FÍSICA EXPERIMENTAL III TEORIA DE ERROS

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1 FÍSICA EXPERIMENTAL III José Fernando Fragalli Departamento de Física Udesc/Joinville TEORIA DE ERROS A Ciência está escrita neste grande livro colocado sempre diante dos nossos olhos o Universo mas não podemos lê-lo sem aprender a linguagem e entender os símbolos em termos dos quais está escrito. Este livro está escrito na linguagem matemática Galileu Galilei

2 1. Introdução O Método Científico 2. Algarismos Significativos 3. Precisão do Instrumento de Medida 4. Prefios do SI e Notação Científica 5. Critérios de Arredondamento 6. Operações com Algarismos Significativos 7. Teoria de Erros 8. Propagação de Erros

3 1. INTRODUÇÃO O MÉTODO CIENTÍFICO O Método Científico Definir e/ou indentificar o problema Formar uma hipótese Fazer observações (Medidas de grandezas físicas) Organizare analisardados (Tratamento de Dados) Os eperimentos e observações suportam a hipótese? Não Testar hipótese/fazer eperimentos Novos eperimentos Erro nos eperimentos? Sim! Fazer conclusões Publicar resultados 3

4 1. INTRODUÇÃO O MÉTODO CIENTÍFICO Filosofia básica no laboratório A person with a watch knows what time it is. A person with two watches is never sure. 4

5 1. Introdução O Método Científico 2. Algarismos Significativos 3. Precisão do Instrumento de Medida 4. Prefios do SI e Notação Científica 5. Critérios de Arredondamento 6. Operações com Algarismos Significativos 7. Teoria de Erros 8. Propagação de Erros

6 Definições Como vimos, todas as medidas que realizamos trazem consigo um erro associado ou ao instrumento de medida ou ao processo de medição, ou a ambos. Neste sentido, os erros podem ser divididos em três tipos: a) erros sistemáticos; b) erros aleatórios; c) erros de escala. 6

7 Definições Erro sistemático ( SIS ): ocorrem quando todos os valores medidos são muito maiores ou muito menores do que o valor real esperado. Erro aleatório ( ALE ): quando da ausência de erros sistemáticos, ocorrem quando alguns dos valores medidos são muito maiores e outros muito menores do que o valor real esperado. Erro de escala ( ESC ): ocorrem sempre, e estão associados aos instrumentos de medida utilizados no processo de medição. 7

8 Como minimizar os diferentes tipos de erros Em relação ao erro sistemático ( SIS ), a única alternativa para resolver a sua eistência é refazer as medidas eperimentais já realizadas. Já em relação ao erro aleatório ( ALE ), estes devem ser tratados com técnicas estatísticas. Isto significa repetir N vezes uma medida em idênticas condições, calcular a média e os respectivos desvios destas medidas. Por fim, o erro de escala ( ESC ) é inerente ao processo de medição e, portanto sempre devem ser considerados. 8

9 Como epressar o erro Como vimos, a medida de uma grandeza sempre deve conter o valor do erro associado a ela. G = [M(G) ± M)] U G Grandeza M Medida ΔM Erro da medida U Unidade Como os erros sistemáticos implicam na repetição do processo de medida, a epressão do erro de uma medida deve levar em conta apenas os erros aleatórios e de escala. MAX = ALE + ESC 9

10 Como minimizar o erro aleatório: o valor médio Uma forma de minimizar o erro aleatório é repetir N vezes o procedimento de medição. Quando isto é feito o resultado da medida é apresentado em termos do valor mais provável (valor médio) e dos desvios (desvio médio e desvio padrão). Definimos então o valor mais provável de uma grandeza (valor médio) como a média aritmética de N medidas realizadas com a mesma confiabilidade. = 1 N N i= 1 i 10

11 Desvios A partir da definição de valor médio, definimos os conceitos de desvio de uma medida e desvio absoluto. Desvio de uma medida é a diferença entre o valor obtido na i-ésima medida e o valor mais provável da grandeza. i = Por sua vez, desvio absoluto de uma medida é o módulo do seu desvio. i i = i 11

12 Desvio médio Desvio médio de uma medida é a média aritmética dos desvios absolutos. = 1 N i= 1 Com a definição de desvio médio indicamos que o resultado de N medidas de mesma confiabilidade é epresso na forma N i = ± 12

13 Desvio padrão O desvio padrão de uma medida fornece uma idéia da dispersão das medidas em torno do seu valor médio. σ = 1 ( ) N 1 i i= 1 O resultado de N medidas de mesma confiabilidade também pode ser epresso na forma N 2 = ± σ 13

14 Desvio padrão e erro aleatório Como vimos, tanto o desvio médio como o desvio padrão de uma medida são obtidos a partir de uma análise estatística sobre os dados obtidos a partir de N medidas de mesma confiabilidade. Desta forma, estes desvios podem ser associados ao erro aleatório, já definido anteriormente. Como o desvio padrão está associado à dispersão dos valores obtidos, damos preferência a ele como epressão do erro aleatório. ( ) = σ ALE 14

15 Eemplo Considere que a medição do comprimento L de objetos idênticos, realizada com o auílio de uma régua centimetrada, forneceu as seguintes leituras mostradas na tabela abaio. 15

16 Cálculo com a ajuda de planilha Com a ajuda de uma planilha de cálculo, facilmente conseguimos determinar: a) o valor médio do comprimento do objeto; b) os desvios de cada medida em relação ao valor médio; c) os desvios absolutos de cada medida em relação ao valor médio; d) o desvio médio destas medidas; e) o desvio padrão destas medidas. 16

17 Cálculo com a ajuda de planilha Com a ajuda de uma planilha de cálculo, facilmente conseguimos determinar: L = 241, 0 L = 0, 2 σ L = 0, 3 cm cm cm 17

18 Erro percentual É frequente no laboratório realizarmos medidas de grandezas das quais eiste um valor de referência, um valor esperado Neste caso, definimos o erro relativo percentual a partir da equação abaio. E% = MED REF 100 REF Para o cálculo de E% usamos as regras de arredondamento definidas anteriormente. 18

19 Erro relativo Por sua vez, como todas as medidas são obtidas com seus respectivos erros, é interessante determinar qual o peso deste erro frente ao valor epresso da medida. Neste caso, definimos o erro relativo a partir da equação abaio. ER ( ) % = MED 100 MED Para o cálculo de ER% usamos as regras de arredondamento definidas anteriormente. 19

20 Eemplo: cálculo do erro percentual Num dado eperimento, medimos a aceleração da gravidade e obtemos ( ) 2 9,89 0,05 m / s g = ± Queremos determinar o erro percentual e o erro relativo desta medida. Para determinar o valor do erro percentual, usamos o valor medido para g (9,89 m/s 2 ) e o valor de referência para g (9,81 m/s 2 ) 9,89 9,81 0,08 E% = 100 = 100 9,81 9,81 E% = 8% 20

21 Eemplo: cálculo do erro relativo Já para o cálculo do erro relativo, usamos o valor de g obtido no processo de medida (9,89 m/s 2 ), além do erro obtido no mesmo processo (0,05 m/s 2 ). ( 9,89 0,05) m / s 2 g = ± 0,05 ER% = 100 = 9,89 5% E% = 0,5% 21

22 HIPÓTESES: a) Não eistem erros sistemáticos. b)façamosapenasumamedida(n=1). Neste caso, levamos em conta apenas erros de escala, os quais são inerentes ao processo de medida e sempre devem ser considerados. 22

23 1. Introdução O Método Científico 2. Algarismos Significativos 3. Precisão do Instrumento de Medida 4. Prefios do SI e Notação Científica 5. Critérios de Arredondamento 6. Operações com Algarismos Significativos 7. Teoria de Erros 8. Propagação de Erros

24 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS Cálculo de erros em medidas indiretas Como já vimos, medidas indiretas são obtidas efetuando-se operações matemáticas a partir de medidas obtidas diretamente do eperimento. Geralmente a grandeza física de interesse (medida indireta) está relacionada matematicamente com outras grandezas físicas (medidas diretas). Isto significa que eiste uma fórmula relacionando a grandeza associada à medida direta com as grandezas associadas às medidas indiretas. ( ) Y Y,... =, 1 2 Y Grandeza associada n à medida indireta i Grandezas associadas à medidas diretas 24

25 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Erros como diferenciais 8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS O erro associado à medida indireta Y ( Y) é calculado a partir da diferencial da função Y( 1, 2, n ). Em outras palavras, tratamos o erro como sendo equivalente a diferencial de uma função matemática conhecida de múltiplas (n) variáveis. Y Y Y = Y n n Na fórmula acima 1, 2,... n são os erros relativos a cada medida direta i. 25

26 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Eemplo 8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS Em um eperimento de eletricidade medimos diretamente as grandezas diferença de potencial elétrica (V) entre os terminais de um resistor e corrente elétrica (I) que flui através dele, cada uma delas com seu respectivo erro eperimental. Sabemos que a potência elétrica dissipada neste resistor (P) e a resistência elétrica do resistor (R) são dadas respectivamente por P( V I ) = V I, ( V I ) R, = V I Física Eperimental III Medidas e Algarismos Significativos 26

27 27 Conhecidos os valores de V e V e de I e I, como calcular os erros da potência elétrica P e da resistência elétrica R? MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Física Eperimental III Medidas e Algarismos Significativos 8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS Eemplos Usamos o conceito de propagação de erros e encontramos + = + = I I V V P I V V I P + = + = I I V V R I I V V I R 2 1

28 MEDIDAS E ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 8. PROPAGAÇÃO DOS ERROS Eemplo numérico com ajuda de planilha de cálculo Vejamos como calcular estes erros associados com a ajuda de uma planilha de cálculo. Física Eperimental III Medidas e Algarismos Significativos 28

29 Operação com Algarismos significativos Consulte na sua apostila: I.6.e. Outras Operações Matemáticas. Pratique resolvendo eercícios! Física Eperimental III Medidas e Algarismos Significativos 29