(") ; b) ρ b1b2 = 0,5; ρ b1b3 = 0,5; ρ b1b4 = 0

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1 GA PROJETO E ANÁLISE E REES GEOÉSICAS EXERCÍCIOS ) Estimar a precisão do perímetro e da área de uma circunferência, e do volume de uma esfera, cujo raio (R) pode ser medido com as seguintes características: R 5,5 cm e R 0,5 cm. Respostas: perímetro,57 cm; área 4,5 cm ; volume 754,77 cm ) As direções d i foram observadas com a mesma variância i () e sem correlação (GEMAEL, 994, p.5). Calcular: a) a variância dos ângulos b i b) o coeficiente de correlação entre os ângulos b e b b e b b e b 4 Respostas: a) (") ; b) ρ bb 0,5; ρ bb 0,5; ρ bb4 0 b ) A posição do ponto P foi projetada em escritório, por um engenheiro cartógrafo, de acordo com o croqui abaixo: 600m 500m 400m 00m 00m P P 00m 0m P0 P 0m 00m 00m 00m 400m 500m 600m 700m 800m 900m Estimar a precisão das coordenadas do ponto a partir de uma medida angular e uma medida linear tomadas a partir do ponto P0. O engenheiro tem a sua disposição uma estação total TCRA 05, com precisão nominal angular de 5 ( θ ) e linear de mm + ppm ( d ). Considerar que o engenheiro irá trabalhar dentro da capacidade instrumental e que as coordenadas do ponto P0 estão isentas de erros. Respostas: X,60 mm; Y,09 mm 4) Um engenheiro deseja conhecer a distância b entre os pontos A e C, porém não pode medi-la diretamente. esta forma, implantou em campo uma rede composta por três pontos como ilustrado na figura abaixo. Os ângulos internos A e B do triângulo plano são conhecidos, fixos e supostamente isentos de erros. A distância b pode ser calculada a partir dos ângulos A e B e da distância a pela lei dos senos: a b c sena senb senc Considerando que a precisão na medida da distância a é de 0,05m (a0,05m), determine a precisão da distância b para as seguintes geometrias da rede: a) para A60 e B60 b) para A0 e B5

2 c) para A5 e B0 d) indique qual é a melhor geometria e justifique sua resposta. Respostas: a) b 0,05 m; b) b 0,0045 m; c) b 0,050 m 5) Na figura abaixo, a distância (d) não pode ser medida diretamente, entretanto, é possível medir as distâncias (s ) e (s ) e o ângulo (α). São conhecidas as medidas aproximadas, obtidas a partir de um mapa da região, e os desvios padrão das medidas a partir da escolha de um equipamento: Medidas esvio Padrão s 6m s,5cm s 5m s,5cm α 50 α 0 a) estimar d b) determinar o número necessário de observações (n s, n s e n α ) para que d < 0,5cm c) estimar n α quando n s n s 5 d) estimar d quando n s n s n α 5 e) estimar s, s, e α para d <,0cm considerando n s n s n α Respostas: a) d,088 cm; b) n s 9; n s ; n α 4 (supondo que todos contribuem igualmente) 6) uas equipes estão em campo medindo direções com estações totais TC 00 da Wild cuja precisão angular nominal é de 0,5. As leituras obtidas são: OPERAOR OPERAOR 0º 45 6, 05º 4, 5,8 4,6 5, 4, 7, 4,5 6,4 4, 6,8 4, 6,4 4,4 6, 4,4 5, 4,8 5, 4, a) Verificar se os operadores estão trabalhando dentro da capacidade nominal do aparelho. b) Considerando um critério de rejeição de, determinar o valor mais provável das duas direções e sua precisão. c) Quais os significados dos critérios de rejeição,,? Respostas: a) operador : média 0º 45 6,06 ; desvio padrão 0,7 ; operador : média 05º 4,8 ; desvio padrão, ; nenhum está trabalhando dentro da precisão nominal do aparelho b) operador : número de observações rejeitadas 5; média 0º 45 6,8 ; desvio padrão 0,5 ; operador : número de observações rejeitadas ; média 05º 4,9 ; desvio padrão,4 7) (Adaptado de HAZAY, 970) O desvio padrão para a observação de uma direção ( ) em campo é dado pela precisão angular nominal do equipamento utilizado. eterminar o desvio padrão de um ângulo α ( α ) formado por duas direções ( e ) observadas em campo. Resposta: α

3 8) Em campo foram observadas duas direções L e L, conforme esquematizado abaixo. Considerando que o desvio padrão indicado pelo fabricante do equipamento é válido para o valor de medição de direção e que o equipamento disponível é uma estação total Elta S0 com precisão nominal angular de e linear de mm + ppm, determine a precisão do ângulo horizontal α. L 0 α L 4 Resposta: α 4,4 9) (Adaptado de CHRZANOWSKI, 977) Um ângulo β foi determinado em três séries de medidas independentes, cada série tem precisão β 5. Estimar o desvio padrão do ângulo médio (β 0 ) calculado a partir das três séries: Resposta: β0,9 0) (Adaptado de HAZAY, 970) A altitude do ponto B (H B ) foi determinada a partir do ponto A por nivelamento trigonométrico. etermine a precisão da altitude de B sendo dadas as seguintes observações e seus respectivos desvios padrão: - altitude do ponto A: H A 48,m ; HA 0,5m - distância horizontal entre A e B: 000,00m ; 0,0m - altura do instrumento: h i,40m ; hi 0,0m - altura do refletor: hp 5,00m ; hp 0,0m - ângulo zenital: Z 89 4 ; Z 0 Resposta: HB 0,8m ) Considerando a Lei de Propagação de Covariâncias, monte: o modelo matemático; a matriz jacobiana, e as matrizes variância covariância (Σ Y e Σ X ) para a seguinte situação: eseja-se determinar a precisão das coordenadas do ponto R (X R, Y R e Z R ), para tanto se considera o rastreio GPS do ponto R utilizando como referência o ponto P. O ponto P possui coordenadas e suas respectivas precisões conhecidas: X.6.50,50m 0,00m Y Z ,5684m ,56m X Y Z 0,00m 0,00m Estima-se que as componentes da linha de base P R ( X, Y e Z ) e suas precisões sejam: X 5,959m 0,07m Y Z 909, 96m 855,6976m X Y Z 0,07m 0,07m

4 4 ) (Adaptado de CHRZANOWSKI, 977).Uma distância inclinada ( i ) e um ângulo zenital (Z) devem ser medidos de forma a determinar uma diferença de altitude ( H). Qual deverá ser a precisão da medida da distância e do ângulo para que a precisão do desnível seja melhor do que 5mm ( H < 5mm)? e um reconhecimento prévio em campo, estima-se que i500m e Z60. OBS: ignorar possíveis erros nas alturas de instrumento (h i ) e sinal (h p ) e efeitos devido a curvatura terrestre e refração atmosférica. Respostas: 7,07mm;,7" i Z ) Com base no exercício anterior e supondo que a precisão da medida angular seja de, qual deve ser a precisão da medida da distância? Resposta: 5,4mm i 4) Com base no exercício anterior, o que acontece se a precisão angular for de? Qual deve ser a precisão da medida da distância? Resposta: não é possível atingir a precisão requerida 5) (Adaptado de SCHOFIEL e BREACH, 007) Qual deve ser o valor de precisão de cada ângulo de um triângulo para que a precisão da soma dos mesmos seja de 6? Resposta:,4 6) (Adaptado de MIKHAIL e GRACIE, 98) As dimensões da base de um reservatório retangular são 85m (B) por 60m (C) aproximadamente. Se a área (A) da base do reservatório deve ser determinada com um desvio padrão de 0,6m, qual deve ser o desvio padrão da medida de cada um dos lados? Resposta: B 7 mm; C 5mm 7) (Adaptado de MIKHAIL e GRACIE, 98) A altura (h) da estação A, acima do centro óptico do aparelho instalado na estação B, deve ser determinada com um desvio padrão de 0,00m a partir da medida da distância inclinada ( i ), do ângulo vertical (v) e da altura do sinal (h p ). Com a finalidade de realizar a pré análise, estima-se que os valores de i e v são 400m e 0, respectivamente. a) determine os desvios padrão para as medidas de i, v e h p, assumindo que cada variável contribui igualmente para a precisão de h. b) se o desvio padrão para a medida do ângulo vertical for limitado pelo equipamento utilizado em 5, determine novos valores para o desvio padrão de i e h p.

5 5 i hp v Respostas: a) 0,05m ;,4" i v ; hp,0077m ; 0,008 0 hp b) m i 0,0058m 8) (Adaptado de HAZAY, 970) eseja-se determinar a área de um quadrilátero irregular, para tanto são propostas quatro diferentes configurações de medida. Indique qual configuração fornece a melhor precisão para a área. As estimativas das observações estão apresentadas na tabela abaixo: Quantidade Valor estimado Precisão estimada a 54,m 0,074m b 46,74m 0,059m c 68,70m 0,05m d,58m 0,047m e 558,6m 0,075m f 85,5m 0,06m α β γ δ Opção - medidas dos quatro lados e da diagonal maior ( A,5m ) Opção - medidas dos quatro lados e da diagonal menor ( A 8,9m ) Opção - medidas dos quatro lados e dos ângulos α e γ ( A 8,m )

6 6 Opção 4- medidas dos quatro lados e dos ângulos β e δ ( A 9,4m ) 9) etermine com que precisão deve ser obtido o ângulo α e a distância para que as coordenadas planimétricas do ponto atendam a seguinte condição: X Y < 5cm. As coordenadas do ponto 0 e suas respectivas precisões são: X 0 000,000m ; X0,7cm Y 0 000,000m ; Y0,cm As coordenadas aproximadas do ponto são: X 80,000m Y 50,000m N α Resposta: α 7,5" e 4,4cm 0 0) Considerando os dados apresentados no enunciado do exercício 9 e supondo que se possa medir o ângulo α com uma precisão de 0 e a distância com uma precisão de 5cm, quantas vezes eu devo medir α e para que a coordenada X do ponto (X ) tenha uma precisão melhor do que 5cm? OBS: Realizar a análise apenas para a coordenada X. Resposta: n e n α ) Considerando os dados apresentados no enunciado do exercício 8, quantas vezes as direções L e L devem ser medidas para que o ângulo horizontal α tenha precisão melhor que. Resposta: n5 vezes ) (Adaptado de ALMOLIN, 00) eseja-se determinar a distância inclinada entre dois pontos, um localizado sobre o terreno e outro localizado no alto de uma torre, com uma precisão de mm. A distância horizontal entre os pontos é de 400m e isenta de erros e estima-se que a altura da torre é de 80m. Com que precisão deve-se determinar a altura da torre para garantir a precisão especificada para a distância inclinada? Resposta: 0,mm ) A MVC das coordenadas planimétricas (X, Y) de um ponto P é dada por: cm. Calcular a elipse de erros deste ponto e verificar se ela atende a seguinte elipse de erros especificada: 5cm max min