Introdução às Medidas em Física 3 a Aula *

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1 Introdução às Medidas em Física 3 a Aula * Marcia Takagui Ed. Ala 1 * Baseada em Suaide/ Munhoz 006 sala 16 ramal

2 Experiência II: Densidade de Sólidos! Objetivos: Medidas indiretas: Medida da densidade de sólidos; Análise de dados: Propagação de Incertezas; Compatibilidade entre medidas

3 Consolidando o conceito de incertezas! Instrumentos de medição possuem limitações Alguns instrumentos são mais recomendados que outros para efetuar uma certa medida Ex: micrômetro é mais adequado que uma régua para medir espessura de uma folha de papel Incerteza instrumental Nenhum instrumento possui precisão infinita Incerteza: em geral, metade da menor divisão (cuidado com o paquímetro!) 3

4 Consolidando o conceito de incertezas! Em alguns casos, o objeto a ser medido é construído de forma mais precisa que o instrumento utilizado para realizar a medida Ex: medir o comprimento de uma folha de sulfite com uma régua plástica O instrumento é um fator limitante: não detecta variações nas medidas da folha de sulfite, e a incerteza da medida é limitada pela precisão do instrumento. Ex: medir o período do pêndulo do Exp. 1 com relógio analógico 4

5 Consolidando o conceito de incertezas! Em outros casos, o objeto a ser medido é construído de forma menos precisa que o instrumento utilizado para realizar a medida Ex: medir a altura de uma mesa com a trena. As flutuações na altura da mesa são maiores que a precisão da trena. Qual é a altura da mesa? Neste caso, a incerteza da medida é dominada pela incerteza estatística. 5

6 Consolidando o conceito de incertezas! Há casos em que o instrumento é preciso, o objeto tem dimensões razoavelmente precisas mas há dificuldades experimentais para realizar as medidas Ex: Medir o período de oscilação do pêndulo. Nesse caso, o cronômetro é um instrumento preciso e o período do pêndulo bem reprodutível. O fator limitante é a dificuldade experimental em registrar o início e fim do tempo de medida do período. 6

7 Como estimar a incerteza?! Incertezas estão sempre presentes Limitações instrumentais... Variações na grandeza medida... Dificuldades experimentais! Muitas situações diferentes... Em muitos casos, várias das situações mostradas estão presentes ao mesmo tempo. O que fazer? 7

8 Tipos de incerteza! Instrumental Aquela associada à precisão do instrumento utilizado para realizar a medida direta de uma grandeza! Estatística Incerteza associada à flutuação no resultado de uma mesma medida! Sistemática Aquela onde a medida é desviada em uma única direção, tornando os resultados viciados 8

9 Incertezas instrumentais! Em geral é a metade da menor divisão Cuidado com instrumentos que possuem nônio (ex: paquímetro) onde a incerteza é a menor divisão do mesmo Em alguns casos, onde a definição do ponto do objeto a ser medido torna-se obscura pode-se considerar a incerteza instrumental maior que a menor divisão do instrumento de medida. 9

10 Incertezas estatísticas! O que acontece se eu repito a mesma medida, de forma independente, de um objeto? Pode ser que cada medida apresente um valor diferente. Nesse caso, a medida é a média de todas as medidas efetuadas A incerteza estatística é o desvio padrão da média. 10

11 Incertezas sistemáticas! Aquelas que falseiam a medida Ex: uma régua onde o primeiro mm está faltando e o experimentador não percebe. Todas as medidas serão 1 mm maiores do que deveriam Ex: uma balança descalibrada e/ou com o zero deslocado! Esse tipo de incerteza, em geral, só é percebida quando um resultado difere do esperado.! Uma vez detectado esse tipo de erro, as medidas devem ser corrigidas ou refeitas. 11

12 Qual é a incerteza de uma medida?! Suponha que o experimentador realize várias medidas do tamanho de uma mesa com uma régua. Incerteza instrumental: σ Linstr = 0,5 mm Incerteza estatística: σ Lestat = + L L L σ σ σ instr estat Caso um tipo de incerteza seja dominante, pode-se desprezar a outra. Ex: Período do pêndulo medido com o relogio de pulso. Neste caso, a incerteza instrumental é muito maior que a estatística. Ex: Período do pêndulo medido com cronômetro de 0,01s. Neste caso, a incerteza estatística é muito maior que a instrumental. 1

13 Medidas indiretas! Muitas vezes a medida em questão é feita de forma indireta Ex: Determinar o período do pêndulo a partir do seu comprimento Ex: Medir a área da sala a partir das medidas do comprimento e largura Ex: Medir a velocidade de um carro a partir do tempo que o mesmo leva para percorrer uma determinada distância! Como eu avalio as incertezas em medidas indiretas? 13

14 Medida da Densidade de Sólidos! O objetivo deste experimento é identificar os diferentes tipos de plásticos que compõem um conjunto de objetos.! Essa identificação pode ser feita medindo-se a densidade dos diferentes objetos, e considerando-se os valores obtidos com suas incertezas a fim de associar cada objeto com um tipo de plástico. 14

15 Densidade de sólidos! Depende da massa e do volume m ρ = σ ρ =? V! O Volume pode ser obtido pela medida das dimensões do objeto. Exemplo, um cilindro de raio R e altura H V = π R H σ V =? 15

16 Atividades! Equipes de alunos. Anotem o número da caixa para pegar a mesma caixa na aula que vem.! Cada aluno da equipe escolhe dos cilindros da caixa (necessariamente o menor e o maior devem ser pegos não pegar o cilindro escavado, se houver), medindo quantas vezes julgar necessário (justificando): A massa dos objetos Utilizar a balança digital. As dimensões dos objetos Medir as dimensões necessárias para o cáculo do volume utilizando uma régua simples.! Anotar todos os valores com as respectivas incertezas 16! Tabela na lousa

17 Cálculo do volume! Volume de um cilindro π V = π R H = D H 4! Como calcular a incerteza do volume sabendo a incerteza de R e de H? Poderíamos calcular o volume do cilindro, fixando o diâmetro, e variando a altura, para H + σ H e H σ H, obtendo V(H+σ H ) e V(H-σ H ). Poderíamos dizer que a incerteza em V devido à incerteza em H é σ V (H) = [V(H+σ H ) - V(H-σ H )]/. Analogamente, calculando o volume do cilindro, fixando a altura e variando o diâmetro, para D + σ D, D σ D, teríamos σ V (D) = [V(D+σ D ) - V(D-σ D )]/. A incerteza em V seria a combinação das duas contribuições: V ( σ ( H )) ( σ ( D) ) σ = + V V 17

18 Propagação de incertezas! Volume de um cilindro V = π R H! Como uma variação na medida de raio afeta o volume?! Essa variação é a mesma, independente da medida do raio? V ΔV R = ΔR R A mesma incerteza no raio acarreta em incertezas diferentes no volume σ V V R ( R) = σ R 18

19 Teoria de erros! Teoria na qual estuda-se o comportamento das incertezas de medidas, como elas influenciam outras medidas, e como elas se propagam no caso de uma medida indireta.! Propagação de erros Método para calcular a incerteza de uma medida indireta 19

20 Propagação de erros:! Seja uma grandeza G, dependente de duas variáveis, A e B. O valor da incerteza em G, σ G, pode ser expressa em termos das incertezas em A e B (σ A e σ B, respectivamente) através da fórmula: fórmula geral σ G G G A B A σ B σ = + Derivada parcial de G em relação a A Não conte aos matemáticos puristas mas a derivada parcial nada mais é do que a derivada comum onde todo o resto da equação pode ser considerado constante 0

21 Vamos fazer um exemplo simples! Volume de um cilindro V π = 4 D H! O Volume depende tanto do diâmetro D, cuja incerteza é σ D, e da altura H, com incerteza σ H. Assim, a incerteza do volume é dada por: σ V V V D H D σ H σ = + 1

22 Como calcular as derivadas! Suponha que todo o resto da expressão é uma constante... V π π ( D ) π π = = = = D D 4 4 D 4 D H H H ( D) DH V π π ( H ) π π = D H = D = D (1) = D H H 4 4 H 4 4

23 Desse modo...! Incerteza do volume do cilindro V V σv = σ D + σ H D H DHσ D D σ H D H π π π σ D σ H = + = D H σv σ D σ H = + V D H 3

24 Será que preciso fazer esse montão de derivadas e contas toda vez?! A rigor deve-se sempre calcular as derivadas! Na prática, com o tempo, desenvolve-se técnicas que simplificam a nossa vida! Alguns casos muito comuns: Soma e subtração Multiplicação e divisão Multiplicação ou divisão por constante Potenciação 4

25 Alguns casos comuns! Soma e subtração A incerteza da soma (ou subtração) é a raiz da soma dos quadrados das incertezas individuais! Multiplicação e divisão A incerteza percentual do produto (ou divisão) é a raiz da soma quadrática das incertezas percentuais individuais C = A + B, ou C = A B σ = σ + σ C A B A C = AB, ou C = B σ C σ A σ B = + C A B 5

26 6 Alguns casos comuns! Multiplicação ou divisão por constante A incerteza do resultado fica multiplicada ou dividida por aquela constante.! Potenciação A incerteza percentual do resultado é a raiz da soma quadrática das incertezas percentuais dos potenciandos multiplicadas pelas potências.. c A B c A B c A B ca B A A B A A B σ σ σ σ σ σ = = = = = = = = B A C B A C B A C σ β σ α σ β α

27 7 Aplicação: obtenção de σ ρ ρ = m V σ ρ = ρ σ m m + σ V V cilindro : σ V V = σ D D + σ H H e σ ρ cilindro = ρ σ m m + σ D D + σ H H

28 Atividades! Obtenha a densidade do plástico e a sua incerteza para cada cilindro medido.! Complete a tabela na lousa. 8

29 Quando medidas são compatíveis entre si?! Intervalo de confiança Significa o intervalo onde o experimentador espera que o valor verdadeiro de uma medida esteja situado. Duas medidas são compatíveis quando os seus intervalos de confiança [x-σ x, x+σ x ] se superpõem. O Intervalo de confiança não é absoluto. Lembre-se que, em uma distribuição aleatória de dados que podem ser descritos por uma função de Gauss (ver aula passada) somente ~70% das medidas vão cair nesse intervalo. 9

30 Distribuição Normal de erros Média G( y) e 1 y y σ Max σ P P P [ x ] o σ, xo + σ = 68 % [ x, ] o σ xo + σ = 95 % [ x 3σ, x + 3σ ] = 99,7 % o o 0,6 Max 30

31 Como comparar os resultados de duas medidas?! É preciso se levar em consideração sempre a incerteza de medida.! Como devemos considerar a incerteza, nos perguntamos se as medidas são compatíveis ao invés de iguais ;! Por exemplo,,74 ± 0,0 mm é compatível com,80 ± 0,05 mm?,70,75,80,85 31

32 Critério de compatibilidade! No exemplo anterior vimos que se os intervalos (a ± a ) e (b ± b ) tem uma superposição, então eles são compatíveis.! Mas se não tiverem superposição eles ainda podem ser compatíveis ao nível de se (a ± a ) e (b ± b ) tiverem superposição ou compatíveis ao nível de 3 se (a ± 3 a ) e (b ± 3 b ) tiverem superposição.! O teste Z permite de uma maneira mais direta verificar a compatibilidade: Z = a b σ a +σ b n n=1, compatíveis ao nível de 1 n=, compatíveis ao nível de n=3, compatíveis ao nível de 3 n>3, discrepantes 3

33 Exemplo: diâmetro de um fio de cobre! Quais medidas são compatíveis entre si?! Quais medidas são compatíveis com o valor nominal fornecido pelo fabricante? 33

34 Atividades! Gráfico da densidade em função da peça, incluindo as barras de incerteza.! Quantos grupos diferentes conseguimos identificar?! Para as peças do mesmo grupo, como obter um valor representativo da densidade? 34

35 1,7 Densidade de Sólidos dados da lousa 1,6 1,5 d (g/cm3) 1,4 1,3 1, 1,1 1 0,9 0, peças 35 G1 G G3 G4 G5

36 Média ponderada! Em situações onde eu tenho um conjunto de medidas com incertezas diferentes o valor médio é calculado através da média ponderada pelo inverso da incerteza quadrática.! Média para um conjunto de n medidas y i + σ i. y n yi pi i= 1 = e σ y = com p n n i = p i pi i= 1 i= σ i 36

37 Densidade de sólidos Material Densidade (g/cm 3 ) Acrílico 1,17 1,0 Nylon 1,09 1,14 Polietileno 0,941 0,965 PVC 1,35 1,45 Polipropileno 0,900 0,915 37

38 Próxima Aula! Trazer gráfico da densidade em função da peça, incluindo as barras de incerteza.! Quantos grupos diferentes de peças conseguimos identificar na sala toda?! Cada equipe: para as peças da sua caixa, obter um valor representativo da densidade com a respectiva incerteza.! Pensar numa forma de se melhorar a incerteza. 38