Solução Comentada Prova de Matemática

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Wagner Fontes Canejo
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1 18. Se f é uma função real de variável real definida por f() = a + b + c, onde a, b e c são números reais negativos, então o gráfico que melhor representa a derivada de f é: A) y B) y C) y D) y E) y Questão 18, alternativa D Assunto: Cálculo diferencial: derivada de uma função polinomial; interpretação de gráficos Comentário: Essa questão envolve derivação de uma função polinomial e a interpretação geométrica dos coeficientes angular e linear de uma função afim. Se f() = a + b + c, então sua derivada é a função f () = a + b que é uma função afim. Logo, a representação gráfica de f () é uma reta. Como a e b são negativos, temos que : (1) o coeficiente angular a é negativo, o ângulo que a reta forma com o eio dos é obtuso ( maior que 90 0 ); () b é o coeficiente linear que representa a ordenada do ponto de intersecção da reta com o eio dos y e é um número negativo. De (1) e () : O item ( D ) é o que melhor representa o gráfico de f (). A alternativa correta é a (D) 19. A divisão de P() = por Q() = + p, com p real, é eata. Desta forma o valor de p é: A) 4 B) 1 C) D) E) UFPI PSIU ª ETAPA Pág. 1 de 7

2 Questão 19, alternativa C Assunto: Polinômios Comentário: Essa questão envolve divisibilidade de polinômios e o conhecimento das condições para que a divisão seja eata bem como a relação entre os coeficientes na igualdade de dois polinômios. Se P() é divisível por Q() então eistem a e b tais que: P() = (a + b)q(). Logo = (a + b)( + p ) = a + a ap + b + b bp = a + (a + b) + (b ap) bp Usando a igualdade de polinômios, temos: a = 4, a + b =, b -ap = 14 e bp= 6 De a = 4 e a + b = tem-se b = De b = e bp = 6 tem-se p = A alternativa correta é a (C) 0. Uma quantia foi aplicada a juros simples de 6% ao mês, durante 5 meses e, em seguida, o montante foi aplicado durante mais 5 meses, a juros simples de 4% ao mês. No final dos 10 meses, o novo montante foi de R$ 4,00. A quantia aplicada inicialmente era de: A) R$ 150,00 B) R$ 140,00 C) R$ 10,00 D) R$ 10,00 E) R$ 110,00 Questão 0, alternativa A Assunto: matemática financeira Comentário: Essa questão envolve cálculo de juros e porcentagem. É o tipo de aplicação matemática mais comum no cotidiano da vida prática. Q.6.5. Q Se Q é o capital aplicado inicialmente o montante após os 5 primeiros meses é Q + = Q Q Aplicando Q + por 5 meses a juro simples de 4% ao mês obtemos, no final dos 10 meses o novo 10. Q. Q ( Q + ).4.5 ( Q + ). Q montante de Q Q = 10. Q Q. Q 78Q Q + + = Q = = Portanto a quantia aplicada inicialmente foi de R$ 150,00 A alternativa correta é a (A) UFPI PSIU ª ETAPA Pág. de 7

3 1. Sejam r 1 a reta de equação y = + e r a reta que passa pelos vértices das parábolas y = e y = +. Considere as afirmações sobre estas retas. I. r 1 e r são verticais II. r 1 e r são perpendiculares III. r 1 e r são paralelas Então, podemos concluir corretamente que: A) apenas I é correta. B) II e III são falsas. C) apenas II é falsa. D) I e III são falsas. E) apenas III é correta. Questão 1, alternativa E Assunto: Geometria analítica Comentário: Essa questão eige que o candidato conheça alguns conceitos básicos da geometria analítica plana particularmente os que envolvem retas e parábolas. Solução : Seja a reta r 1 : y = +. Se o vértice de uma parábola y = a b + b + c é V, a 4a, então: Dadas duas parábolas: 1ª ) y =, a = 1, b = 0, c = e = 8, logo seu vértice é V 1 ( 0, ) ª ) y = +, a = 1, b =, c = e = 4, logo seu vértice é V ( 1, 1 ) A reta r passa por V 1 e V e portanto sua equação é dada por: y 1 = 1 =, isto é, r : y = Logo, as retas r 1 : y = + e r : y = têm o mesmo coeficiente angular, portanto são paralelas e não verticais. Alternativa correta é a (E). Sejam α e β números reais tais que α β < 0. Se α e β são raízes da equação α + α + β = 0, então α + β é igual a: A) 8 B) 6 C) 0 D) 10 E) 7 UFPI PSIU ª ETAPA Pág. de 7

4 Questão, alternativa B Assunto: Álgebra: Equação do segundo grau. Comentário: Essa questão eige conhecimentos sobre o estudo das relações eistentes entre os coeficientes e as raízes de uma equação do º grau. Temos que α e β são raízes não-nulas da equação α + α + β = 0. Dividindo ambos os membros da equação por α : + + β α = 0. Logo: α+ β = e α β = β α. Como α e β são não-nulos, temos : 1 1 β 1 ( αβ ) = ( ) α= α = 1 α= 1 ou α= 1 β β α α Se α = 1 β = Se α = 1 β = 1 Mas, α e β têm sinais contrários. Daí: o valor de α + β = ( 1 ) + ( - ) = 1 7 = 6 A alternativa correta é a (B) UFPI PSIU ª ETAPA Pág. 4 de 7

5 . O histograma abaio apresenta as alturas de 0 atletas de uma equipe de futebol. N o de atletas ,50 1,60 1,70 1,80 1,90,00 Obs.: Para o cálculo da média considere o ponto médio de cada classe de intervalo Alturas (em metro) Com estes dados, podemos concluir que a média das alturas dos atletas é aproimadamente: A) 1,58 B) 1,65 C) 1,74 D) 1,81 E) 1,9 Questão, alternativa C Assunto: Estatística Comentário: Trata-se de uma questão cujo principal objetivo é avaliar a capacidade do candidato no que se refere à interpretação de gráfico e a sua utilização para solucionar problemas relacionados com as informações contidas no gráfico. Observando o gráfico vemos que atletas têm altura entre 1,50 m e 1,60 m, 8 atletas têm altura entre 1,60 m e 1,70 m, 10 atletas têm altura entre 1,70 m e 1,80 m, 6 atletas têm altura entre 1,80 m e 1,90 m, atletas têm altura entre 1,90 m e,00 m. Os pontos médios dos intervalos são:.( 1,55) + 8. ( 1,65) ( 1,75) + 6. ( 1,85) +. ( 1,95) 1,55; 1,65; 1,75;1,85 e 1,95. Assim a média será igual, que 0 é aproimadamente igual a 1,74 A alternativa correta é a (C). 4. A área do triângulo determinado pelas intersecções do plano + y + z = 1 com os três eios coordenados é: A) B) C) D) E) 5 5 UFPI PSIU ª ETAPA Pág. 5 de 7

6 Questão 4, alternativa B Assunto: Geometria espacial z Comentário: Essa questão visa avaliar a capacidade que o candidato tem em visualizar uma região plana e limitada no espaço e determinar a área dessa região. P z O P y y Os pontos de intersecções P, P y e P z do plano + y + z = 1 como os eios coordenados podem ser determinados fazendo: 1) y = z = 0 = 1 P ( 1, 0, 0 ) ) = z = 0 y = 1 P y ( 0, 1, 0 ) ) = y = 0 z = 1 P z ( 0, 0, 1 ) P Temos que : OP = OP y = OP z = 1 P P y = P P z = P y P z =, logo o triângulo de vértices P, P y e P z é eqüilátero. Como seus ângulos internos medem 60 0, sua área A T é : A T = 1 P P y. P P z. sen 60 0 A T = 1.. A T = A alternativa correta é a (B). z { z + i; z M } 5. Sejam M={ C ; z + = } e N= módulo é: A) + ( + )i B) + ( + )i C) + ( + )i D) + i E) + + ( )i. O elemento do conjunto N de maior UFPI PSIU ª ETAPA Pág. 6 de 7

7 Questão 5, alternativa A Assunto: Números compleos. Comentário: Esta questão eige do candidato habilidade ao trabalhar com a representação geométrica dos números compleos como também capacidade de visualizar o significado das operações com números compleos nesta representação. Seja z = + yi Se z M temos z = +, isto é, ( ) + yi = ( ) 4 +. Temos então + + y = e, conseqüentemente, a representação geométrica dos elementos de M consiste de uma circunferência de centro em (,0) e raio. Os elementos de N são da forma z + i com z M. Então os elementos de N são do tipo z = + ( y + )i = + t i, onde t = y +. Como ( + ) + y = 4 temos ( + ) + ( t ) = 4 e assim a representação geométrica dos elementos de N consiste de uma circunferência de centro em (, ) e raio. Como o centro desta circunferência está sobre a reta t = o elemento de N de maior módulo também terá sua representação geométrica sobre a reta t =. Vamos então encontrar os elementos de N cuja representação geométrica estão sobre a reta t =. Fazendo t = em + + t = temos ( + ) = 4 e daí = ± e portanto y = ( ± ). ( ) ( ) 4 Portanto o ponto de N de maior módulo é z = ( ) + ( + )i A alternativa correta é a (A). UFPI PSIU ª ETAPA Pág. 7 de 7

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