Bioestatística. Aula 3. MEDIDAS SEPARATRIZES Quartis, Decis e percentis. Profa. Alessandra Bussador

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1 Bioestatística Aula 3 MEDIDAS SEPARATRIZES Quartis, Decis e percentis Profa. Alessandra Bussador

2 Quartis dados não agrupados Dividem os dados ordenados em quatro partes: Primeiro Quartil (Q1): valor que faz com que 25% das observações sejam menores e 75% sejam maiores que Q1 Segundo Quartil (Q2): é a MEDIANA 50% das observações são menores que Q2 e 50% são maiores Terceiro Quartil (Q3): valor que faz com que 75% das observações sejam menores e 25% sejam maiores que Q3

3 Dados não agrupados Q 1 = valor que corresponde à posição: Q 2 = valor que corresponde à posição: Q 3 = valor que corresponde à posição:

4 Regras usadas para obter os valores da separatriz Se o ponto de posicionamento for um número inteiro, é só usar o número correspondente àquela posição Se o ponto de posicionamento estiver na metade entre 2 números inteiros, a média dos dois números à direita e à esquerda será a separatriz Se o ponto de posicionamento não for a metade do caminho entre dois números inteiros, usamos o que estiver mais próximo.

5 Quartis Os salários mensais para uma amostra de 12 administradores são: Determine os três quartis.

6 Quartis Os salários mensais para uma amostra de 12 administradores são: Determine os três quartis Q1 = (N+1) /4 = (12+1)/4 = 13/4 = 3,25 = 3 -> Q2 = 2(N+1) /4 = 2*13/4 = 6,5 -> ( ) / 2 -> Q3 = 3(N+1) /4 = 3*13/4 = 9,75 -> 2.450

7 Decis dados não agrupados Chamamos de decis os valores que dividem uma série em dez partes iguais. Portanto, temos nove decis, o primeiro tem 10% dos dados à sua esquerda e 90% à sua direita, o segundo tem 20% dos dados à sua esquerda e 80% à sua direita e assim por diante até o nono decil, que tem 90% dos dados à sua esquerda e 10% à sua direita. 1 decil (D1) P=0,10 (N+1) 2 decil (D2) P=0,20 (N+1) 3 decil (D3) P=0,30 (N+1) 4 decil (D4) P=0,40 (N+1) 5 decil (D5) P=0,50 (N+1) 6 decil (D6) P=0,60 (N+1) 7 decil (D7) P=0,70 (N+1) 8 decil (D8) P=0,80 (N+1) 9 decil (D9) P=0,90 (N+1)

8 Percentis dados não agrupados Chamamos de percentis os noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais. O cálculo dos percentis está relacionado com percentagem. No quadro abaixo são mostrados alguns percentis: 5 percentil (P5) P=0,05(n+1) 25 percentil (P25) P=0,25(n+1) 50 percentil (P50) P=0,50(n+1) 75 percentil (P75) P=0,75(n+1) 90 percentil (P90) P=0,90(n+1)

9 Exercícios Propostos: Para estimar a quantidade de água que seria necessária para abastecer uma cidade na próxima década, a prefeitura precisa descobrir a quantidade de água que uma amostra de famílias utiliza atualmente. As famílias da amostra utilizaram o seguinte volume de água, em milhares de litros: 11,1 21,5 16,4 19,7 14,6 16,9 32,2 18,2 13,1 23,8 18,3 15,5 18,8 22,7 14,0 Encontre os três quartis e o 7 decil.

10 Exercícios Propostos: Ache Q 1, Q2,Q 3 dos conjuntos amostrais: A= {6,9,7,7,4,3,2,9,10,18} B= {10,13,23,12,4,8,6,24,12,25,21} C= {6,9,7,7,4,3,2,9,9,10,18} D= {10,13,23,12,4,8,6,24,12,25,21,7} E= {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

11 Medidas separatrizes para dados em distribuição de frequência em classes Para dados em distribuição de frequências em classes, o cálculo é feito da seguinte maneira: Li limite inferior da classe h amplitude da classe Fi frequência absoluta Fac frequência acumulada Em que: com k=1, 2, 3 para determinação dos quartis com k=1, 2,..., 9 para os calculos de decis, e com k=1, 2,..., 99 para os percentis.

12 Medidas separatrizes para dados em distribuição de frequência em classes Considerando o exemplo da tabela abaixo, calcule o Q3 e D7 Classes Fi Fr % Fac Xi 0,5 0,8 4 0, ,65 0,8 1,1 4 0, ,95 1,1 1,4 7 0, , ,25 1,4 1,7 1 0,0625 6, ,55 total Para o Q3: P= 16/4 * 3 = 12 Fac>=12 i=3 h = (1,4-1,1) = 0,3 Q3 = 1,1 + ((0,3)*(12-8)) / 7 = 1,27

13 Medidas de dispersão As medidas de dispersão mostram a variabilidade de um conjunto de observações em relação à região central. Essas medidas indicam se um conjunto de dados é homogêneo ou heterogêneo. Além disso, mostram se a medida de tendência central escolhida representa bem o conjunto de dados que está sendo trabalhado pelo pesquisador.

14 Medidas de dispersão Exemplo: Considere as idades de três grupos de pessoas A, B, e C A: 15, 15, 15, 15, 15 B: 13, 14, 15, 16, 17 C: 5, 10, 15, 20, 25 A média aritmética de todos os conjuntos é 15 A média é a mesma, mas o grau de homogeneidade entre eles é diferente, ou seja, a variação dos seus elementos em relação a média é bem distinta.

15 Medidas de dispersão Exemplo: Considere as idades de três grupos de pessoas A, B, e C A: 15, 15, 15, 15, 15 B: 13, 14, 15, 16, 17 C: 5, 10, 15, 20, 25 O conjunto A não tem dispersão O conjunto B tem certo grau de variabilidade O conjunto C tem grande variabilidade

16 Medidas de dispersão Amplitude total: A amplitude total de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor valor. É baseada em somente duas observações, sendo altamente influenciada pelos valores extremos; quanto maior a amplitude, maior a variabilidade Conjunto A : = 0 Conjunto B: = 4 Conjunto C: 25 5 = 20

17 Medidas de dispersão Variância É uma medida de variabilidade que utiliza todos os dados. É calculada considerando o quadrado dos desvios em relação à média aritmética dos dados em estudo. Xi = valor do conjunto dos dados µ = média aritmética N= número de observações

18 Medidas de dispersão Variância para amostra O uso de (n-1) neste denominador é necessário para que a variância da amostra resultante forneça uma estimativa não induzida da variância da população

19 Medidas de dispersão Desvio Padrão O desvio padrão dá a ideia de distribuição dos desvios ao redor do valor da média. Para obtermos o desvio padrão basta que se extraia a raiz quadrada da variância. Para saber se o desvio padrão está alto ou baixo, vamos compará-lo com o valor da média.quanto maior o valor do desvio padrão em relação à média, maior então será a variação dos dados e MAIS HETEROGÊNEO é nosso conjunto de observações.

20 Medidas de dispersão Desvio Padrão: quando todos os valores de uma distribuição forem iguais, o desvio padrão será igual a zero; quanto mais próximo de zero for o desvio padrão, mais homogênea será a distribuição dos valores; o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos valores distribuídos.

21 Medidas de dispersão Coeficiente de Variação (CV) - (desvio padrão / média aritmética) A partir do valor do coeficiente de variação, podemos verificar se o conjunto de dados É HOMOGÊNEO e também conseguimos saber se a média é uma boa medida pra representar o conjunto de dados. O coeficiente de variação envolve cálculos percentuais, por isso é uma medida relativa:

22 Medidas de dispersão Coeficiente de Variação (CV) coeficiente de Pearson Quanto à representatividade em relação a média, podemos dizer que quando o coeficiente de variação (CV) é ou está: - Menor que 10%: significa que é um ótimo representante da média, pois existe uma pequena dispersão (desvio padrão) dos dados em torno da média - Entre 10 a 20%: é um bom representante da média, pois existe uma boa dispersão dos dados em torno da média

23 Medidas de dispersão Coeficiente de Variação (CV) coeficiente de Pearson - Entre 20% e 35%: é um razoável representante da média, pois existe uma razoável dispersão dos dados em torno da média - Entre 35% a 50%: representa fracamente a média, pois existe uma grande dispersão dos dados em torno da média - Acima de 50%: não representa a média, pois existe uma grandíssima dispersão dos dados em torno da média

24 Exercício Calcule as medidas de dispersão para um grupo de indivíduos que tem as seguintes idades: Calcule: Média aritmética, a moda e a mediana Amplitude total, Variância, desvio padrão Coeficiente de variação (interprete)

25 Exercício Considere os seguintes diâmetros (mm) dos eixos produzidos em certa fábrica de autopeças: Calcule: Média aritmética, a moda e a mediana Variância, desvio padrão Coeficiente de variação (interprete) 3 quartil, 6 decil

26 Referências Bibliográficas MARTINS, G. A. Estatística geral e aplicada. São Paulo: Atlas, PAGANO, M.. Princípios de Bioestatística. 2.ed. SÃO PAULO: Cengage Learning, VIEIRA, S. Introdução à bioestatística. Rio de Janeiro: Campus, 2010 BEIGUELMAN. B. Curso prático de bioestatística. Belo Horizonte: Funpec, CALLEGARI-JACQUES, S. M. Bioestatistica: Princípios e Aplicações. PORTO ALEGRE: ARTMED, MASSAD, E.; MENEZES, R. X.; SILVEIRA, P. S. P.; ORTEGA, N. R. S. Métodos quantitativos em medicina. Barueri: Manole, MOTTA, V. T., WAGNER, M. B. Bioestatística. Caxias do Sul: Educs, RODRIGUES, P. C. Bioestatística. Rio de Janeiro: Eduff, BERQUÓ, E. S; GOTLIEB, S. L.D.; SOUZA, J. M. P. de. Bioestatística. São Paulo: EPU, DORIA FILHO, U. Introdução à bioestatística: para simples mortais. São Paulo: Elsevier, Matemática e suas Tecnologias. Governo do estado de Pernambuco. Notas de aula. Ensino Fundamental. MORILHAS, Leandro. Estatística e Análise de Dados. Notas de aula. Fundação Instituto de Administração.