[Ano] CÁLCULOS ESTATÍSTICOS PARA ANÁLISE E TOMADA DE DECISÃO. Universidade Cruzeiro do Sul

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1 [Ano] CÁLCULOS ESTATÍSTICOS PARA ANÁLISE E TOMADA DE DECISÃO Universidade Cruzeiro do Sul

2 CÁLCULOS ESTATÍSTICOS PARA ANÁLISE E TOMADA DE DECISÃO Responsável pelo Conteúdo: Carlos Henrique e Douglas Mandaji Revisão Tetual: Profa. Ms. Alessandra Fabiana Cavalcante Campus Virtual Universidade Cruzeiro do Sul

3 Í N D I C E Medidas de Tendência Central Introdução... - Média Aritmética... - Moda Mediana... Medidas de Dispersão Absoluta 4- Amplitude Total Variância e Desvio Padrão Bibliografia

4 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Introdução As medidas de posições mais importantes são as medidas de tendência central ou promédias verifica-se uma tendência dos dados observados a se agruparem em torno dos valores centrais. As medidas de tendência central mais utilizadas são: média aritmética, moda e mediana. Outros promédios menos usados são as médias: geométrica, harmônica, quadrática, cúbica e biquadrática. As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: a própria mediana, os decis, os quartis e os percentis.. MÉDIA ARITMÉTICA valores. É igual à divisão entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos FÓRMULA DA MÉDIA ARITMÉTICA: i X n Soma dos valores de i Número quantidade de valores de i Dados Não-Agrupados Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados em tabelas de freqüências, determinamos a média aritmética simples. 4

5 Eemplo : Sabendo-se que a venda de arroz tipo A, durante uma semana, foi de 0, 4, 3, 5, 6, 8 e quilos. Qual foi a média de venda diária na semana de arroz? X Resposta: A média diária de arroz na semana foi de 4 quilos por dia. Dados Agrupados: A Sem intervalos de classe, Variável Discreta sem faias: Eemplo : Consideremos a seguinte distribuição relativa a 34 famílias que possuem quatro filhos cada uma, tomando como variável o número de filhos do seo masculino. Calcularemos a quantidade média de meninos por família. Tabela da Variável Discreta Meninos Nº de Meninos ou i Famílias Freqüência ou fi fi 34 5

6 Como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula: FÓRMULA MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA: X i. fi fi Soma dos produtos multiplicação entre os valores de i e fi Somatória da freqüência fi Para ajudar nos cálculos vamos organizar as variáveis na seguinte tabela:..i...fi...i. fi Total fi = 34 i.fi = 8 6

7 X i. fi fi 8 34,3 ou X i. fi fi ,3 Resposta: A média é de,3 meninos, em famílias que possuem quatro filhos. B Com intervalos de classe, Variável Contínua com faias: Eemplo 3: Calcular a estatura média de bebês em uma certa comunidade conforme a tabela:

8 Tabela da Variável Contínua Estatura de Bebês Ponto Médio fr % de Cada Classe Classe ou Estaturas em fr = fi. fac fi cm 00 Cálculo: i Σfi i = li + Li % ,5% ,5% % ,5% ,5% 40 fi 40 fr% 00% Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula: Para ajudar nos cálculos vamos organizar as variáveis na seguinte tabela: 8

9 Estaturas cm fi..i...i. fi Obs: Na primeira coluna temos os intervalos de classe das alturas, separados em 4 em 4 centímetros, na segunda coluna a quantidade de cada um fi, na terceira coluna o i encontrado após o cálculo do ponto médio e na quarta coluna, o produto multiplicação i.fi. Total fi = 40 i.fi =.440 X i. fi fi ou X i. fi fi Resposta: A estatura média dos bebes é de 6 centímetros. 9

10 MODA É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores. Simbolizamos por mo = moda. Por eemplo, o salário mais comum em uma fábrica é chamado de salário modal, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa fábrica. Eemplos de Moda mo envolvendo Dados Brutos e Rol A Moda quando os dados não estão agrupados é facilmente reconhecida. Basta procurar o valor que mais se repete. Por eemplo: Na série {, 8, 9, 0, 0, 0,, } a moda é mo = 0. Há séries nas quais não eista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros. Por eemplo: Na série { 3, 5, 8, 0, } não apresenta a moda mo, portanto, dizemos que a série é amodal. Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. Por eemplo: Na série {, 3, 4, 4, 4, 5, 6,,,, 8, 9 } apresenta duas modas mo = 4 e mo =. A série, então, é bimodal. Eemplos de Moda mo quando os dados estão agrupados: Na Variável Discreta Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fiar o valor da variável de maior freqüência. 0

11 Eemplo 4: Qual a temperatura mais comum medida conforme a tabela abaio: Tabela da Variável Discreta Temperatura Temperaturas i Freqüência ou fi 0º C º C 5 º C 3º C 6 fi 4 Resposta: Portanto, a temperatura modal é de º C, pois é a de maior freqüência da variável discreta. mo = º C. Na Variável Contínua Eemplo 5: Calcule a estatura modal conforme a tabela abaio. Tabela da Variável Contínua Estatura Estaturas em cm ou h Freqüência ou fi Obs: A maior freqüência fi está entre 58 6, para determinarmos a moda de uma Variável Contínua precisaremos de mais uma fórmula. fi 33

12 A classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. Para o cálculo da moda em variável contínua utilizaremos a fórmula de Czuber, pois, em sua fórmula, levou em consideração, a freqüência simples da classe anterior, a freqüência simples da classe posterior, além da freqüência simples da classe modal. É, portanto, uma fórmula mais completa para o cálculo da moda em variável contínua. FÓRMULA DE CZUBER PARA MODA mo : fi mo fi ant Mo li mo. h. fi mo [ fi ant fi post] onde: limo = limite inferior da classe modal. fimo= freqüência da classe modal. fiant = freqüência da classe anterior à classe modal. fipost= freqüência da classe posterior à classe modal. 9 Mo ,4.4 58,6 59,6.[9 8] 5 h= amplitude do intervalo de classe. Resposta: Portanto, a moda da estatura é igual a 59,6. Obs: A moda é utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e aproimada de posição ou quando a medida de posição deva ser o valor mais

13 típico da distribuição. Já a média aritmética é a medida de posição que possui a maior estabilidade. 3 MEDIANA A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem crescente ou decrescente, é o valor situado, de tal forma no conjunto, que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. Símbolo da mediana md. Mediana em dados não-agrupados: Por eemplo: Dada uma série de valores como: { 5,, 6, 3, 9, 5, 0 } De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação crescente ou decrescente dos valores, então: {, 5, 6, 9, 0, 3, 5 } md = 9. O valor que divide a série acima em duas partes iguais é o número 9, logo, a Método prático para o cálculo da Mediana: Se a série dada tiver número ímpar de termos, o valor mediano será o termo de ordem dado feita fórmula: Elemento n Por eemplo: Calcule a mediana da série { 0, 0,,,,, 3, 4, 5 } n = 9 elementos, logo: Elemento 9 5 3

14 . Resposta: Então, a mediana será o termo que ocupa a 5ª posição, ou seja, md = Se a série dada tiver número par de termos, o valor mediano será o termo de ordem dado feita fórmula: Elemento n n n n e Obs: Os elementos são termos de ordem e devem ser substituídos pelo valor correspondente. Por eemplo: Calcule a mediana da série { 0, 0,,,, 3, 3, 4, 5, 6 } n = 0 elementos, substituindo na fórmula, temos: Elemento Obs: Os números 5 e 6 numerador são na realidade a 5ª + 6ª posição, então: 5ª posição = 6ª posição = 3 Elemento 3 5,5 Resposta: Então, a mediana será a média aritmética dos termos centrais da série, no caso, são os termos da 5ª e 6ª posição, ou seja, md =. 4

15 Obs: Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. A mediana será sempre a média aritmética dos dois elementos centrais da série. IMPORTANTE: Em uma série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor. A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Essa é uma da diferenças marcantes entre mediana e médias que se deia influenciar, e muito, pelos valores etremos. Por eemplo: Na seqüência: { 5,, 0, 3, 5 } a média = 0 e a mediana = 0. Cálculo da média: X i n Na seqüência: { 5,, 0, 3, 65 } a média = 0 e a mediana = 0. Cálculo da média: i X n Isto quer dizer que, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência dos valores etremos, ao passo que a mediana permanece a mesma. 5

16 Na Variável Discreta sem intervalos de classe Neste caso, é o bastante identificar a freqüência acumulada fac imediatamente superior à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal freqüência acumulada. Eemplo 6: Dada a tabela abaio, identifique o valor da mediana:..i...fi. fac Total fi = 35 Obs: Quando o somatório das freqüências for ímpar o valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula: Posição Elemento Mediano fi Calculando a Posição Elemento fi 35 Mediano 36 8 Portanto, a série admite apenas um termo central que ocupa a posição 8 o. 6

17 Resposta: Então, a mediana será o termo que ocupa a 8ª posição, ou seja, pela coluna da fac temos md = 3. Eemplo : Dada a tabela abaio, identifique o valor da mediana:..i...fi. fac Total fi = 8 Obs: Quando o somatório das freqüências for par o valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula: Posição Elemento Mediano fi fi Calculando a fi fi Posição Elemento Mediano 4ª + 5ª Posição Posição Elemento Mediano 5,5

18 Resposta: Então, a mediana será a média aritmética dos termos centrais da série, no caso, são os termos da 4ª e 5ª posição, ou seja, md = 5,5. Na Variável Contínua com intervalos de classe Neste caso, é preciso seguir as etapas: º Calculamos a posição da mediana na série n/. º Para identificarmos o intervalo de classe da mediana determinamos as freqüências acumuladas fac. 3º Calculamos a mediana md pela seguinte fórmula de Czuber:. FÓRMULA DE CZUBER PARA MEDIANA md : n f ac ant Md li md. h fi md onde: limd = limite inferior da classe mediana. facant = freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana. fimd= freqüência simples da classe mediana. h= amplitude do intervalo da classe mediana. Eemplo 8: Dada a tabela abaio, calcule o valor da mediana: 8

19 Estaturas cm fi fac NA 0ª POSIÇÃO É ONDE SE ENCONTRA A MEDIANA DESTA VARIÁVEL CONTÍNUA. Total fi = 40 Calculando a mediana: o Passo: n/ 40/ = 0ª posição, logo a classe da mediana será o Passo: Construindo o fac, para encontrarmos a 0ª posição, logo temos as seguintes informações: limd = facant = 3... fimd =... h = 4 3 o Passo: Substituindo esses valores na fórmula de Czuber, obtemos: Md n 40 f ac ant li md. h fi md 8 Md ,55 60,55 Resposta: Portanto, a mediana estimada da variável contínua é igual a 60,55. 9

20 MEDIDAS DE DISPERSÃO ABSOLUTA 4 AMPLITUDE TOTAL É a única medida de dispersão que não tem na média o ponto de referência. Em um Rol: Quando os dados não estão agrupados a amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor observado: A T = X máimo X mínimo. será: Por eemplo: Dada à seqüência { 40, 45, 48, 6, 0 } a Amplitude total A T = 0 40 = 30 Em uma Variável Discreta: Quando os dados estão agrupados sem intervalos de classe a amplitude total também é: A T = X máimo X mínimo. Por eemplo: Dada a tabela abaio, calcule o valor da Amplitude Total:..i. fi Total fi = 30 Calculando a Amplitude Total: A T = X máimo X mínimo A T = 0 = 8 0

21 Em uma Variável Contínua: Com intervalos de classe a Amplitude Total é a diferença entre a média do limite superior da última classe e a média do limite inferior da primeira classe. Por eemplo: Dada à tabela abaio, calcule o valor da Amplitude Total: Classes..fi Total fi = Calculando a Média do Limite superior A T Calculando a Média do Limite inferior A T Então, A T = X máimo X mínimo A T = 9 5 = 4 Nota: A amplitude total tem o inconveniente de só levar em conta os dois valores etremos da série, descuidando do conjunto de valores intermediários. Faz-se uso da amplitude total, por eemplo, quando se quer determinar a amplitude da temperatura em um dia, no controle de qualidade ou como um cálculo rápido de uma medida sem muita eatidão.

22 5 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO É a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central média ou mediana tomado como ponto de comparação. A média ainda que considerada como um número que tem a faculdade de representar uma série de valores, não pode, por si só, destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que eiste entre os valores que compõem o conjunto. A Variância é uma média aritmética calculada a partir dos quadrados dos desvios obtidos entre os elementos da série e a sua média e o Desvio Padrão é a raiz quadrada positiva da variância O Desvio Padrão é a medida de dispersão que mais é empregada, pois leva em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo. É um indicador de variabilidade bastante estável. O Desvio Padrão baseia-se nos desvios em torno da média aritmética e a sua fórmula básica pode ser traduzida como: a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios da amostra e é representada pela letra s e sua variância é representada s². FÓRMULA DA VARIÃNCIA S²: S i n FÓRMULA DO DESVIO PADRÃO S: S i S S n OU

23 Em Dados Brutos e Rol Eemplo 9: Calcular a variância e o desvio padrão da seqüência, com n = 4 elementos, em dados brutos temos { 4, 5, 8, 5 }, organizando em ordem crescente temos Rol { 4, 5, 5, 8 }. o Passo: Calculando a Média Aritmética: X i n ,5 o Passo: Calculando os quadrados da diferença de cada elemento com a média aritmética calculada. i 4 5,5 5 5,5 5 5,5 8 5,5 i,5 0,5 0,5,5,5 0,5 0,5 6,5,5 0,5 0,5 6,5 9 3 o Passo: Calculando a Variância e o Desvio Padrão da amostra: Variância S i n Desvio Padrão S i n 3,3 Resposta: Portanto, o Desvio Padrão é aproimadamente,3, isso quer dizer que, a medida de dispersão dos valores { 4, 5, 5, 8 } em torno de sua média aritmética que foi de 5,5 é igual ao Desvio Padrão de,3. 3

24 Obs: Para facilitar os cálculos estatísticos, podemos também montar a seguinte tabela: n..i. i i 4 5,5 4 5,5 =,5,5 5 5,5 5 5,5 = 0,5 0, ,5 5 5,5 = 0,5 0, ,5 8 5,5 =,5 6,5 i 9 i n Calculando a Variância S i n Calculando o Desvio Padrão S 3, 3 Em Variável Discreta Eemplo 0: Dada a tabela abaio, calcule o valor da Variância e do Desvio Padrão: i. fi Total fi = 0 4

25 Obs: Como há repetições de elementos no conjunto, definimos a Variância como sendo uma Média Aritmética Ponderada dos quadrados dos desvios dos elementos da série para a média da série. º Passo: Calculando a Média Aritmética Ponderada X i. fi fi ,65 Agora, para facilitar os cálculos, vamos utilizar a seguinte tabela:..i fi i.fi i i i. fi 3 6 3,65 =,65,5,5.3 = 8, ,65 = 0,65 0,45 0,45.5 =, ,65 = + 0,35 0,5 0,5.8 = 0, ,65 = +,35,85,85.4 =,900 fi 0 i.fi 3 i. fi 3 X 3, 65 fi 0 i. fi 8,55 i. fi fi 8,55 0 Calculando a Variância S 0, 963 i. fi Calculando o Desvio Padrão S 0,963 0, 988 fi Resposta: A Variância vale apro. 0,98 e o Desvio Padrão é de apro. 0,99. 5

26 Em Variável Contínua Eemplo : Dada a tabela abaio, calcule o valor da Variância e do Desvio Padrão: Classe Intervalo de Classe li Li i fi..i. fi Total fi = 0 i.fi = 84 º Passo: Calculando a Média Aritmética Ponderada X i. fi fi ,4 Agora, para facilitar os cálculos, vamos utilizar a seguinte tabela: 6

27 ..i fi i.fi i i i. fi 8,4 = 6,4 40,96 40,96. = 40, ,4 =,4 5,6 5,6.3 =, ,4 = +,6,56,56.5 =, ,4 = + 5,6 3,36 3,36. = 3,36 fi 0 i.fi 84 i. fi 84 X 8, 4 fi 0 i. fi 0,4 i. fi fi 0,4 0 Calculando a Variância S, 38 i. fi Calculando o Desvio Padrão S,38 3, 33 fi Resposta: A Variância vale aproimadamente,4 e o Desvio Padrão é de aproimadamente 3,4. Eemplo : Calcule a variância e o desvio padrão das notas de três turmas de estudantes. Notas de estudantes das Turmas A, B e C: Turma Notas dos Alunos Média Desvio Padrão A ,3 B ,5 C 0 6,5,5 6 6,49 Cálculo da variância e desvio padrão da turma A:

28 8 CÁLCULOS ESTATÍSTICOS PARA ANÁLISE E TOMADA DE DECISÃO Média: 0 6, n i X Variância: n i s, n i s Desvio Padrão: 3,,. n i s Cálculo da variância e desvio padrão da turma B: Média: 0 6, n i X Variância: n i s, n i s Desvio Padrão: 5 3,,9. n i s Cálculo da variância e desvio padrão da turma C: Média: 6, ,5, n i X Variância: 6,5, n i s 6, 43,5 0,5, n i s Desvio Padrão: 49, 6,. n i s

29 Resposta: Analisando os dados da tabela acima verificamos através da média que as três turmas tenderam a ter as notas em torno de seis, porém a seqüência de notas que geraram esta média são bastante diferentes. A turma A foi quem apresentou menor desvio padrão e a turma B o maior desvio. O Desvio Padrão fornece informação sobre a dispersão variância ou heterogeneidade dos valores em estudo. 9

30 Anotações 30

31 Referências 6 BIBLIOGRAFIA MORETTIN, L.G., Estatística Básica, ª Edição, São Paulo, PEARSON, 000. NEUFELD, J.L., Estatística Aplicada a Administração Usando o Ecel, São Paulo, PEARSON, 003. SPIEGEL, M.R., Estatística, 3ª Edição, Coleção Schaum, São Paulo, PEARSON, 994. SPIEGEL, M.R., Probabilidade e Estatística, Coleção Schaum, São Paulo, PEARSON, 9. COMPLEMENTAR: DOWNING, D., Estatística Aplicada, ª Edição, São Paulo, Saraiva, 00. SILVA, E.M., Estatística Para os Cursos de; Economia, Administração e Ciências Contábeis, 3ª Edição, São Paulo, Atlas, 999. OBS: Caso tenha dúvidas, quanto ao conteúdo e/ou eemplos resolvidos, coloque-as diretamente no item SANANDO DÚVIDAS, desta Unidade. NÃO ESQUEÇA DE ACESSAR OS ITENS PRATICANDO e COOPERANDO E COLABORANDO DESTA UNIDADE... VOCÊ ENCONTRARÁ NOSSAS ATIVIDADES AVALIATÓRIAS... DURANTE ESTA SEMANA VOCÊ DEVERÁ FINALIZAR O PROJETO DE PESQUISA DE MERCADO. UTILIZE O MODELO PROPOSTO, COLOQUE SEUS COMENTÁRIOS A RESPEITO DOS DADOS ENCONTRADOS E QUAL A SUA DECISÃO SOBRE A IMPLANTAÇÃO DE UM RESTAURANTE EM SUA REGIÃO 3

32 Campus Liberdade Rua Galvão Bueno, São Paulo SP Brasil Tel: Campus Virtual Cruzeiro do Sul 3