Medidas de Centralização

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Cássio Schmidt Deluca
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1 Medidas de Centralização Disciplina de Estatística 2012/2 Curso de Administração em Gestão Pública Profª. Me. Valéria Espíndola Lessa 1

2 Medidas - Resumo Eemplo: Em um ponto de ônibus, uma pessoa pergunta sobre o tempo até a passagem de uma determinada linha. Suponha que você havia registrado, na semana anterior, os tempos (em minutos) e obteve os seguintes resultados: 9; 12; 8; 10; 14; 7; 10 Ao responder: o ônibus demora, em média, 10 minutos, você está trocando um conjunto de valores por um único número que os resume. Ao adotar este procedimento foi utilizada uma medida-resumo, neste caso a média aritmética. 2

3 Medidas - Resumo A classificação da variável vai orientar a escolha da medida resumo mais adequada. A maior parte das medidas a serem apresentadas aplicam-se somente a variáveis quantitativas. As medidas-resumo podem focar vários aspectos no conjunto de dados. Os aspectos que iremos estudar, são: Medidas de Centralização(Tendência central); Medidas de Dispersão. 3

4 Medidas de Centralização As medidas de tendência central indicam, em geral, um valor central em torno do qual os dados estão distribuídos. As principais medidas de centralização na Estatística são: Media aritmética (simples e ponderada), mediana e moda Além destas, outras medidas são utilizadas com fins específicos tais como: média geométrica, média harmônica, 4

5 Somatório Seja os valores:,,,..., n Notação matemática: Letra grega sigma maiúsculo n i1 i n 5

6 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ( ) A média aritmética também é conhecida como ponto de equilíbrio e centro de gravidade, denominações surgidas da Física. Ela indica o valor em torno do qual há um equilíbrio na distribuição dos dados. O seu cálculo é feito conforme: n i1 n i 1 2 n 3... n 6

7 Eemplo: Determinar a média aritmética simples dos valores: 3, 7, 8, 10, 11. n ,8 7

8 No Ecel... =MÉDIA(intervalo) OU 8

o valor do dado deverá ser multiplicado pela sua frequência;

9 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA ( ) É usado quando os dados estão agrupados numa distribuição de frequências; Isso significa que o valor do dado deverá ser multiplicado pela sua frequência; Eemplo: Dados Originais: 2,2,3,4,3,3,4,4,4,2,4 X i F i

10 Com os dados originais, teríamos que somar cada número i e dividir por 11. Mas tendo a distribuição de frequências, podemos multiplicar: Ou seja, 3, n F F F F F F F n i i i

11 No Ecel... Não há fórmula específica; Teremos que inserir fórmulas... Desafio: Como você faria? 11

12 Média Aritmética nas Tabelas de Distribuição em Classes: Eemplo: Determinar a média da distribuição, sendo n=40. Renda Familiar (milhares de R$) Nº de Famílias (F i ) Neste caso, as classes são representadas pelos seus pontos médios: 3, 5, 7, 9 e 11 12

13 Classes X i = ponto médio Fi X i. F i Total ,7 A média deste grupo é de R$ 6.700,00 13

14 Eercícios de Médias Faça no Ecel também 1) Qual é a média final de um estudante que obteve as notas 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos? Se a média para aprovação é 6,0, ele foi aprovado? 2) Qual a média nas distribuições abaio: a) = 4,875; Não Xi Fi b) = 6,82 Classes 1,5 --3,5 3,5 --5,5 5,5 --7,5 7,5 --9,5 9,5 --11,5 Fi = 5,823 14

15 ~ MEDIANA ( ou Md) É a medida que está no centro de todas as outras; Numa Tabela de dados brutos: É obtida colocando-se todos os valores em ordem e se a amostra tiver um número de termos: Ímpar: a mediana é o elemento médio Par: a medida é a semi-soma dos dois elementos médios. 15

16 Eemplo com número ímpar: Encontre a mediana dos dados: 45, 41, 42, 41, 42, 43, 44, 41, 50, 46, 46 Colocando em ordem crescente, temos: 41, 41, 41, 42, 42, 43, 44, 45, 46, 46, 50 Há 11 termos, a mediana está na 6º colocação. Para calcular a ordem (posição) se faz: n º lugar 16

17 Eemplo com número par: Encontre a mediana dos dados: 45, 41, 42, 41, 42, 43, 44, 41, 50, 46 Colocando em ordem crescente, temos: 41, 41, 41, 42, 42, 43, 44, 45, 46, 50 Há 10 termos, a mediana está entre na o 5º e o 6º termo, portanto, se faz a média dos termos de ordem n n e ,5 17

18 No Ecel... Há uma fórmula pronta: =MED(intervalo) 18

19 Mediana nas Tabelas de Distribuição em Classes Eemplo: Qual é a mediana? Classes F i Σ 58 Sabemos que se há 58 elementos, a mediana é a média aritmética do elemento de posição 29º e 30º (58/2 e 58/2 +1) Então, em qual classe está a mediana? 19

20 Para facilitar a ordenação dos elementos da tabela, devemos organizar uma coluna com a Frequência Acumulada. Classes F i F ac Σ 58 1º ao 5º 6º ao 17º 18º ao 35º Quais destes valores é a mediana? 20

21 Fórmula da Mediana n ~ f L 2 aant iclasse Fclasse h L n número de elementos f h amplitude da classe F iclasse aant classe lim ite inf erior da classe frequência s acumulada anterior frequência da classe 21

22 1º) Encontrar a classe que está a mediana, como já fizemos: 3ª classe 2º)Aplicar a fórmula com L iclasse = 55; n = 58; f aant = 17; h = 10; F classe = 18 Classes F i F ac Σ 58 Classe que contém 29º e 30º elemento 22

23 ~ 55 58/ ,667 61,67 23

Eemplo: Calcule a Mediana Classes F i F ac 7 -- 17 6 6 17 -- 27 15 21 27 -- 37 20 41 37 -- 47 10 51 47 -- 57 5 56 Σ 56 28

24 Eemplo: Calcule a Mediana Classes F i F ac Σ ~ º) n/2 = 56/2 => 28º e 29º 2º) 3ª Classe 3º) Fórmula: 30,5 L iclasse = 27 F aant = 21 F classe = 20 h = 10 24

25 No Ecel... Não há fórmula específica; Teremos que inserir fórmulas... Desafio: Como você faria? 25

26 MODA (Mo) É o valor em um conjunto de dados que ocorre com maior freqüência. Um conjunto de dados pode ser: Unimodal (uma moda); 0,0,0,1,1,1,3,3,3,3,3,3,5,5,7 Mo = 3 Amodal (não possuir moda, pois não eiste nenhum valor que ocorre com maior freqüência); 1,2,3,4,5,6 Mo = não eiste Multimodal (possui mais de uma moda); 2,2,2,3,4,5,6,6,6,7,8 Mo = 2 e 6 26

27 No Ecel... Há fórmula: = Mo(intervalo) 27

28 Eemplo: Calcular a Moda da distribuição: Xi Fi Como podemos ver, o valor que tem mais frequência (23) é o 248, portanto, Mo =

29 Moda com Tabela de distribuição em Classes Eemplo: Calcular a moda. Classes Σ Fi Conseguimos ver em qual classe está a moda, encontrando a classe com maior frequência. Classe modal: 3º 29

30 É preciso aplicar a fórmula: Mo L iclasse h L iclasse Limite inf erior da classe 1 diferença entre a frequência a imediatamente inf erior da classe mod al e 2 diferença entre a frequência a imediatamente superior da classe mod al e h amplitude da classe 30

31 Eemplo: Calcular a moda. Classes Σ Fi Resolução: 1º) Devemos encontrar a classe modal, ou seja, a classe que possui a maior frequência, neste caso é a 3ª classe; 2º) Aplicar a fórmula: Δ 1 = = 7 Δ 2 = 17 8 = 9 h = 1 L iclasse = 2 7 Mo ,

32 Eemplo: Calcular a Moda Classes 1,5 --3,5 3,5 --5,5 5,5 --7,5 7,5 --9,5 9,5 --11,5 Fi ) A 3º classe é de maior frequência, portanto é a classe modal; 2) Aplicar a fórmula: Δ 1 = = 2 Δ 2 = = 10 h = 2 L iclasse = 5,5 2 2 Mo 5,5 2 5, ,5 5, ou 5,5 0,33 5,83 32

33 No Ecel... Não há fórmula específica; Teremos que inserir fórmulas... Desafio: Como você faria? 33

34 - Lista de Eercícios - 34

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