma turma) Medida em Intervalos Quando deseja-se uma informação mais especifica, envolve-se então uma certa escala, sem incluir pontos de referência ou zero. (E. no caso anterior usar a escala de metros e quilogramas) Medidas Normalizadas Define-se um ponto de referência e realiza-se a razão, dividindo cada medida pelo valor de referência, determinando as magnitudes relativas. (E. O maior valor obtido será 1, quando foi escolhido como referência o valor máimo medido). Medidas Cardinais O ponto de referência é comparado com um padrão definido. Assim todo parâmetro físico pode ser medido contra uma referência padrão, como o Sistema Internacional de Medidas, o SI.

3 SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES SI

4 O Processo de Medida Operador: - Conhecimento do processo de medida - Escolha adequada do instrumento - Domínio do instrumento de medida O Conceito de Medida Os erros das medidas não podem ser completamente eliminados, conseqüentemente, não é possível conhecer o valor verdadeiro de uma grandeza. Por este motivo o valor de uma medida é representado por um intervalo de valores.

5 Epressão da Medida de uma Grandeza Quando Apenas uma Medida é Efetuada. Quando é efetuada apenas uma medida de uma grandeza a epressão da medida é condicionada à resolução do instrumento de medida. Como não é possível encontrar o valor verdadeiro de uma medida, ele é delimitado por um valor máimo e um mínimo, apontados pelo instrumento de medida. mín má Define-se: - Precisão do instrumento (função do intervalo de confiança [ mín : má ]): p má - mín (1.1) - Incerteza da medida: p má δ mín (1.)

6 Eiste uma probabilidade muito grande de que o valor verdadeiro esteja entre mín e má. mín < verdadeiro < má. (1.3) mín má Como o valor verdadeiro não é conhecido então, faz-se uma estimativa da medida por meio do valor médio do intervalo,, e da incerteza do instrumento δ : δ < verdadeiro ± δ < + δ Intervalo de confiança

7 Eemplo: Medir o comprimento de uma peça retangular: m Objeto a ser medido Observa-se que a medida m está no intervalo: 0 cm m 5 cm ; O intervalo [0cm:5cm] é conhecido como Intervalo de confiança. Ele é, no mínimo, igual à precisão do equipamento. Neste caso, 5 unidades. Com este intervalo, determina-se a Incerteza e o valor médio do intervalo de confiança m. cm Incerteza δ Intervalo de confiança Valor da medida δ m má m mín 5 0, 5 m m m ± δ (, 5 ±, 5)cm m m má + m mín 5 + 0, 5 Eercício 1 Eercício

8 1.. EXPRESSÃO DAS MEDIDAS QUANDO VÁRIAS MEDIDAS SÃO EFETUADAS Média Aritmética A média aritmética é, de modo geral, a mais importante de todas as mensurações numéricas descritivas (TRIOLA, 1999, p. 31). Durante todo este trabalho ela será designada simplesmente por média. n i 1 n 1... Desvio Padrão O desvio padrão é a mais importante e mais útil medida da variação dos valores de uma amostra (TRIOLA, p. 38), pois ele considera todos os valores da amostra. O desvio padrão é um estimador das incertezas das medidas. i

9 a- Desvio Padrão Amostral É utilizado quando se analisa uma amostra de uma população. s n n ( i ) i 1 i 1 n 1 δ i n 1 sendo δ i, o desvio da i-ésima medida em relação à média, o qual é epresso por: δ i i b- Desvio Padrão Populacional É utilizado quando todos os elementos de um conjunto participam da análise (população). n n (i ) i 1 i 1 σ n δ n i

10 c- Desvio Padrão do Valor Médio. Quando houver uma distribuição normal, o desvio padrão do valor médio, que também é denominado por erro-padrão da média ( TRIOLA, 1999, p. 19), é definido por: σ n i 1 ( i ) n( n 1) n i 1 δ i n( n 1) Atenção: Normalmente as calculadoras eletrônicas, bem como alguns softwares, disponibilizam para o usuário o cálculo de s (desvio padrão amostral) e o de σ (desvio padrão populacional). Cabe ao usuário determinar o desvio padrão do valor médio, a partir destes.

11 1..3. Valor da medida A epressão do valor da medida, conforme cada caso, é dada por: ± s, ± σ ou ± σ, Normalmente, o desvio padrão, que nós devemos utilizar nas nossas práticas é o do valor médio: então, σ ± σ

12 1.3. Eemplos Determinar a altura média dos alunos da classe, considerando uma amostra de 5 alunos, escolhidos aleatoriamente: Problemas Propostos

13 Algarismos Significativos São todos os algarismos obtidos no processo de medida. Os zeros incluídos para localizar o ponto decimal não são significativos (zeros à esquerda). E.: 1945,1 (5 algarismos significativos) 0,00034 ( algarismos significativos) 1000 (4 algarismos significativos) 10 5 (1 algarismo significativo) 4, (4 algarismos significativos) Em geral, a Incerteza deve conter apenas UM (1) algarismo significativo. Logo: A incerteza deve ser arredondada após a sua determinação.

14 Mudanças de Unidade - Ao mudar a unidade de uma medida é importante não alterar o número de algarismos significativos E.: 46 cm 0,46 m (Está correto) 46 cm 460 mm (está errado pois aumentou o número de algarismos significativos) - A notação em potência de dez evita este problema 46 cm mm Por convenção apenas a mantissa tem algarismos significativos - A notação científica também soluciona este problema 46 cm 4,6 10 mm

15 Critérios de Arredondamento O critério de arredondamento a ser utilizado é o mesmo empregado por calculadoras científicas e programas afins. Se o número à direita do ponto de arredondamento é: 0, 1,, 3, 4 Simplesmente elimina-se a parte a direita E.: dado o número 0, Arredondando para 8 casas depois da vírgula 0, Arredondando para 4 casas depois da vírgula 0,5637 Arredondando para casas depois da vírgula 0,56 5, 6, 7, 8, 9 Incrementa o algarismo à esquerda e elimina a parte à direita. E.: dado o número 0, Arredondando para 7 casas depois da vírgula 0, Arredondando para 5 casas depois da vírgula 0,56373 Arredondando para 1 casa depois da vírgula 0,6 Eercícios

16 Usando o Arredondamento para Representar Medidas Como a Incerteza de uma medida só deve ter um algarismo significativo então a medida anterior fica: - Medida Anterior Opção A mais simples (a que nós empregamos) Tensão (0, , ) V Ajustando a Incerteza para 1 algarismo significativo Tensão (0, ,0006) V Para ajustar o valor médio da medida basta ver quantas casas decimais depois da vírgula eistem na incerteza (4 neste caso) Logo o valor da medida deve ser ajustado para 4 casas decimais com o arredondamento necessário Então: Tensão (0, ,0006) V (Resultado Final) OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE Os arredondamentos somente devem ser efetuados no final de todas as contas. Razão: cada arredondamento introduz erro (pequeno) mas que ao longo de diversas contas pode resultar em um número sem significado físico.

17 Operações Matemáticas com Medidas Sempre que uma operação matemática é efetuada com duas medidas o resultado deve considerar as incertezas de cada medida a fim de determinar a incerteza do resultado da operação. Eiste uma formulação genérica que permite determinar a incerteza em qualquer operação matemática efetuada com uma ou mais medidas. Esta formulação leva em consideração os valores máimo e mínimo da operação. E.: Supondo duas medidas com suas respectivas incertezas conforme: A a + δa B b + δb Adição ( δ ) ( δ ) A+ B a± a + b± b ( a+ b) ± Maior valor que a operação pode assumir ( δ ) ( δ ) Ma a + a + b + b Menor valor que a operação pode assumir ( δ ) ( δ ) Min a a + b b [ Ma Min]

18 Eemplo de adição: A 14, + 0, B 5,3 + 0,1 A + B ( ) ( ) A+ B 14, ± 0, + 5,3 ± 0,1 (14, + 5,3) ± Maior valor que a operação pode assumir ( ) ( ) Ma 14,+ 0, + 5,3+ 0,1 14,4+ 5,4 19,8 Menor valor que a operação pode assumir ( ) ( ) Min 14, 0, + 5,3 0,1 14,0 + 5, 19, [ Ma Min] 19,8 A+ B 19,5 ± [ 19, ] 19,5 ± 0,3 Cálculos via Ecel Via programa do site

19 Subtração: A 14, + 0, B 5,3 + 0,1 A B ( δ ) ( δ ) A B a± a b± b ( a b) ± Maior valor que a operação pode assumir ( δ ) ( δ ) Ma a + a b b ( δ ) ( δ ) (cuidado com os sinais) Menor valor que a operação pode assumir Min a a b + b (cuidado com os sinais) [ Ma Min] ( ) ( ) A B 14, ± 0, 5,3 ± 0,1 (14, 5,3) ± Maior valor que a operação pode assumir ( ) ( ) Ma 14,+ 0, 5,3 0,1 14,4 5, 9, Menor valor que a operação pode assumir ( ) ( ) Min 14, 0, 5,3+ 0,1 14,0 5,4 8,6 [ Ma Min] [ 9, 8,6] A B 8,9 ± 8,9 ± 0,3 Cálculos via Ecel Via programa do site

20 Multiplicação: A 14, + 0, B 5,3 + 0,1 A B a± a b± b ( a b) ± A B ( δ ) ( δ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Maior valor que a operação pode assumir ( δ ) ( δ ) Ma a + a b + b Menor valor que a operação pode assumir ( δ ) ( δ ) Min a a b b A B 14, ± 0, 5,3 ± 0,1 (14, 5,3) ± Maior valor que a operação pode assumir Ma 14, + 0, 5,3 + 0,1 14, 4 5, 4 77,76 Menor valor que a operação pode assumir Min 14, 0, 5,3 0,1 14,0 5, 7,8 [ Ma Min] [ Ma Min] 77, 75,6 ± [ 76 7,8 A B ] 75,6±,48 75± Cálculos via Ecel Via programa do site

21 A B Divisão: A 14, + 0, B 5,3 + 0,1 A : B ( ) ( ) ( + ) ( ) [ Ma Min] 14, ± 0, 14, ± 5,3 ± 0,1 5,3 Maior valor que a operação pode assumir 14, 0, 14,4 Ma,7693 5,3 0,1 5, Menor valor que a operação pode assumir 14, Min ( 0, ) 14,0,5959 5,3 + 0,1 5, 4 A B ( ) [,7693,5959] ( δ ) ( δ ) ( a+ δ a) ( b δ b) ( a δ a) ( b+ δ b) [ ] A a± a a Ma Min ± B b± b b Maior valor que a operação pode assumir Ma (cuidado com os sinais) Menor valor que a operação pode assumir Min (apenas as 5 primeiras casas decimais) (apenas as 5 primeiras casas decimais),6794 ±,6794 ± 0,0883,68 ± 0,09 (cuidado com os sinais) Cálculos via Ecel Via programa do site

22 Eponenciação: B 5,3 + 0, B 3 ( δ ) ( 5,3 0,1) ( 5,3) 3 3 ( ) ( ) 3 3 ( ) ( ) 3 3 [ Ma Min] 3 B ± ± Maior valor que a operação pode assumir Ma 5,3 + 0,1 5, 4 157,464 Menor valor que a operação pode assumir Min 5,3 0,1 5, 140,608 ( δ ) ( δ ) 3 3 [ Ma Min] B b± b b ± Maior valor que a operação pode assumir Ma b + b Menor valor que a operação pode assumir Min b b B [ 157, ,608] 148,877 ± 148,877 ± 8,48149 ± 8 Cálculos via Ecel Via programa do site

23 Eercício cio: Um paralelepípedo retângulo, de base quadrada, possui massa m (550,4 + 0,7)g. As suas arestas da base medem A (54,80 ± 0,01)mm e a altura h (34,0 ± 0,0)mm. Determine: Área da base: S Base Volume: V Densidade: ρ Cálculos via Ecel Via programa do site

24 Fim