Topografia D. Material de apoio da aula do dia 31/08/18

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1 Topografia D Material de apoio da aula do dia 31/08/18 Érica Santos Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná -UFPR

2 Aula teórica anterior: Determinação de Azimute por Rumo SIGLA QUADRANTE VARIAÇÃO CONVERSÃO NE 1 Q 0 a 90 Az = R SE 2 Q 90 a 180 Az = R SW 3 Q 180 a 270 Az = R NW 4 Q 270 a 360 Az = R

3 É possível determinar Azimute por ângulo horizontal (dedução para sentido horário ) N Az 23 α 3 α N 3 Az 23 i Az 34 B 4 i i 1 Az 34 = Az 23 + α Az (i,i+1) = Az (i 1,i) + α i 180

4 Ângulo Horizontal α 2 259º 33 α 3 57º 04 α 4 112º 17 α 5 310º 59 Azimutes Az 12 54º 02 Az º 35 Az 34 10º 39 Az 45-57º04 (+360º)= 302º 56 Az (-360º)= N α 5 5 N Az 56 N 6 4 Az 45 N α 2 Az 23 α 4 Az 12 2 N 1 Az 34 Exemplo. Calcule a partir das informações de azimute de partida e ângulos horizontais, os azimutes das direções consecutivas. α 3 3

5 Problema geral da Planimetria Determinar coordenadas Y N ΔX 12 2 (X 2, Y 2 ) ΔY 12 Az 12 dh 12 1 (X 1, Y 1 ) X E

6 Az, dh ΔX, ΔY Da figura, as variações entre pontos podem ser expressos por elementos da Topografia (azimute e distância horizontal): sen Az 12 = ΔX 12 dh 12 ΔX 12 = dh 12. sen Az 12 cos Az 12 = ΔY 12 dh 12 ΔY 12 = dh 12. cos Az 12

7 Az, dh ΔX, ΔY E é possível determinar as coordenadas do ponto 2: X 2 = X 1 + ΔX 12 X 2 = X 1 + dh 12. sen Az 12 Y 2 = Y 1 + ΔY 12 Y 2 = Y 1 + dh 12. cos Az 12

8 E o inverso? ΔX, ΔY Az, dh Distância Horizontal dh 12 = ΔX ΔY 12 dh 12 = X 2 X Y 2 Y 1 2 Determinação de Azimute por Coordenadas Azimute tan Az 12 = ΔX 12 ΔY 12 Az 12 = arctan ΔX 12 ΔY 12 = arctan X 2 X 1 Y 2 Y 1 Só vale para o 1 Q!!! Existem ambiguidades da função trigonométrica. Logo é necessário analisar quadrantes

9 Determinação de Azimute por Coordenadas 1ª OPÇÃO Esboçar um croqui dos pontos e deduzir aplicando trigonometria. Será uma análise caso a caso. 2ª OPÇÃO Usar regra de conversão em função de quadrantes. ideal para implementar em rotinas computacionais

10 DETERMINAÇÃO DE AZIMUTES POR COORDENADAS Ex. Calcular o azimute da direção i-j. São fornecidas as coordenadas: X i, Y i e X j, Y j. Passo 1. Cálculo dos valores das variações ΔX e ΔY da direção de interesse ΔX ij = X j X i ΔY ij = Y j Y i Passo 2. Calcular o ângulo auxiliar β β = arctan ΔX ij ΔY ij O ângulo β varia sempre de 0º a 90 Cálculo de β é realizado em módulo ( ignorar sinais)

11 Passo 3. Analisar os sinais de ΔX e ΔY calculados no passo 1. Definir quadrante do Azimute. β = arctan ΔX ij ΔY ij Y N ΔX A β A 1º Q ΔX = + ΔY = + Az A ΔY A O X E Quadrante ΔX ΔY Regra 1º Q (NE) + + Az = β

12 Passo 3. Analisar os sinais de ΔX e ΔY calculados no passo 1. Definir quadrante do Azimute. β = arctan ΔX ij ΔY ij Y N O X E β Az B ΔY B ΔX B B Quadrante ΔX ΔY Regra 2º Q (SE) + - Az =180 - β 2º Q ΔX = + ΔY = -

13 Passo 3. Analisar os sinais de ΔX e ΔY calculados no passo 1. Definir quadrante do Azimute. β = arctan ΔX ij ΔY ij Y N O X E 3º Q ΔX = - ΔY = - ΔY C C Az C β ΔX C Quadrante ΔX ΔY Regra 3º Q (SW) - - Az =180 + β

14 Passo 3. Analisar os sinais de ΔX e ΔY calculados no passo 1. Definir quadrante do Azimute. β = arctan 4º Q ΔX = - ΔY = + ΔX ij ΔY ij D ΔY D ΔX D β Y N O X E Az D Quadrante ΔX ΔY Regra 4º Q (NW) - + Az =360 - β

15 Resumo Determinação de Azimute por coordenadas SIGLA QUADRANTE ΔX ΔY VARIAÇÃO CONVERSÃO NE 1 Q a 90 Az = β SE 2 Q a 180 Az = β SW 3 Q a 270 Az = β NW 4 Q a 360 Az = β β = arctan ΔX ij ΔY ij

16 Ex. 01. São fornecidas as coordenadas planimétricas dos pontos A e B. Determine o azimute da direção de A B e da direção B A. PONTO X (m) Y (m) A 459, ,786 B 498, ,872 Ex. 02. Determine as coordenadas do ponto 2, sabendo que: X 1 = 100,00 m ; Y 1 = 100,00 m Az 12 = "; dh 12 = 38,51 m DICA: Faça um desenho das observações (croqui)

17 Ex. 01. São fornecidas as coordenadas planimétricas dos pontos A e B. Determine o azimute da direção de A B e da direção B A. PONTO X (m) Y (m) A 459, ,786 B 498, ,872 SOLUÇÃO Determine as variações de A para B ΔX AB = X B X A = 498, ,234 ΔX AB = +39,142 m ΔY AB = Y B Y A = 102, ,786 ΔY AB = 130,914 m ΔX = + ; ΔY = 2ºQuadrante A regra é Az = 180 β Como é no 2º quadrante, o azimute de AB fica da seguinte forma: Az AB = 180 arctan ΔX AB ΔY AB calculado em módulo =β Az AB = " Az AB = " Atenção com sentido: A para B, é diferente de B para A

18 Ex. 01. São fornecidas as coordenadas planimétricas dos pontos A e B. Determine o azimute da direção de A B e da direção B A. PONTO X (m) Y (m) A 459, ,786 B 498, ,872 SOLUÇÃO Az AB = " A direção contrária (B para A) também é conhecida como contra-azimute de AB Contra-azimute repetir os cálculos invertendo os sentidos (ΔX BA ; ΔY BA ), ou usar a seguinte relação: Az BA = Az AB ± 180 Az BA = "

19 Ex. 02. Determine as coordenadas do ponto 2, sabendo que: X 1 = 100,00 m ; Y 1 = 100,00 m Az 12 = "; dh 12 = 38,51 m SOLUÇÃO Determine as variações: ΔX 12 = dh 12. sen Az 12 = 38,51. sen " ΔX 12 = 3,00 m ΔY 12 = dh 12. cos Az 12 = 38,51. cos " ΔY 12 = 38,39 m E as coordenadas são X 2 = X 1 + ΔX 12 = 100,00 + 3,00 Y 2 = Y 1 + ΔY 12 = 100, ,39 X 2 = 97,00 m X 2 = 61,61 m