Probabilidade e Estatística. Medidas de Tendência Central. Cláudio Henrique Albuquerque Rodrigues, M. Sc.

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1 Probabilidade e Estatística Medidas de Tendência Central Cláudio Henrique Albuquerque Rodrigues, M. Sc.

2 Introdução No estudo de uma série estatística é conveniente o cálculo de algumas medidas que a caracterizam Estas medidas, quando bem interpretadas, podem fornecer-nos informações muito valiosas com respeito a série estatística Podemos reduzi-la a alguns valores, cuja interpretação fornece-nos uma compreensão bastante precisa da série. Um destes valores é a medida de tendência central É um valor intermediário da série, ou seja, um valor compreendido entre o menor e o maior valor da série É também um valor em torno do qual os elementos da série estão distribuídos e a posiciona em relação ao eixo horizontal 2

3 Introdução Em resumo, a medida de tendência central procura estabelecer um número no eixo horizontal em torno do qual a série se concentra As principais medidas de tendência central são: média, mediana e moda No cálculo de várias medidas estatísticas, vamos utilizar somas de um grande número de parcelas Para facilitar a representação destas somas, introduziremos o conceito de somatório 3

4 Somatório - Notação Sigma ( ) Quando queremos representar uma soma de n valores do tipo x 1 + x x n, podemos codificá-la através da expressão: Onde: é utilizada para representar as operações de adição entre as parcelas x i - é a parcela genérica 4

5 A parcela genérica é obtida tomando-se os termos constantes em todas as parcelas, no caso x Para representar a parte variável em cada parcela, no caso os índices, utilizamos a letra i e indicamos a variação de i No exemplo i varia, segundo números inteiros consecutivos de 1 até n 5

6 A expressão deve ser lida "soma dos valores xi, para i variando de 1 até n. Para que uma soma possa ser representada por esta notação é fundamental que i assuma todos os valores inteiros consecutivos entre dois valores dados 6

7 Exemplos: 7

8 Da mesma forma que codificamos a soma através da notação Sigma, podemos decodificar obtendo as parcelas componentes Para obter a primeira parcela da soma: basta substituir na parcela genérica 3x i a variável i pela valor indicado no extremo inferior, i= 2 A primeira parcela da soma é 3x 2 8

9 Para obter a segunda parcela, basta substituir na parcela genérica 3x i a variável i por 3. A segunda parcela vale 3x 3 A última parcela da soma é obtida quando substituímos na parcela genérica 3x i o valor de i por 4, que é o valor indicado no extremo superior. A última parcela é 3x 4 9

10 Exemplos: 10

11 Apesar de ser apenas um código e não uma operação, a notação Sigma tem algumas propriedades que podem simplificar operações Serão destacadas: 1. O somatório de uma soma é a soma dos somatórios 11

12 12

13 2. O somatório de uma diferença é a diferença dos somatórios A demonstração é análoga a anterior 13

14 3. O somatório do produto de uma constante por uma variável é o produto da constante pelo somatório da variável Considerando a um número real qualquer: 14

15 4. O somatório da divisão de uma variável por uma constante é a divisão do somatório da variável pela constante 15

16 Um caso particular da notação Sigma é a representação de uma soma cujas parcelas são todas iguais Neste caso, as parcelas são constituídas por valores constantes e a variável i será utilizada apenas para estabelecer o número de parcelas O número de parcelas é determinado pela diferença entre o valor de i indicado no extremo superior e o valor indicado no extremo inferior, adicionando-se uma unidade 16

17 A soma pode ser representado por: Em todos os casos a diferença entre o valor de i indicado no extremo superior e o valor de i indicado no extremo inferior, acrescida de uma unidade conduz a 4, que é o número de parcelas 17

18 Nas aplicações estatísticas estaremos sempre interessados na soma de todos os valores da série Portanto, i varia sempre de 1 a n e consequentemente não precisaremos indicar na notação sigma a variação de i Pode ser usado apenas 18

19 a) 10 b) 21 c) 12 d) 60 e) 61 f) 334 g) 334 h) 26 I) 31 j)

20 Usando a tabela verifique que: 20

21 MEDIDAS DE POSIÇÃO Introdução São as estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva de frequência. As medidas de posições mais importantes são as medidas de tendência central ou promédias (verifica-se uma tendência dos dados observados a se agruparem em torno dos valores centrais). As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: a própria mediana, os decis, os quartis e os percentis.

22 MÉDIAS Do ponto de vista teórico, vários tipos de média podem ser calculados para uma massa de dados A Média Geométrica é frequentemente usada quando discutimos taxas de rendimento em investimentos Médias Harmônicas são usadas quando temos que lidar com uma série de valores inversamente proporcionais como um cálculo de uma velocidade média, um custo médio de compras com uma taxa fixa de juros e resistências elétricas em paralelo, por exemplo 22

23 MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES Para uma sequência numérica X: x 1, x 2,..., x n, a média aritmética simples, que designaremos por é definida por: 23

24 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA Para uma sequência numérica X: x 1, x 2,..., x n, afetados de pesos p 1, p 2,..., p n, respectivamente, média aritmética ponderada, que designaremos por é definida por: 24

25 MÉDIA GEOMÉTRICA SIMPLES Para uma sequência numérica X: x 1, x 2,..., x n, a média geométrica simples, que designaremos por é definida por: 25

26 MÉDIA GEOMÉTRICA PONDERADA Para uma sequência numérica X: x 1, x 2,..., x n, afetados de pesos p 1, p 2,..., p n, respectivamente, a média geométrica ponderada que designaremos por é definida por: 26

27 MÉDIA HARMÔNICA SIMPLES Para uma sequência numérica X: x 1, x 2,..., x n, a média harmônica simples, que designaremos por h é definida por: 27

28 MÉDIA HARMÔNICA PONDERADA Para uma sequência numérica X: x 1, x 2,..., x n, afetados de pesos p 1, p 2,..., p n, respectivamente, a média harmônica ponderada que designaremos por h é definida por: 28

29 29

30 Cálculo da Média Aritmética Caso 1 - DADOS BRUTOS OU ROL Neste caso, devemos utilizar uma média aritmética simples: 30

31 Exemplo: Calcule a média da variável X: 3, 5, 8, 12, 7, 12, 15, 18, 20, 20 Interpretação: O valor médio desta série é 12, ou seja, os valores desta série concentram-se em torno do valor 12 31

32 Caso 2 - VARIÁVEL DISCRETA Se os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta, utilizaremos a média aritmética ponderada, considerando as frequências simples f i como sendo as ponderações dos elementos x i correspondentes A fórmula de cálculo de que originalmente era, passa a ser escrita como: 32

33 Exemplo: Determinar a média da distribuição: 33

34 Interpretação: O valor médio da série é 5,6, isto é, 5,6 é o ponto de concentração dos valores da série 34

35 Caso 3 VARIÁVEL CONTÍNUA Se os dados estão apresentados na forma de uma variável continua, utilizaremos a média aritmética ponderada, considerando as frequências simples das classes como sendo as ponderações dos pontos médios destas classes O ponto médio, de cada classe é definido por: 35

36 Exemplo: Determinar a média da distribuição: 36

37 37

38 Interpretação: O valor médio desta série é 7,85, isto é, 7,85 é o valor em torno do qual os elementos desta série se concentram Quando agrupamos os dados na disposição de uma variável contínua, passamos a trabalhar com os dados sem conhecimento de seus valores individuais 38

39 No exemplo acima, que o máximo que podemos afirmar com respeito ao menor valor desta série é que ele é um valor maior ou igual a 2 e menor que 5 Mas não conhecemos seu valor individualizado O mesmo ocorre com todos os outros valores da série Este fato é que nos leva a substituir as classes pelos seus pontos médios ao calcular a média da série Quinta Lista de Exercícios 39

40 MEDIANA É um valor real que separa o rol em duas partes deixando a sua esquerda o mesmo número de elementos que a sua direita Portanto, a mediana é um valor que ocupa a posição central em uma série Notação: A mediana será denotada por m d 40

41 Cálculo da Mediana Caso 1 - DADOS BRUTOS OU ROL Inicialmente deve-se ordenar os elementos caso sejam dados brutos, obtendo o Rol Em seguida determina-se o número n de elementos do Rol, e pode-se ter dois casos: n impar n par 41

42 42

43 O valor 12 deixa a sua esquerda e à sua direita o mesmo número de elementos, sendo, portanto, o elemento central da série Quando lidamos com séries com um grande número de elementos, a quantidade de elementos à esquerda é à direita é aproximadamente 50% do total de elementos O que conduz a seguinte interpretação genérica para a mediana: 50% dos valores da série são valores menores ou iguais a 12 e 50% dos valores da série são valores maiores ou iguais a 12 43

44 Exemplo: Determinar a mediana da série: X: 7, 21, 13, 15, 10, 8, 9, 13 Solução: Ordenando estes elementos, obtemos o rol: X: 7, 8, 9, 10, 13, 13, 15, 21 O elemento que ocupa a quarta posição na série é 10 e o elemento que ocupa a quinta posição é 13 44

45 Portanto, Interpretação: 50% dos valores do rol são valores menores ou iguais a 11,5 e 50% dos valores do rol são valores maiores ou iguais a 11,5 45

46 Caso 2 - VARIÁVEL DISCRETA Se os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta, eles já estão naturalmente ordenados Basta verificar se o número de elementos da série é ímpar ou par e aplicar o mesmo raciocínio do caso anterior Para facilitar a localização dos termos centrais, construímos a frequência acumulada da série 46

47 Exemplo 1: Determinar a mediana da série: Solução: O número de elementos da série é n = f i = 23 (ímpar) Portanto, a série admite apenas um termo central que ocupa a posição =

48 Construindo a frequência acumulada podemos localizar com facilidade o décimo segundo elemento da série O elemento que ocupa a primeira posição na série é 2 Em seguida aparecem quatro elementos iguais a 5. Estes elementos ocupam na série as posições de segundo a quinto Depois aparecem mais dez elementos iguais a 8 que ocupam na série as posições de sexto a décimo quinto Consequentemente, o elemento que ocupa a décima segunda posição vale 8, e podemos afirmar que md = 8 Interpretação: 50% dos valores da série são menores ou iguais a 8 e 50% dos valores da série são maiores ou iguais a 8 48

49 Exemplo 2: Calcular a mediana da série: 49

50 As três primeiras posições da série são ocupadas por elementos iguais a 3 Da quarta a oitava posição os elementos são iguais a 1 Da nona a décima sexta posição os elementos são iguais a 2 Da décima sétima a vigésima sexta posição os elementos valem 3 Logo, o elemento que ocupa a décima sexta posição é 2 e o elemento que ocupa a décima sétima posição é 3 e, consequentemente, a mediana é: = = 2,5 ( %, % ) 50

51 Caso 3 - VARIÁVEL CONTÍNUA Se os dados são apresentados na forma de uma variável contínua, o raciocínio anterior não pode ser utilizado Uma vez que mesmo identificada a posição da mediana na série, o valor do elemento da série que ocupa esta posição não é identificável Será utilizado um exemplo, para generalizar a fórmula de cálculo da mediana 51

52 Considere a distribuição de frequência: O número de elementos da série é: = = 19 A mediana, por definição, separa o número de elementos da série em dois grupos, contendo cada um deles 50% dos elementos Portanto, a posição da mediana na série é No exemplo = 9,5 O valor decimal 9,5 indica que a mediana é um elemento posicionado entre o nono e o décimo elemento da série 52

53 Construiremos a frequência acumulada para identificar em qual classe estão situados o nono e o décimo elemento da série O nono e o décimo elementos estão posicionados na terceira classe, o que indica que a mediana é um valor compreendido entre 9 e 12 A classe que contém a mediana será identificada como classe mediana 53

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57 COMENTÁRIO: Devido as condições impostas na obtenção da fórmula da mediana, fica evidente que o valor obtido pela fórmula é um valor aproximado do verdadeiro valor da mediana da série De modo geral, todas as medidas calculadas para uma variável contínua serão valores aproximados para estas medidas, uma vez que ao agruparmos os dados segundo uma variável contínua, há perda de informações quanto a identidade dos dados Sexta Lista de Exercícios 57

58 MODA É o valor de maior frequência em um conjunto de dados. Notação: Cálculo da Moda Caso 1 - DADOS BRUTOS OU ROL Basta identificar o elemento de maior frequência Exemplos: 1. X: 2, 8, 3, 5, 4, 5, 3, 5, 5, 1. Elemento de maior frequência é 5 Portanto, =. É uma sequência unimodal 58

59 2. X: 6, 10, 5, 6, 10, 2. Esta sequência apresenta o elemento 6 e o elemento 10 como elementos de maior frequência Portanto, = =. É uma sequência bimodal Poderemos encontrar sequências trimodais, tetramodais e assim sucessivamente Estas sequências são chamadas de forma genérica por sequencias polimodais 3. X: 2, 2, 5, 8, 5, 8 Todos os elementos da série apresentam a mesma frequência Nesta situação, não há um elemento que se destaque pela maior frequência, o que torna a série amodal 59

60 Caso 2 - VARIÁVEL DISCRETA Este caso é ainda mais simples. Note que na apresentação da variável discreta, as frequências já estão computadas na segunda coluna Basta identificar o elemento de maior frequência Exemplos: A maior frequência observada na segunda coluna é 8 e corresponde ao elemento 3 da série Portanto é, uma série unimodal com = 60

61 A maior frequência observada na segunda coluna é 5 e corresponde aos valores 2 e 4 Portanto, é uma série bimodal com = =. Todos os elementos da série possuem a mesma frequência Portanto, a série é amodal 61

62 Caso 3 - VARIÁVEL CONTÍNUA Para determinar a moda de uma variável contínua, pode-se optar por vários processos Dentre os mais utilizados estão: A moda de Pearson A moda de King A moda de Czuber Será explicado o processo de Pearson, os outros dois são bem similares 62

63 1 Processo: MODA DE PEARSON Segundo PEARSON, a moda de uma variável contínua pode ser obtida através do valor da média e da mediana: Exemplo: calcule a moda de Pearson para a distribuição de frequência 63

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65 A mediana corresponde ao sexto elemento da série. O sexto elemento da série está na terceira classe. Esta é a classe mediana. A mediana vale: 65

66 Consequentemente: A moda está situada na terceira classe que é a classe de maior frequência da série A classe de maior frequência será chamada de classe modal 66

67 2 Processo: MODA DE KING 67

68 68

69 3 Processo: MODA DE CZUBER 69

70 70

71 COMENTÁRIO: A fórmula de Pearson tem normalmente interesse teórico. Se não dispusermos da média e da mediana da distribuição, a fórmula de Pearson é a mais trabalhosa A fórmula de King é a mais simples delas, mas não é a mais precisa A fórmula de Czuber é mais precisa que a fórmula de King, pois leva também em consideração a frequência da classe modal 71

72 No exemplo utilizado o cálculo da moda pelos três processos determinou três valores diferentes É claro que os três valores obtidos são valores aproximados do verdadeiro valor da moda Normalmente o mais confiável é o valor da moda de Czuber 72

73 Utilização das Medidas de Tendência Central Na maioria das situações, não necessitamos calcular as três medidas de tendência central Normalmente precisamos de apenas uma das medidas para caracterizar o centro da série Surge, então, a questão: Qual medida deve ser utilizada? 73

74 A medida ideal em cada caso é aquela que melhor representa a maioria dos dados da série Quando todos os dados de uma série estatística são iguais, a média, a mediana e a moda coincidirão com este valor e, portanto qualquer uma delas representará bem a série No entanto, este caso dificilmente ocorrerá na prática Na maioria das vezes, tem-se valores diferenciados para a série e consequentemente a medida irá representar bem, apenas os dados da série que se situam próximos a este valor 74

75 Os dados muito afastados em relação ao valor da medida não serão bem representados por ela Desta forma, se uma série apresenta forte concentração de dados em sua área central, a média, a mediana e a moda ficam também situadas em sua área central representando bem a série como na figura Como a mais conhecida é a média, optou-se por esta medida de tendência central Concluindo, devemos optar pela média, quando houver forte concentração de dados na área central da série 75

76 Se uma série apresenta forte concentração de dados em seu início, a mediana e a moda estarão posicionadas mais no início da série, representando bem esta concentração A média que é fortemente afetada por alguns valores posicionados no final da série se deslocará para a direita desta concentração não a representando bem Como a mais conhecida entre mediana e moda é a mediana, esta será medida indicada neste caso 76

77 A mesma situação ocorre se a série apresenta forte concentração de dados em seu final Concluindo, deve-se optar pela mediana, quando houver forte concentração de dados no início ou no final da série A moda deve ser a opção como medida de tendência central apenas em séries que apresentam um elemento típico, isto é, um valor cuja frequência é muito superior a frequência dos outros elementos da série Sétima Lista de Exercícios 77

78 ATÉ A PRÓXIMA! 78