28/03/2016 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS DA TERRA DEPARTAMENTO DE GEOMÁTICA. AJUSTAMENTO de OBSERVAÇÕES GA751

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1 UNIVERSIDADE FEDERA DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS DA TERRA DEPARTAMENTO DE GEOMÁTICA AJUSTAMENTO de OBSERVAÇÕES GA75 Prof. Alvaro Muriel ima Machado ei de Propagação das Covariâncias Consideremos duas v.a. multidimensionais Y e, ligadas por um modelo linear m Y mgn* n + mc Aplicando o operador E{ } a ambos os membros U y E{ Y} E{ G + C} GE{ } + C mas T E{( Y U )( Y U ) } Y Y Y Y Y T T E{ G( U )( U ) G } T T GE{( U )( U ) } G y T E{( G + C GE{ } C)( G + C GE{ } C) } y T T E{( G GE{ })( G GE{ }) } E{( G GU )( G GU ) } T Y G G a) Somando uma constante a uma v.a., a sua variância não se altera. b) Multiplicando uma v.a. por uma constante, a sua variância fica multiplicada pelo quadrado da constante. Eercícios Calcular a variância de y nos casos abaio: a) y ± b) y a + b 0 c) y + com 0 0,5 d) y + com 0,5 3

2 4 Eercícios Calcular a variância de y nos casos abaio: e) y + com 0,5 0,5 f) y + 5 com 0,5 0,5 5 Eercícios Calcular a variância de y nos casos abaio: g) com y y Σ ; σ σ h) com y y Σ Eercícios As direções D i abaio foram observadas com a mesma variância σ 3 () e sem correlação. Calcular o coeficiente de correlação entre os ângulos (A e A ), (A e A 3 ), (A e A 4 ). O modelo matemático que liga as direções aos ângulos é linear: D D A D D A D D A D D A

3 Eercícios Resposta: 7 Eercícios Dada uma estação total TC407 (leituras com precisão de 7 ) presente no laboratório de Topografia, determinar a precisão de um ângulo qualquer medido com a mesma (supondo apenas o erro na leitura). 8 Eercícios para se resolver na sala de aula ) Um engenheiro cartógrafo mediu duas vezes uma certa distância usando trenas diferentes. Dadas as observações abaio, qual o valor da distância medida e qual a sua precisão? Observação (m) Precisão (m) 3,750 0,00 3,760 0,005 ) Determine o erro estimado no comprimento do segmento AE que foi observado conforme as seções seguintes: Seção Comprimento(m) Desvio padrão(m) AB 84,53 ±0,00 BC 036,58 ±0,03 CD 590,03 ±0,008 DE 74,8 ±0,

4 Eercícios para se resolver na sala de aula 3) Um medidor eletrônico de distância (MED) tem precisão nominal igual a 3mm±3ppm. Qual é a precisão de uma medida de distância igual a 536,98m, feita com este equipamento? 4) Um terreno retangular foi medido com um MED (precisão nominal igual a 3mm±5ppm) obtendo-se 76,05m 8,0m. Calcular o perímetro do terreno e a precisão associada. 5) Com o nível instalado com altura de,600±0,005m, num ponto estação de cota 500,000±0,00m, visou-se um ponto P, obtendo-se as seguintes leituras na mira:,m;,40m e 0,68m. Sabendo-se que a precisão da leitura na mira é de mm, qual a cota/precisão do ponto P? 0 Eercícios ) Um engenheiro cartógrafo mediu duas vezes uma certa distância usando trenas diferentes. Dadas as observações abaio, qual o valor da distância medida e qual a sua precisão? Observação (m) Precisão (m) 3,750 0,00 3,760 0,005 Y 0, ,005 0, ,005 T 0, Eercícios Um engenheiro cartógrafo mediu duas vezes uma certa distância usando trenas diferentes. Dadas as observações abaio, qual o valor da distância medida e qual a sua precisão? y a + b Observação (m) Precisão (m) σ σ 4

5 Eercícios...se as covariâncias não forem iguais a zero... y a + b 3 Eercícios ) Determine o erro estimado no comprimento do segmento AE que foi observado conforme as seções seguintes: Seção Comprimento(m) Desvio padrão(m) AB 84,53 ±0,00 BC 036,58 ±0,03 CD 590,03 ±0,008 DE 74,8 ±0,009 4 Eercícios 5 5

6 Eercícios 3) Um medidor eletrônico de distância (MED) tem precisão nominal igual a 3mm±3ppm. Qual é a precisão de uma medida de distância igual a 536,98m, feita com este equipamento? 6 Eercícios 4) Um terreno retangular foi medido com um MED (precisão nominal igual a 3mm±5ppm) obtendo-se 76,05m 8,0m. Calcular o perímetro do terreno e a precisão associada. 7 Eercícios 4) Um terreno retangular foi medido com um MED (precisão nominal igual a 3mm±5ppm) obtendo-se 76,05m 8,0m. Calcular o perímetro do terreno e a precisão associada. 8 6

7 Eercícios H E 5) Com o nível instalado com altura de,600±0,005m, num ponto estação de cota 500,000±0,00m, visou-se um ponto P, obtendo-se as seguintes leituras na mira:,m;,40m e 0,68m. Sabendo-se que a precisão da leitura na mira é de mm, qual a cota/precisão do ponto P? I + M + S + hi H P Eercícios y + Dado o modelo e sabendo-se que as componentes de Y y + tem variância igual a 3 e covariância igual a, calcular a MVC de z +. 0 Ajustamento Resolvendo o sistema de equações lineares: 7

8 Eercícios Eercícios...resolvendo matricialmente... 3 ei de Propagação das Covariâncias A fórmula de propagação de covariâncias para modelos lineares pode ser generalizada para o caso de dependência não linear. Seja o modelo não linear: Y F( ) Usando o desenvolvimento por Taylor, tem-se: F Y F( ) F( 0) + ( 0) 0 Procedimento análogo ao anterior conduz à lei de propagação das covariâncias D Y D T 4 8

9 n m m m n n y y y y y y y y y F D T Y D D onde ei de Propagação das Covariâncias 6 Série de Taylor em forma matricial A série de Taylor nos proporciona o valor de uma função f(t) no ponto t quando conhecemos o valor da função para t a....! ) ( ) "(! ) ( ) '( ) ( ) ( a a f a a f a f f Para valores de próimos de a as potências igual e superiores à segunda podem, em muitos casos práticos, ser desprezadas, isto é, nas proimidades de a a curva f(t) pode ser substituída por uma reta. ) )( '( ) ( ) ( a a f a f f + 7 Série de Taylor em forma matricial F F F + * ) ( ) ( n m m m n n F F F F F F F F F F

10 Eercícios São dadas as coordenadas planas ajustadas de dois vértices de uma poligonal: A B 0,00m 000,00m Y 0,00m 000,00m e a correspondente MVC Estimar a variância da distância (d) entre os dois pontos. A 0,00 ya 0,00 0 B 000,00 yb 000, AB m Eercícios 9 Eercícios: Solução com FreeMat 30 0

11 Eercícios Um terreno retangular teve suas dimensões medidas conforme tabela abaio. Estimar a área e o desvio padrão. a) Modelo matemático Comprimento (m) Area C * argura (m) 65,3,496 65,330,50 65,36,499 65,38,495 65,37,498 65,33,495 3 Eercícios b) Estimativa das dimensões e precisões Comprimento médio argura média Desvio padrão da média do Comprimento Desvio padrão da média da argura c) Cálculo da Área Area d) Propagação de covariâncias 3 Eercícios: Solução com FreeMat 33

12 Eercícios Na figura abaio, a distância d não pode ser medida diretamente, mas pode-se medir s, s e α. Estimar d e o seu desvio-padrão. Medidas Desvio-padrão S 36m σ,5cm S 5m σ,5cm α 50 σ 0 a) Modelo matemático d s + s ss cosα 34 Eercícios b) Cálculo da matriz D d s d s d α 35 Eercícios c) Montagem da matriz MVC de s, s e α d) Cálculo da MVC de d 36

13 Eercícios: Solução com FreeMat 37 Eercícios Na figura ao lado foram medidos o ângulo (α) e o raio (r) com o seguinte resultado: Ângulo (α) Raio (r) 60 3,7 0,0m 60 33,8 9,99m 60 7,6 0,07m 60 30,7 9,93m 60 8, 0,3m Estimar a variância da área do triângulo. 38 Eercícios Resposta: a) Estimativa do ângulo α b) Estimativa do raio c) Estimativa da variância da média d) Área do triângulo B * h (* r * sen( α / ))*( r *cos( α / )) r * sen( α) Area 39 3

14 Eercícios e) Propagação area D α, r D T 40 Eercícios: Solução com FreeMat 4 Eercícios Na poligonal O-B-C-D da figura a seguir, o ponto inicial é considerado a origem do sistema de coordenadas e o azimute α é conhecido: α5 0 0 ÂNGUOS ADOS nome média σ nome média σ A m 3mm ± 0ppm A m 3mm ± 0ppm A m 3mm ± 0ppm Calcular a MVC das coordenadas do vértice D. 4 4

15 Resposta: Eercícios a) Azimute dos segmentos da poligonal b) MVC dos azimutes 43 Eercícios Resposta: c) Coordenadas do vértice A3 d) MVC das distâncias observadas e) MVC das distâncias e azimutes, α 0 0 α 44 Eercícios Montagem da MVC das distâncias e azimutes, no FreeMat

16 Eercícios Resposta: f) MVC das coordenadas do vértice D 46 Eercícios 47 Eercícios: Solução com FreeMat 48 6

17 Eercícios: Solução com FreeMat 49 Eercícios ) Uma distância inclinada é observada com (508,983 ± 0,008)m. O ângulo zenital é observado com ± 8,8. Calcule a distância horizontal e o erro estimado. ) Com os dados do eercício anterior, plote ângulos zenitais de 30 a 90 versus erros estimados. 3) Conforme mostrado na figura seguinte, uma pista de corrida é medida segundo três componentes: um retângulo e dois semicírculos. Usando um MED com precisão nominal especificada ±(3mm+5ppm), as dimensões do retângulo interno à pista foram observadas 580,05m por 840,0m. Assumindo erros somente nas distâncias observadas, calcule: a) o desvio padrão de cada observação; b) o comprimento do perímetro da pista e o respectivo desvio padrão; c) a área envolvida pela pista com o respectivo desvio padrão. 50 Eercícios 4) Dado um azimute de ± 3 e uma distância de 638,37m com erro estimado de ± 0,0, calcule as projeções sobre os eios e Y com seus respectivos erros estimados. 5) Determine a incerteza na área de um terreno que mede (5,50 ± 0,5)m de frente e (3,0 ± 0,30)m de profundidade. Se o metro quadrado de terreno, nesta região, custa R$00,00, qual a incerteza associada ao pagamento deste terreno? 6) Calcule (,3 ± 0,) + ( 0,0 ± 0,03) + ( 8,00 ± 0,005). 7) Calcule (4,95 ± 0,0).(0,000 ± 0,000) y (5,6 ± 0,) 8) Qual a área e precisão de uma peça em formato de paralelepípedo com as seguintes medidas: (5,00±0,05)cm; (0,00±0,05)mm; 3 (5,00±0,0)mm. 9) A medida do ângulo de refração de um raio luminoso ao penetrar em um meio transparente é de teta (,3 ± 0,3). Qual é o erro na determinação de yseno(teta)? 5 7

18 Eercícios 0) Considere a tabela abaio obtida para o período de um pêndulo para diferentes comprimentos de um fio. Os dados para o período foram coletados para 0 medidas distintas e representase na tabela o valor médio com o correspondente desvio padrão da média. Os valores de comprimento foram obtidos a partir de uma régua graduada em mm (precisão metade da menor divisão). Sabe-se que T π g Desvio Aceleração da Período padrão da Comprimento gravidade (s) média (s) do fio (cm) (cm/s ),8566 0, ,0 973,49, ,000 77,0 98,70, ,000 43,0 003,34,850 0,000 85,0 979,40, , ,0 008,00,5559 0, ,0 978,46,845 0, ,0 989,54,7939 0, ,0 98,08, , ,0 980,6,8708 0, ,0 958,77,387 0, ,0 93,8,378 0, ,0 937,8 Valor médio 975 Desvio padrão 7 da média 5 Resolução dos eercícios propostos ) Uma distância inclinada é observada com (508,983 ± 0,008)m. O ângulo zenital é observado com ± 8,8. Calcule a distância horizontal e o erro estimado. 53 Resolução dos eercícios propostos ) Com os dados do eercício anterior, plote ângulos zenitais de 30 a 90 versus erros estimados. 54 8

19 Resolução dos eercícios propostos No FreeMat Resolução dos eercícios propostos 3) Conforme mostrado na figura seguinte, uma pista de corrida é medida segundo três componentes: um retângulo e dois semicírculos. Usando um MED com precisão nominal especificada ±(3mm+5ppm), as dimensões do retângulo interno à pista foram observadas 580,05m por 840,0m. Assumindo erros somente nas distâncias observadas, calcule: a) o desvio padrão de cada observação; b) o comprimento do perímetro da pista e o respectivo desvio padrão; c) a área envolvida pela pista com o respectivo desvio padrão. 56 Resolução dos eercícios propostos 57 9

20 Resolução dos eercícios propostos 58 Resolução dos eercícios propostos 4) Dado um azimute de ± 3 e uma distância de 638,37m com erro estimado de ± 0,0, calcule as projeções sobre os eios e Y com seus respectivos erros estimados. 59 Resolução dos eercícios propostos 60 0

21 Resolução dos eercícios propostos 5) Determine a incerteza na área de um terreno que mede (5,50 ± 0,5)m de frente e (3,0 ± 0,30)m de profundidade. Se o metro quadrado de terreno, nesta região, custa R$00,00, qual a incerteza associada ao pagamento deste terreno? 6 Resolução dos eercícios propostos 6 Resolução dos eercícios propostos 6) Calcule (,3 ± 0,) + ( 0,0 ± 0,03) + ( 8,00 ± 0,005). 63

22 Resolução dos eercícios propostos 7) Calcule (4,95 ± 0,0).(0,000 ± 0,000) y (5,6 ± 0,) Como que se sabe que não tem constante na fórmula? 64 Resolução dos eercícios propostos 65 Resolução dos eercícios propostos 8) Qual a área e precisão de uma peça em formato de paralelepípedo com as seguintes medidas: (5,00±0,05)cm; (0,00±0,05)mm; 3 (5,00±0,0)mm. 66

23 Resolução dos eercícios propostos 9) A medida do ângulo de refração de um raio luminoso ao penetrar em um meio transparente é de teta (,3 ± 0,3). Qual é o erro na determinação de yseno(teta)? 67 Resolução dos eercícios propostos 0) Considere a tabela abaio obtida para o período de um pêndulo para diferentes comprimentos de um fio. Os dados para o período foram coletados para 0 medidas distintas e representase na tabela o valor médio com o correspondente desvio padrão da média. Os valores de comprimento foram obtidos a partir de uma régua graduada em mm (precisão metade da menor divisão). Sabe-se que T π g 4π g T Desvio Aceleração da Período padrão da Comprimento gravidade (s) média (s) do fio (cm) (cm/s ),8566 0, ,0 973,49, ,000 77,0 98,70, ,000 43,0 003,34,850 0,000 85,0 979,40, , ,0 008,00,5559 0, ,0 978,46,845 0, ,0 989,54,7939 0, ,0 98,08, , ,0 980,6,8708 0, ,0 958,77,387 0, ,0 93,8,378 0, ,0 937,8 Valor médio 975 Desvio padrão 7 da média 68 Resolução dos eercícios propostos 69 3

24 Resolução dos eercícios propostos 70 Eercícios ) Uma distância de aproimadamente 490 metros deve ser medida com uma trena de 50m de comprimento. Sabendo-se que o desvio padrão de cada trenada é conhecido e igual a 5mm, qual seria o desvio padrão da distância total D? ) Qual o desvio padrão da área de um lote retangular que tem as seguintes dimensões: (0,00 ± 0,03)m e C (30,00 ± 0,05)m. 3) Suponha um ângulo verticalαmedido do ponto A para o ponto C. O valorα 30 possui um desvio padrão σ α. A distância inclinada Di foi medida e acusou valor igual a 330m com desvio padrãoσ D 0,5m. Para estas condições, encontrar o desvio padrão da distância horizontal Dh correspondente. 7 Eercícios 4) O ânguloβeadistância D foram medidos para se calcular as coordenadas do ponto C. As coordenadas de A e B são conhecidas e consideradas livres de erros. Qual será o desvio padrão das novas coordenadas c e Y c se os desvios padrões da distância e do ângulo são σ e D cm σ β 0" 7 4

25 Eercícios 5) Dê a epressão do erro da distância para a medição com mira horizontal. Considere inicialmente que o fabricante da mira forneceu o comprimento da mira como sendo de m e desvio padrãoσ b b.0-5. O que influencia mais na medição da distância, o comprimento da mira ou o ângulo medido? Faça um estudo analisando o comportamento do erro na distância considerando distâncias entre 0 e 00m. 6) Mediu-se uma base em duas partes. Uma das partes foi medida com uma fita que possibilita medir a distância com erro médio quadráticoσ 0,00004m; a segunda parte o erro médio quadrático é deσ 0,0000m para cada medida. Foi necessário utilizar cada uma das fitas 50 vezes. Qual o erro médio quadrático da base? 73 Eercícios 7) Para a obtenção da altitude do ponto B foi realizado um nivelamento trigonométrico a partir do ponto A, cuja altitude é H A 48,3m com desvio padrãoσ0,5m. Qual o desvio padrão da altitude de B, não considerando o efeito da refração, sabendo-se que em campo foram obtidos os seguintes dados: D 000,00m± 0,0m Z ± 0 Altura do instrumento,40m ± 0,0m Altura do prisma,80m ± 0,0m 74 Resolução dos eercícios propostos 8) Com o objetivo de determinar a diferença de nível entre dois pontos distantes 50m será realizado um nivelamento geométrico, tomando-se o cuidado de colocar o nível a iguais distâncias da mira. Assumindo que as visadas de ré e vante serão de 5m, pede-se o erro cometido na determinação da diferença de nível desejada. Estabeleça uma fórmula geral que permita estimar este erro. Supor o erro de cada leitura sobre a mira igual a 0,mm. 9) Para uma grandeza medida n vezes pede-se estabelecer uma fórmula geral que permita obter o desvio padrão da média das referidas medidas. Utilize σ o desvio padrão de uma observação isolada eσ m desvio padrão da média das observações. 0) Conhecida a precisão de uma medida pelo desvio padrãoσ o, quantas vezes temse que repetir a mesma medida para dobrar a precisão da média? Procedimento: fazendo n observações tem-se uma média m e uma precisão da média igual a σ ; fazendo n observações tem-se uma média m e uma precisão da média igual aσ. Sendo o requisitoσ σ /, qual o valor de n? Manterσ o desvio padrão de uma observação isolada. 75 5

26 Resolução dos eercícios propostos ) Uma distância de aproimadamente 490 metros deve ser medida com uma trena de 50m de comprimento. Sabendo-se que o desvio padrão de cada trenada é conhecido e igual a 5mm, qual seria o desvio padrão da distância total D? 76 Resolução dos eercícios propostos 77 Resolução dos eercícios propostos ) Qual o desvio padrão da área de um lote retangular que tem as seguintes dimensões: (0,00 ± 0,03)m e C (30,00 ± 0,05)m. 78 6

27 Resolução dos eercícios propostos 3) Suponha um ângulo verticalαmedido do ponto A para o ponto C. O valorα 30 possui um desvio padrão σ α. A distância inclinada Di foi medida e acusou valor igual a 330m com desvio padrãoσ D 0,5m. Para estas condições, encontrar o desvio padrão da distância horizontal Dh correspondente. 79 Resolução dos eercícios propostos 4) O ânguloβeadistância D foram medidos para se calcular as coordenadas do ponto C. As coordenadas de A e B são conhecidas e consideradas livres de erros. Qual será o desvio padrão das novas coordenadas c e Y c se os desvios padrões da distância e do ângulo são σ D cm e σ β 0" 80 Resolução dos eercícios propostos 8 7

28 Resolução dos eercícios propostos 5) Dê a epressão do erro da distância para a medição com mira horizontal. Considere inicialmente que o fabricante da mira forneceu o comprimento da mira como sendo de m e desvio padrãoσ b b.0-5. O que influencia mais na medição da distância, o comprimento da mira ou o ângulo medido? Faça um estudo analisando o comportamento do erro na distância considerando distâncias entre 0 e 00m. D 00b σ D 00σ b b*0 3 Ângulo constante α b / tg D b D b *00b 00 8 Resolução dos eercícios propostos 6) Mediu-se uma base em duas partes. Uma das partes foi medida com uma fita que possibilita medir a distância com erro médio quadráticoσ 0,00004m; a segunda parte o erro médio quadrático é deσ 0,0000m para cada medida. Foi necessário utilizar cada uma das fitas 50 vezes. Qual o erro médio quadrático da base? 83 Resolução dos eercícios propostos 7) Para a obtenção da altitude do ponto B foi realizado um nivelamento trigonométrico a partir do ponto A, cuja altitude é H A 48,3m com desvio padrãoσ0,5m. Qual o desvio padrão da altitude de B, não considerando o efeito da refração, sabendo-se que em campo foram obtidos os seguintes dados: 84 8

29 Resolução dos eercícios propostos 85 Resolução dos eercícios propostos 86 Resolução dos eercícios propostos 8) Com o objetivo de determinar a diferença de nível entre dois pontos distantes 50m será realizado um nivelamento geométrico, tomando-se o cuidado de colocar o nível a iguais distâncias da mira. Assumindo que as visadas de ré e vante serão de 5m, pede-se o erro cometido na determinação da diferença de nível desejada. Estabeleça uma fórmula geral que permita estimar este erro. Supor o erro de cada leitura sobre a mira igual a 0,mm. 87 9

30 Resolução dos eercícios propostos 9) Para uma grandeza medida n vezes pede-se estabelecer uma fórmula geral que permita obter o desvio padrão da média das referidas medidas. Utilize σ o desvio padrão de uma observação isolada eσ m desvio padrão da média das observações. 88 Resolução dos eercícios propostos 0) Conhecida a precisão de uma medida pelo desvio padrãoσ o, quantas vezes temse que repetir a mesma medida para dobrar a precisão da média? Procedimento: fazendo n observações tem-se uma média m e uma precisão da média igual a σ ; fazendo n observações tem-se uma média m e uma precisão da média igual aσ. Sendo o requisitoσ σ /, qual o valor de n? Manterσ o desvio padrão de uma observação isolada. 89 Eercícios ) Um triângulo tem suas coordenadas determinadas em campo: A(0,0)m, B(00,00)m e C(00,0)m, sempre com desvio padrão σ σ y 5mm; σ y. 0. Determinar a área (Base*Altura/) com a correspondente precisão

31 Eercícios Resolução por etapas 9 Eercícios Resolução por etapas 9 Eercícios Resolução por etapas 93 3

32 Eercícios Resolução algébrica 94 Eercícios Resolução algébrica 95 Eercícios No FreeMat

33 Eercícios No FreeMat Eercícios ) O triângulo apresentado ao lado tem o lado a e os ângulos α e β medidos. O desvio padrão da medida angular é igual a σ α σ β 0 e o desvio padrão da distância σ a 0,9m. Determinar o lado b e o seu desvio padrão. a 400,0m α 45º 0 4 β 5º Eercícios Resolução por etapas 99 33

34 Eercícios Resolução por etapas 00 Eercícios Resolução algébrica 0 Eercícios Resolução algébrica 0 34

35 Eercícios No FreeMat Eercícios No FreeMat