Medidas de Tendência Central

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1 Capítulo 3 Medidas de Tendência Central Desenvolvimento: 3.1 Introdução 3.2 Média Aritmética 3.3 Mediana 3.4 Moda 3.5 Média Geométrica 3.6 Média harmônica 3.7 Relação entre as médias 3.8 Separatrizes 3.1 Introdução: As medidas de tendência central são estatísticas descritivas, aplicadas as variáveis quantitativas, que representam a distribuição e resumem informações. Representam um conjunto de dados e tendem a se localizar no centro da distribuição. 3.2 Média Aritmética: É um valor obtido a partir de todos os elementos (xi) da distribuição em função do número deles (n) Média aritmética para dados simples: Quando nosso interesse é conhecer a média dos dados simples, ou seja, nãoagrupados, determinamos a média aritmética simples, que é o quociente da soma dos valores da variável pelo número deles. Fórmula: X = ΣXi n Onde: Xi = os valores da variável n = número de valores ( Fi) Notas de Estatística nos 4 bimestres do ano letivo 10,0 ; 8,0 ; 6,0 ; 4,0 Então: 28 X = = 4 7,0 C3-1

2 3.2.2 Média aritmética para dados agrupados (média ponderada): Usado quando o conjunto de dados para os quais precisamos calcular a Média Aritmética é mais extenso ou a variável é discreta: Fórmula: X = Σ( Xi n fi ) Tempo de Serviço (Xi) No. de funcionários (Fi) Xi. Fi X= 6, Média aritmética para dados agrupados em classes intervalares: Se o conjunto de dados se tornarem ainda mais extenso ou a variável for contínua, podemos agrupá-lo em classes intervalares: Tempo de Serviço (Xi) N o de funcionários (Fi) PM Xi. Fi X= 4, Propriedades da média aritmética: Entender o que é Desvio X 1 3 = = = = C3-2

3 Dada uma série de valores com relação a média de um valor Xi, o desvio é dado por: d = ( Xi X ) A soma dos desvios em relação a média aritmética de uma série de valores é sempre igual a ZERO d = (Xi Média) Se multiplicarmos ou dividirmos todas as informações (dados) por uma constante, a média aritmética também ficará multiplicada ou dividida por essa constante Seja: Xi = {2; 5; 7; 6} cuja média é 5. Multiplicando-se todos os valores do conjunto pela constante 6, temos: X = = = 30, o que é a média 5 vezes a constante Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de um conjunto de informações, a média aritmética ficará somada ou subtraída dessa constante. Seja: Xi = {2; 5; 7; 6} cuja média é 5. Se somarmos a constante K = 6 a todos os valores do conjunto, teremos Xi = {8, 11, 13, 12}, e a nova média será 11. Se subtrairmos a constante K = 6 a todos os valores do conjunto, teremos Xi = { -4, -1, 1, 0}, e a nova média será -1 E X E R C Í C I O S: 1) Com base na distribuição abaixo, determine a média aritmética: Freq. Peso (Kg) Xi Simples Abs - Fi 2 ı ı ı ı ı X 30 C3-3

4 2) Com base na distribuição abaixo, determine a média aritmética: Diâmetro (cm) Xi Fi 4 ı ı ı ı ı X 40 3) A pontuação média obtida por 1550 indivíduos num teste A de classificação foi de 102 e num teste B realizado por 450 pessoas foi de 106. Qual a média dos testes A e B combinados? a) 104 b) 208 c) 102,9 d) 100 Solução: 4) Xi Fi 100 ı ı ı ı ı Para a distribuição acima, a média aritmética é: a) 120 b) 121,25 c) 125 d) 130 C3-4

5 5) A média aritmética das 20 notas de matemática da turma A é de 45, enquanto que das 35 notas da turma B é 40. A média das duas turmas juntas é: a) 42,5 b) 41,8 c) 27,5 d) 45 e) Solução: 6) Num concurso público, certo candidato obteve 8 pontos na prova de estatística, cujo peso era 3; e 12 pontos na prova de português, cujo peso era 2. Qual foi a sua média. a) 10 b) 2,5 c) 9,6 d) 4,8 Solução: 3.3 Mediana para dados simples: (X ~ ) Mediana para dados simples é só determinar o Xi que ocupa o centro da distribuição, observando se n é par ou ímpar. Os dados são ordenados. a) No caso de n ímpar, teremos : Xi = { 5, 7, 9, 11, 12 } n = 5 A posição da mediana é determinada por: n + 1 = 6 3 a. posição Xi = b) No caso de n par, teremos : Xi = { 5, 7, 9, 11, 12, 15 } n = 6 C3-5

6 A posição da mediana é determinada por: n = 6 3 a. posição Xi = portanto : Mediana = = 20 = 10 n + 1 = a. posição Xi = Mediana para dados agrupados: Os princípios acima considerados (n par e n ímpar) são utilizados, sendo a mediana determinada a partir da Fac (freqüência acumulada) Xi Fi Fac n = 25 ímpar n + 1 = 26 = 13 a. posição ocupada pelo Xi = 6, 2 2 Portanto X ~ = 6 Xi Fi Fac n = 36 = 18 a. posição ocupada pelo Xi = 8, n = 36 par n + 1 = 19 a. posição ocupada pelo Xi = 8, 2 Portanto X ~ = = Mediana para dados agrupados em classes intervalares: Independe de n ser par ou ímpar. Seja a distribuição abaixo: Xi Fi Fac 0 ı ı Classe Mediana 4 ı ,5 a posição 6 ı ı n = 17,5 a. Posição 2 C3-6

7 A classe mediana é o intervalo que contém a mediana; precisamos de um procedimento com o qual calculamos o seu valor. Este procedimento consiste em: n Faa ~ X = Li+ 2 H Fi. clmed Onde: Li = limite inferior da classe mediana Faa = freqüência acumulada anterior à classe mediana H = amplitude do intervalo da classe mediana Fi.cl med = freqüência simples da classe mediana Portanto, do nosso exemplo temos: Mediana = 4 + (17,5 14) ,7 = 4,7 10 E X E R C Í C I O S: 1) Com base na distribuição abaixo, responda Peso (Kg) Freq. Simples Abs 2 ı ı ı ı ı A mediana da distribuição é :... a) 5,30 b) 5,00 c) menor à 5 Kg d) 5,10 e) 5,20 C3-7

8 2) Com base na distribuição abaixo, responda: Diâmetro (cm) Fi 4 ı ı ı ı ı A mediana é igual a: a) 9,00 b) 8,80 c) 8,70 d) 8,90 e) N R A 3) Calcular a mediana das distribuições abaixo: a) Xi Fi b) Xi Fi c) Xi Fi 35 ı ı ı ı ı ı C3-8

9 d) Xi Fi 5 ı ı ı ı ı Moda para dados simples (Xˆ ) : Define-se pela categoria de classe (xi) de maior freqüência. Para dados simples, apenas aplica-se o conceito de moda Xi = 2,4,6,6,8,10 Xˆ = 6 (unimodal) Xi = 2,4,4,6,6,8,10 Xˆ = 4 e 6 (bimodal) Xi = 2,4,6,8,10 Xˆ = φ (amodal) Moda para dados agrupados: Idem ao caso anterior, a moda é o Xi de maior freqüência. Xi Fi Maior Fi, logo Xˆ = Moda para dados agrupados em classes intervalares: Através da maior freqüência localizamos a classe modal (o intervalo). Para sabermos o valor que a Moda assume, precisamos obtê-la através do cálculo da Fórmula de Czuber: Xi Fi 0 ı 2 6 Classe modal 2 ı ı ı ı 10 4 C3-9

10 Fórmula: Onde: X ˆ 1 = li+ H + 1 = diferença entre a freqüência da classe modal e a Fi anterior 2 = diferença entre a freqüência da classe modal e a Fi posterior Logo : Moda = = 4, E X E R C Í C I O S: 1) Com base na distribuição abaixo, responda : Peso (Kg) Freq. Simples Abs 2 ı ı ı ı ı A moda da distribuição é igual... a) coincide com o limite superior de um intervalo de classe b) coincide com o PM de um intervalo de classe c) é maior que a mediana e do que a x d) é um valor inferior a média e à mediana e) pertence a um intervalo de classe distinto do da média 2) Com base na distribuição abaixo, responda : Diâmetro (cm) Fi 4 ı ı ı ı ı C3-10

11 A moda é igual a : a) 9,7 b) 9,30 c) 9,60 d) 9,40 e) 9,50 3) Calcular a Moda: a) Xi Fi 10 ı ı ı ı ı ı 40 7 b) Xi Fi 8 ı ı ı ı ı ) Nos conjuntos de valores abaixo: A = { 3, 5, 6, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 17 } B = { 4, 5, 7, 10, 11, 13, 15 } C = { 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 10, 11 } Em relação à moda, podemos dizer que: I A é unimodal e a moda é 10 II B é unimodal e a moda é 10 III C é bimodal e as modas são 5 e 8. Então: a) estas afirmações estão todas corretas. b) estas afirmações estão todas erradas. c) I e II estão corretas d) I e III estão corretas e) II e III estão corretas 3.5 Média Geométrica : A média geométrica G de um conjunto de n valores: X 1, X 2,...X n é a raiz de ordem n do produto desses números. Xi : 2,4,8. G = n X 1 X 2... X n C3-11

12 G = = 3 64 = Média Harmônica: A média harmônica H de um conjunto de n valores X1, X2...Xn é a recíproca das médias aritméticas das recíprocas dos números: H n = 1 Σ Xi Xi: 2,4 e 8 H = 3 = 3, Relação entre as média (Xˆ, H e G) : Veja o exemplo: Na série adiante calcular: Xˆ, H e G: Xi: 2,4 e 8. Média = = 4,6 G= 4 H= 3,43 3 Conclusão: Xˆ G H C3-12

13 3.8 Separatrizes: Vimos que a mediana caracteriza uma série de valores devido à sua posição central, mas também, ela separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo número de valores. Assim, além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana, relativamente à sua segunda característica, já que se baseiam em sua posição na série. Essas medidas os quartis, os percentis e os decis são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes Os Quartis: Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em 4 partes iguais. Há, portanto, três quartis: a) Primeiro Quartil (Q 1 ) valor situado de tal modo na série que uma quarta parte (25%) dos dados é menor que ele e as três quartas partes restantes (75%) são maiores. b) Segundo Quartil (Q 2 ) evidentemente, coincide com a mediana (Q 2 =Md). c) Terceiro Quartil (Q 3 ) valor situado de tal modo que as três quartas partes (75%) dos termos são menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior Quando os dados são agrupados, para determinar os quartis usamos a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da mediana, F i por : 2 Sendo K o número de ordem do quartil. KΣf i 4 Assim temos: Σfi 3Σfi faa faa Q = li H Q = l H e i fclmed fclmed i i C3-13

14 Xi Fi Fac 150 ı ı (Q 1 ) 158 ı ı (Q 3 ) 166 ı ı Cálculo do 1 o. Quartil: Temos: fi = 40 = Q 1 = (10 4) x 4 = 156,7 cm 9 Cálculo do 3 o. Quartil: Temos: 3 fi = 120 = Q 3 = (30 24) x 4 = 165 cm Os Percentis: Denominamos Percentis os noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais. Indicamos: P 1, P 2,...P 99. É evidente que: P 50 = Md; P 25 = Q 1, etc... O cálculo de um percentil segue a mesma técnica do cálculo da mediana, porém, a fórmula fi será substituída por: 2 KΣf i 100 Sendo K o número de ordem do percentil Exemplo: Xi Fi Fac 150 ı (P 8 ) 154 ı (Q 1 ) 158 ı ı (Q 3 ) 166 ı ı C3-14

15 Cálculo do P 8 K = 8 Temos: 8 fi = 320 = 3, P 8 = (3,2 0) x 4 = 153,2 cm Os Decis: Os Decis seguem o mesmo critério adotado pelos Quartis e Percentis, logo por analogia concluímos que: KΣf i 10 E X E R C Í C I O S: Os dados abaixo dizem respeito as notas obtidas por alunos do 1 o. Ano F da UNIESP, em Estatística: Responda as questões 1, 2 e 3 Notas Classe Fi 0 ı ı ı ı ı C3-15

16 1) O Q 1 e Q 3, valem respectivamente: a) 4,70 e 6,65 b) 2,06 e 4,70 c) 2,06 e 6,65 d) 4,70 e 6,99 2) O D 2 vale: a) 1,20 b) 1,40 c) 1,53 d) 1,63 3) O P 75 vale: a) 4,77 b) 5,66 c) 6,00 d) 6,65 EXERCÍCIOS EM GERAL: 1) Assinale a alternativa correta considerando a série : 8, 5, 14, 10, 8, e 15. a) a média aritmética é 10 e a mediana é 12 b) a amplitude total é 7 e a moda é 8 c) a mediana é 9 e a amplitude total é 10 d) a média aritmética é 10 e a amplitude total é 7 e) a mediana é 12 e a amplitude total é 7 SOLUÇAO 2) Dada a tabela: Peso (kg) Fi C3-16

17 A Mediana e a Moda da distribuição : a) diferem por um valor superior a 10% da média aritmética. b) tem valor superior ao da média aritmética c) tem valor inferior ao da média aritmética d) tem o mesmo valor e) diferem por um valor igual a 10% da média aritmética Solução: 3) considerando a distribuição abaixo, assinale a alternativa incorreta: Xi Fi 100 ı ı ı ı ı a) os pm são 105, 115, 125, 135, 145 b) a Fr da 3 a. classe é 0,29 c) as Fac são 4, 10, 18, 24, 28 d) a média aritmética e a mediana são iguais a 125, portanto distribuição assimétrica. Solução : 4) Sejam os valores: 4, 6, 8, 6, 3, 5, 7, 9 e 10. a mediana e a moda são, respectivamente: a) 3 e 6 b) 3 e 3 c) 4,5 e 6 d) 6 e 6 C3-17

18 Alternativa 5) Das afirmações: I- A média aritmética ficará aumentada (ou diminuída) da quantidade que for adicionada (ou subtraída) a (de) todos os valores da série. II- A média aritmética, por ser um valor representativo, depende de todos os valores da série ou distribuição de freqüência. III- A média aritmética pode não ser considerada um valor típico da distribuição de freqüência ou rol IV- A moda pode ser considerada como um valor representativo que envolve todos os elementos do rol ou distribuição de freqüência. V- A média, a moda e a mediana são valores de posição. Alternativa a) Somente a I é correta. b) Todas são corretas. c) II e III são incorretas. d) IV é incorreta. e) Todas são incorretas. 6) Para os escores: 50, 72, 98, 110, 160, 200, a Mh é: a) 78,125 b) 93,75 c) 7 d) 110 Alternativa 7) A relação X = G= H ocorre quando: a) todos os Xi forem negativos b) a distribuição for simétrica c) todos os Xi forem iguais d) a variável for contínua Alternativa C3-18