22/02/2014. AEA Leitura e tratamento de dados estatísticos apoiado pela tecnologia da informação. Medidas Estatísticas. Medidas Estatísticas

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1 Universidade Estadual de Goiás Unidade Universitária de Ciências Socioeconômicas e Humanas de Anápolis AEA Leitura e tratamento de dados estatísticos apoiado pela tecnologia da informação Prof. Elisabete Tomomi Kowata betetk010@gmail.com 19/10/ AGENDA Parâmetros Principais medidas estatísticas Medidas de posição 1 Medidas de tendência central 1.1 Média 1. Mediana 1.3 Moda Separatrizes Principais separatrizes.1 Mediana. Quartis.3 Decis.4 Centis 3 Medidas de dispersão 3.1 Desvio 3. Variância 3.3 Desvio Padrão Parâmetros Quando se tem um experimento estatístico em que os resultados são numéricos, se torna necessário encontrar valores pelos quais representem estes dados de forma que a partir deles tirem conclusões acerca deste conjunto de informações. Estes valores são denominados Parâmetros. 3 1

2 Principais Medidas de Posição Dado o rol x 1, x,... x n, medidas de posição visam encontrar números (parâmetros) pelos quais ocupam colocações pré-definidas dentro deste rol. 4 Principais 1 Medidas de Tendência Central: São valores que ocupam colocações aproximadamente no centro deste rol, sendo que as principais são: Média Mediana Moda 5 Principais 1 Média: Notação Definição 1 x 1, x,... x n é o rol em estudo. 6

3 Principais 1 Média: Exemplo 1. Na resolução de uma prova de matemática aplicada a 8 alunos, o tempo que cada um gastou para respondê-la foi: 50, 64, 68, 78, 80, 86, 90 e 100 (em minutos). Ache o tempo médio de resolução desta prova. 7 Principais 1 Média: Exemplo 1. Na resolução de uma prova de matemática aplicada a 8 alunos, o tempo que cada um gastou para respondê-la foi: 50, 64, 68, 78, 80, 86, 90 e 100 (em minutos). Ache o tempo médio de resolução desta prova. 8 Principais 1 Média: Exemplo. Em uma escola infantil, foi observado o peso de cada aluno em idade pré-escolar, cujos valores observados foram: e 18 Encontre o peso médio da turma. 9 3

4 Principais 1 Média: Exemplo. Em uma escola infantil, foi observado o peso de cada aluno em idade préescolar, cujos valores observados foram: e 18 Encontre o peso médio da turma. 10 Principais 1 Média: Exemplo. Em uma escola infantil, foi observado o peso de cada aluno em idade préescolar, cujos valores observados foram: e 18 Encontre o peso médio da turma. Outra forma de encontrar a média: 11 Principais Média com Dados em Frequência: Fórmula 1 f 1, f,... f r são as frequências de x 1, x,..., x r. 1 4

5 Principais Média com Dados em Frequência Para facilitar os cálculos pode-se utilizar uma tabela auxiliar denominada Tabela de Operações tal qual: Peso (Kg) x i f i f i.x i (34+4)/ = (4+50)/= (50+58)/= (58+66)/= (66+74)/= (74+8)/= TOTAL Principais Mediana: Definição Mediana do rol x 1, x,... x n é o número M d que o divide em duas partes cada qual com a mesma quantia de elementos. 14 Principais Mediana: Exemplo 1: a) 4, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 11 e Md = 8 (para números de elementos igual a ímpar) 15 5

6 Principais Mediana: Exemplo : b) 6, 6, 7, 8, 8, 11, 15, 17, 18, 19, 19 e Md = 13 (para números de elementos igual a par) 16 Principais Mediana: Exemplo 3: c) 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5 e Md = 4 (para números de elementos igual a ímpar) 17 Principais Cálculo da Mediana em uma Distribuição de Frequência a) Pontual A mediana é o valor de x onde na distribuição de frequência se encontra o elemento metade. 18 6

7 Principais Cálculo da Mediana em uma Distribuição de Frequência a) Por intervalo Utiliza-se a fórmula: 19 Principais Cálculo da Mediana em uma Distribuição de Frequência Distribuição simples e a acumulada Exemplo: a) Do número de Revistas Tabela 1 GOIÁS Número de revistas lidas pelos alunos da A ordem do elemento metade é: Escola X Ano A. Número de Revistas Número de Alunos Fac TOTAL 60 Fonte: Dados fictícios. Observando a frequência acumulada percebe-se que ele está na ª classe. A mediana é: m d = 1 revista Resposta: 1 revista. 0 Principais Cálculo da Mediana em uma Distribuição de Frequência a) Por intervalo l Fa f h LEGENDA é o limite inferior da classe mediana é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana é a frequência simples da classe mediana é a amplitude da classe mediana Classe mediana É a classe que contem o elemento da Distribuição de Frequência Acumulada 1 7

8 Principais Cálculo da Mediana em uma Distribuição de Frequência Por intervalo Exemplo: a) Do peso dos alunos Tabela 1 GOIÁS Peso dos alunos da Escola X Ano A. Peso (Kg) Número de Alunos Fac TOTAL Fonte: Dados fictícios. Resposta: 54,5 Kg. Interpretação: 50% dos alunos da 8ª série tem peso inferior a 54,5 Kg. A ordem do elemento metade é: e ele está na 3ª classe, ou seja classe mediana é: l = 50 Fa = 15 f = 4 h = = 8 Md = ,5 = 54,5 Principais 3 Moda: Definição 3 Moda é o número que aparece com maior frequência em um rol. 3 Principais 3 Moda: Exemplos: a),, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 e 8 A moda é M o =

9 Principais 3 Moda: Exemplos: b) 11, 11, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16 e 18 Possui duas modas: M o1 = 13 e M o = Principais 3 Moda: Exemplos: c),,, 4, 4, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7 e 7 Possui 4 modas que são: M o1 = M o = 4 M o3 = 6 M o4 = 7. 6 Principais 3 Moda: Exemplos: d) 3, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 9 e 9 Não possui moda. 7 9

10 Principais 3 Moda: Quanto ao número de modas, um rol se classifica em: a) Amodal não possui moda; b) Unimodal Possui exatamente uma moda; c) Plurimodal Possui mais de uma moda. A moda só é considerada medida de tendência central no caso unimodal, nos demais casos é apenas uma medida estatística de análise. 8 Principais Cálculo da moda em uma Distribuição de Frequência a) Por ponto A moda é o valor de x que possui maior frequência. 9 Principais Cálculo da moda em uma Distribuição de Frequência a) Por intervalo O cálculo da moda é feito pela fórmula CZUBER: 30 10

11 Principais Cálculo da moda em uma Distribuição de Frequência a) Por intervalo: l 1 h LEGENDA é o limite inferior da classe modal é a diferença entre a frequência da classe modal e a da anterior é a diferença entre a frequência da classe modal e a da posterior é a amplitude da classe modal Classe Modal É a classe que ocorre com maior frequência. 31 Principais Cálculo da moda em uma Distribuição de Frequência Distribuição simples e a acumulada Exemplo: a) Encontrar a moda da distribuição: Do número de Revistas Tabela 1 GOIÁS Número de revistas lidas pelos alunos da Escola X Ano A. Número de Revistas Número de Alunos TOTAL 60 Fonte: Dados fictícios. Observando a tabela tem-se que onde ocorreu maior frequência foi na primeira classe. Assim: A moda é: m o = 0 revista Resposta: 0 revista. 3 Principais Cálculo da moda em uma Distribuição de Frequência Por intervalo Exemplo: a) Do peso dos alunos Tabela 1 GOIÁS Peso dos alunos da Escola X Ano A. Peso (Kg) Número de Alunos TOTAL 57 Fonte: Dados fictícios. Resposta: 54,3 Kg. Olhando na tabela tem-se que onde ocorreu maior frequência foi na terceira classe. Assim: Classe Modal: l = 50 1 = 4 11 = 13 = 4 13 = 11 h = = 8 M o = ,3 = 54,3 Interpretação: O peso mais comum entre os estudantes da 8ª série é 54,3 Kg

12 Principais Separatrizes: Separatrizes são números pelos quais procuram dividir o rol em partes que possuem alguma característica em comum. Principais separatrizes: 1) Mediana ) Quartis 3) Decis 4) Centis 34 Principais Mediana: É considerada também uma separatriz, pois divide o rol em partes cada qual com 50% dos elementos. 35 Principais Quartis: Quartis são os números que dividem um rol em 4 partes cada uma com 5% dos elementos; ao todo existem 3 quartis. Notação: 1º quartil: Q1 º quartil: Q 3º quartil: Q3 5% 5% 5% 5% Q 1 Q Q 3 Note que: Abaixo de Q 1 tem-se 5% dos elementos. Abaixo de Q tem-se 5% dos elementos. Abaixo de Q 3 tem-se 5% dos elementos. 36 1

13 Principais Decis: Decis são os números que dividem um rol em 10 partes cada uma com 10% dos elementos; ao todo existem 9 decis. Notação: D1; D; D3; D4; D5; D6; D7; D8; D9 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% D 1 D D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9 37 Principais Centis: Centis são os números que dividem um rol em 100 partes cada uma com 1% dos elementos; ao todo existem 99 centis. Notação: Pi i = 1,, 3, 4,..., Principais Cálculo de uma Separatriz em uma Distribuição de Frequência 39 13

14 Principais l F a f h pos a) Cálculo de uma separatriz em uma distribuição de frequência: LEGENDA é o limite inferior da classe separatriz é a frequência acumulada da classe anterior à classe separatriz é a frequência simples da classe mediana é a amplitude da classe separatriz é a posição da separatriz e é dada abaixo Classe Separatriz É a classe que contem o elemento identificado pela Posição na Distribuição de Frequência Acumulada Mediana Quartil i Decil i Centil i n pos = i.n pos = 4 i.n pos = 10 i.n pos = Principais Cálculo do Quartil em uma Distribuição de Frequência Por intervalo Exemplo: a) Do peso dos alunos Tabela 1 GOIÁS Peso dos alunos da Escola X Ano A. Peso (Kg) Número de Alunos Fa TOTAL Fonte: Dados fictícios. Calcular o 1º Quartil: 1.57 pos = = 14,5 4 Classe Q 1 : l = 4 F a = 4 f = 11 h = 50 4 = 8 14,5-4 = Q1 = Quartil i i.n pos = 4 49,45 Interpretação: 5% dos alunos da 8ª série pesam menos que 49,45 quilogramas. 41 Principais Cálculo do Quartil em uma Distribuição de Frequência Por intervalo Exemplo: a) Do peso dos alunos Tabela 1 GOIÁS Peso dos alunos da Escola X Ano A. Peso (Kg) Número de Alunos Fa Calcular: a) 3º Decil b) 78º Centil Classe TOTAL Fonte: Dados fictícios. l = F a = f = h = Interpretação:? 4 14

15 Principais Medidas de Dispersão: As medidas de dispersão servem para avaliar o grau de concentração, bem como a variação, que os dados obtidos possuem em torno da média. 1) Desvio ) Variância 3) Desvio Padrão 43 Principais Medidas de Dispersão: Desvio Seja o rol: x 1, x,..., x n denomina-se desvio de x i em relação à média ao número d i dado por: d i = xi x 44 Principais Medidas de Dispersão: Desvio Exemplo: Ao examinar a estatura dos membros de uma família, os valores (em cm) encontrados foram: 17, 168, 181, 173 e ) Calcular a média da amostra: x = = 171,6 5 ) Calcular os desvios: d 1 = ,6 = 0,4 d 4 = ,6 = 1,4 d = ,6 = -3,6 d 5 = ,6 = -7,6 d 3 = ,6 = 9,

16 Principais Medidas de Dispersão: Desvio 858 x = = 171,6 5 Exemplo: 1) Calcular os desvios: d 1 = ,6 = 0,4 d 4 = ,6 = 1,4 d = ,6 = -3,6 d 5 = ,6 = -7,6 d 3 = ,6 = 9,4 Nota: d i = 0,4 3,6 + 9,4 + 1,4 7,6 = 0 46 Principais Medidas de Dispersão: Desvio Propriedade dos desvios d i = 0 Comentário Devido a soma dos desvios ser Zero, para utilizá-los na análise de variação de dados, se torna necessário antes de tudo transformálos em positivo. 47 Distribuição de Frequência Principais Medidas de Dispersão: Variância Exemplo: 1) Calcular os desvios: d 1 = ,6 = 0,4 d 4 = ,6 = 1,4 d = ,6 = -3,6 d 5 = ,6 = -7,6 d 3 = ,6 = 9,4 A variância é a soma dos desvios elevado ao quadrado, dividido por número de amostras. s (0,4) + (-3,6) + (9,4) + (1,4) + (-7,6) = 5 = 3,

17 Principais Medidas de Dispersão: Desvio padrão Definição: Denomina-se Desvio Padrão de um rol à raiz quadrada de sua variância. 49 Principais Medidas de Dispersão: Desvio padrão Exemplo: (0,4) + (-3,6) + (9,4) s = 5 s = 3,4 S = 5,68 + (1,4) + (-7,6) = 3,4 50 Referências LAPPONI, Juan Carlos. Estatística usando Excel. São Paulo: Lapponi Treinamento e Editora, 000. MONTEIRO FILHO, Gercino. Estatística prática para pedagogia e ciências da educação. 1. ed., Goiânia: Gráfica e Editora Vieira Ltda,

18 Dúvidas? 5 18