TOPOGRAFIA GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA

Transcrição

1 TOPOGRAFIA GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA Prof. Dr. Daniel Caetano

2 Objetivos Relação da Geometria e Trigonometria com Topografia Conceitos de Geometria Conceitos de Trigonometria

3 ANTES DE MAIS NADA...

4 Para quem faltou... Professor Daniel Caetano Informações de Contato Datas/critérios, apresent., exercícios, bibliog...

5 RELEMBRANDO: MATERIAIS IMPORTANTES

6 Materiais Obrigatórios Ao longo das aulas iremos usar: Régua Borracha Lapiseira Calculadora

7 Materiais Importantes (é bom ter) Ao longo das aulas iremos usar: Trena Papel A4 branco

8 GEOMETRIA

9 Geometria Geometria: medição da Terra Origem? Topografia: medição da superfície da Terra São coisas parecidas? O que é medir?

10 Geometria - Medidas Medir é...

11 Geometria - Medidas O que podemos medir? Quase tudo! Medidas comuns Distâncias Perímetros Áreas Volumes Ângulos...

12 UNIDADE DE MEDIDA DE DISTÂNCIA LINEAR

13 Medindo Distâncias Lineares Distância Euclidiana Variáveis: letras do alfabeto latino (a, b, c...) a = 7 [m] A unidade de medida de distância é o metro

14 O Que é um Metro? Primeira definição

15 O Que é um Metro? Uma medida mais precisa relacionada a...

16 O Que é um Metro? Múltiplos e Submúltiplos Como converter? km hm dam m dm cm mm

17 EXERCÍCIOS

18 Exercícios Converta: 100m para km 10cm para km 5km para m 0,2km para mm 50mm para km 0,05mm para m

19 INCLINAÇÃO ENTRE RETAS: OS ÂNGULOS

20 O Que é um Ângulo? É a inclinação de uma reta (direção) com relação a outra reta (direção) Quantas medidas são possíveis?

21 O Que é um Ângulo? É a inclinação de uma reta (direção) com relação a outra reta (direção) Quantas medidas são possíveis?

22 O Que é um Ângulo? É a inclinação de uma reta (direção) com relação a outra reta (direção) Quantas medidas são possíveis?

23 O Que é um Ângulo? É a inclinação de uma reta (direção) com relação a outra reta (direção) Quantas medidas são possíveis?

24 Ângulos Iguais Ângulos Opostos Pelo Vétice (OpV)

25 Ângulos Suplementares Somam 180 o

26 EXERCÍCIOS

27 Exercícios Indique o valor do ângulo α 100 o α 2.α α

28 UNIDADES DE MEDIDA PARA ÂNGULOS

29 Medindo Ângulos Medidas lineares: metro Unidade das medidas angulares? Graus (DEGrees) Radianos (RADians) Gradianos (GRADians) Variáveis angulares: letras do alfabeto grego α = 35 o

30 O que é um Grau? É 1/360 de uma circunferência:

31 O que é um Radiano? É 1/2π de uma circunferência: Pra quê? Comprimento =? R Comp = R * α (rad)

32 O que é um Gradiano? É 1/100 de uma circunferência: Pra quê? Área =?

33 Conversão de Ângulos Convertendo ângulo em graus para radianos 90 o π/2 180 o π 0 0 o 2π 360 o 270 o 3π/2 AR AG = 2π 360

34 Conversão de Ângulos Convertendo ângulo em graus para radianos AR = AG 2π 360 AR * 360 = 2π * AG AR = (2π * AG) / 360 AR = (π * AG) / 180 AG = (180 * AR) / π

35 EXERCÍCIOS

36 Exercícios Converta: 120 graus para radianos 1 radiano para graus

37 PERÍMETROS E ÁREAS

38 Geometria Perímetro e Área L L

39 Geometria Perímetro e Área A B

40 Geometria Perímetro e Área H A C B

41 Geometria Perímetro e Área R

42 Geometria Perímetro e Área α R

43 Geometria Perímetro e Área H A B

44 Geometria Perímetro e Área

45 EXERCÍCIO

46 Exercício Calcule o perímetro e a área: 4,0m 12,0m

47 PAUSA PARA O CAFÉ!

48 USANDO A CALCULADORA COM ÂNGULOS

49 Ângulos na Calculadora Qual a diferença entre 30 o 30 e 30,30 o Calcule, na calculadora, o SENO de ambos! Quanto deu o primeiro? Se deu 0, você acertou! Quanto deu o Segundo? Se deu 0, você acertou! Lembre-se de deixar a calculadora em DEG

50 Ângulos na Calculadora Qual a diferença entre 30 o 30 e 30,30 o Por quê?

51 Ângulos na Calculadora Nas calculadoras CASSIO: 30 o o 21 o 17 o Grau Minuto Segundo

52 Ângulos na Calculadora Nas calculadoras HP, entre no menu TIME, escolha a opção HMS e digite 30,2117 O resultado será 20, (em graus) Grau Minuto Segundo

53 Ângulos na Calculadora Para voltar o valor à forma grau/min/seg, entre no menu TIME, escolha a opção HMS e digite 20, Grau O resultado será 30,2117 Minuto Segundo DICA: Aprenda a usar a calculadora HP no modo RPN. Apesar de complicado no início, 11 pessoas de cada 10 que aprendem o RPN preferem o modo RPN.

54 Ângulos na Calculadora Calcule agora o COSSENO de 86 o São 86, o O COSSENO é: 0,0623

55 EXERCÍCIOS

56 Exercícios Converta: 10 o para graus 10 o para segundos 60,375 o para grau, minuto e segundo Calcule o seno de 17 o 22 Calcule o seno de 17,87 o - 7 o 32 16

57 TRIGONOMETRIA

58 Trigonometria Trigonometria: medidas dos triângulos Suas relações Para quê? Auxiliar na geometria

59 Trigonometria Qual a altura do prédio?

60 Trigonometria Soma dos ângulos internos: 180 o β α γ

61 Trigonometria Semelhança de Triângulos c a z x α γ. α γ y AA LAL LLL b a x = b y = c z

62 Trigonometria Teorema de Pitágoras: a 2 = b 2 + c 2 b a. c

63 Trigonometria Cossenos: b = a. cos α c = a. cos β b α a. c β

64 Trigonometria Tangentes: tg α = c / b tg β = b / c b α a. c β

65 EXERCÍCIOS

66 Exercícios Qual o valor do ângulo α? 3 α. 5

67 EXERCÍCIO MAIS COMPLETO

68 Exercício Calcule a altura H: H 10,0m

69 Exercício Calcule a altura H: H 14 o 26 o 30 10,0m

70 Exercício Calcule a altura H: H 14 o 26 o 30 10,0m

71 Exercício Calcule a altura H: H 14 o 26 o 30 10,0m tg 14 o = H / (10+D) tg 26 o 30 = H / D D

72 PERGUNTAS?

73 CONCLUSÕES

74 Resumo O que é geometria A relação entre geometria e topografia O que é trigonometria Relações trigonométricas importantes Mais detalhes sobre medidas... Referências e o formato da Terra

75 ATIVIDADE

76 Atividade Atividade Individual 1. Conte quantos passos tem o comprimento da sala. Anote o número de passos, ESTIMANDO uma casa após a vírgula (Ex.: 20,3 passos) 2. Repita quatro vezes a medida acima do item Faça a média das quatro medidas. 4. Usando uma trena, determine o comprimento da sala em metros. 5. Divida o comprimento em metros (item 4) pelo número de passos (item 3) 6. O resultado do item 5 é o tamanho do seu passo em metros!