Estatística descritiva básica: Medidas de tendência central

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1 Estatística descritiva básica: Medidas de tendência central ACH2021 Tratamento e Análise de Dados e Informações Marcelo de Souza Lauretto marcelolauretto@usp.br *Parte do conteúdo desta apresentação é baseada nos slides da Profa. Patrícia Rufino Oliveira

2 Introdução Tabelas e gráficos são formas convenientes de sumarizar a forma geral de uma distribuição de valores de uma forma facilmente compreensível. Contudo, frequentemente se necessita sumarizar a distribuição de forma mais condensada. Duas estatística adicionais extremamente úteis: 1. Medidas de tendência central: fornecem uma ideia do caso médio típico na distribuição. Ex: "O salário inicial médio para programadores em São Paulo é de R$ 3.800,00 mensais." 2. Medidas de dispersão: fornecem uma ideia da variabilidade ou heterogeneidade na distribuição. Ex: "O salário inicial para programadores em São Paulo varia de R$ 3.000,00 a R$ 4.500,00." (próximas aulas)

3 Moda A moda de uma distribuição de escores é o valor que ocorre mais frequentemente. Ex: no conjunto de escores 58, 82, 82, 90, 98, a moda é 82 porque ocorre duas vezes, enquanto os demais escores ocorrem apenas uma vez. Útil para sumarizar variáveis qualitativas. Ex: preferências de religiões (dados fictícios) Moda da distribuição: Protestante

4 Limitações da moda: Algumas distribuições não possuem moda; Ex:

5 Limitações da moda: Algumas distribuições possuem tantas modas que a estatística deixa de ter significado. Ex: distribuição de escores de testes. Modas: 55,66,78,82,90,97. Qual dessas representa um valor "típico"?

6 Limitações da moda: Em variáveis quantitativas ou qualitativas ordinais, a moda pode não ser central na distribuição como um todo. Ex: distribuição de escores de testes. Moda: 93; esse valor é um bom representante da distribuição?

7 Mediana A mediana é o valor situado exatamente no centro de uma distribuição de escores. Mais precisamente, a mediana é o escore do caso que está exatamente no meio da distribuição: Metade dos casos têm escores maiores do que a mediana e metade dos casos têm escores mais baixos do que a mediana. Exemplo: Se a mediana da renda familiar anual de uma comunidade é $ , então metade das famílias ganha mais do que R$ e metade ganha menos.

8 Cálculo da mediana: Ordene os escores em ordem crescente (ou decrescente) Se o número de elementos (n) for ímpar: A mediana será o elemento localizado exatamente no centro. O índice do elemento central é dado por (n+1) / 2. Se o número de elementos (n) for par: A mediana será exatamente o valor central dos dois casos do meio da distribuição. Os índices do primeiro e do segundo casos centrais são dados por n/2 e n/ Por exemplo, se n=14, a mediana é o escore situado no centro dos escores do sétimo e oitavo casos.

9 Cálculo da mediana - exemplos: Cálculo da mediana com sete casos (n ímpar) Cálculo da mediana com oito casos (n par)

10 Cálculo da mediana para dados organizados em tabelas de frequências: a) Calcula-se inicialmente a posição do elemento original dos dados correspondente à mediana; b) Determinada a posição da mediana, localiza-se na tabela de frequências a linha que contém essa posição. Ex: em um grupo de 36 turmas, as frequências de turmas por número de alunos reprovados foi a observada abaixo. Qual a mediana das reprovações? Número de alunos reprovados por turma Frequência Frequência acumulada Como n=36 é par, a mediana é a média dos elementos de ordem (36/2)=18 e (36/2)+1=19. Analisando as frequências acumuladas na tabela ao lado, conclui-se que a mediana tem valor 3. Contém o 18º e o 19º elementos

11 Cálculo da mediana para dados agrupados em classes: Determina-se a linha da tabela que contém a mediana na tabela de forma similar àquela mostrada no slide anterior (cálculo da mediana para dados organizados em tabelas de frequências); Uma vez determinada a classe, deve-se calcular o valor da mediana por método de interpolação. Ex: distribuição das notas obtidas por candidatos em um vestibular.

12 Após calcular a posição da mediana, localiza-se, a partir das frequências acumuladas na tabela, a classe na qual a mesma se encontra.

13 O valor da mediana é obtido aplicando-se a fórmula: Md = L h + a n f h 2 F h 1 onde: h = linha da tabela que contém a mediana; L h = limite inferior da classe que contém a mediana; a = amplitude do intervalo de classe; f h = frequência da classe que contém a mediana; n = quantidade total de elementos; F h 1 = Frequência acumulada até a classe anterior à classe que contém a mediana.

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15 Outras medidas de posição: percentis, decis, quartis A mediana pertence a uma classe de estatísticas que medem posição ou locação. Frequentemente, é útil localizar outros pontos também: Podemos querer, por exemplo, encontrar os escores que dividem a distribuição em quatro partes, ou o ponto abaixo do qual um certo percentual dos casos se encontram. Uma aplicação típica dessas medidas são os escores em testes padronizados. "Um escore de 476 é maior do que 46% dos escores."

16 Percentis Uma estatística comumente utilizada para reportar posições é o percentil, que identifica o ponto abaixo do qual uma porcentagem específica dos casos se encontram. Ex: Se um escore de 476 é reportado como o 46º percentil, isso significa que 46% dos casos têm escores abaixo desse valor. Percentis comuns: 5%, 10%, 25%, 50% (mediana), 75%, 90%, 95%.

17 Cálculo do k-ésimo percentil: 1. Ordene os escores em ordem. 2. Em seguida, multiplique k por cento pelo número total de casos mais um (n+1): k R ( n 1) Se o valor resultante for um número inteiro: Então o k-ésimo percentil será o R-ésimo elemento do rol de escores. Se o valor resultante não for um número inteiro o k-ésimo percentil é obtido por interpolação: Denote por IR a porção inteira de R, e por FR a porção fracionária de R. Por exemplo, se R=2.25, então IR=2 e FR=0.25. Denote por X IR e X IR+1 os escores das posições IR e IR+1, respectivamente. O k-ésimo percentil será computado como: k ésimo percentil X IR FR ( X IR 1 X IR) OBS: O 100º percentil corresponderá ao maior escore.

18 Exemplo 1: Calcular o 37º percentil de uma amostra de 78 elementos: Ordenamos a amostra em ordem crescente; Calculamos R: IR = 29, FR=0.23 k R ( n 1) (78 1) O 37º percentil corresponderá a 23/100 da distância entre o 29º e o 30º casos: P 37 X 29 X 0.23 ( X 30 29)

19 Exemplo 2: Calcular o 25º percentil da amostra representada na tabela ao lado (já em ordem crescente): Calculamos R: k R ( n 1) 100 IR = 2, FR= (8 1) 2.25 O 25º percentil corresponderá a 25/100 da distância entre o 2º e o 3º casos: P 25 = X (X 3 - X 2 ) = (7-5) = 5.5 OBS: Pela definição acima, o cálculo da mediana é um caso particular. Por exemplo, a mediana da tabela ao lado é dada por: R= (8+1) = 4.5 P 50 = X (X 5 - X 4 ) = (9-8) = 8.5

20 Percentis especiais: decis, quartis, quintis Pela definição, percentis dividem a distribuição de escores em centésimos. Alguns tipos especiais de percentis são descritos abaixo. Os quartis são bastante populares, e dividem a distribuição de escores em 4 partes (ver figura abaixo). O 1º, 2º e 3º quartis correspondem ao 25º, 50º e 75º percentis, respectivamente. São denotados usualmente por Q 1, Q 2 e Q 3. Os Decis dividem a distribuição de escores em décimos. Assim, o 1º decil é o ponto abaixo do qual 10% dos casos se situam, e é equivalente ao 1º percentil, ou seja, P 10. Raciocínio análogo serve para o 2º, 3º,..., 10º decil.

21 Os Quintis dividem a população em cinco partes: O 1º, 2º, 3º e 4º quintis correspondem ao 20º, 40º, 60º e 80º percentis, respectivamente. OBS: Os percentis (incluindo seus casos particulares: mediana, quartis, etc) podem ser aplicados sobre variáveis quantitativas ou qualitativas ordinais.

22 Alguns exemplos de aplicação de percentis, quintis e decis são encontrados nos relatórios Estatísticas de renda no repositório do IPEA: social Temas Renda: Exemplos: Renda - razão entre a renda dos 20% mais ricos e a renda dos 20% mais pobres Renda domiciliar - participação dos 40% mais pobres Renda domiciliar - participação por décimo da população - 1º Renda domiciliar - participação por quintil - 1º Discuta como os indicadores exemplificados acima são calculados.

23 Média A média é a medida de tendência central mais comumente utilizada para descrever resumidamente uma distribuição de frequência. Esta estatística representa o escore médio de uma distribuição observada. É usualmente denotada por X.

24 Média aritmética simples É dada pela divisão entre a soma dos escores observados (x 1, x 2,..., x n ) e o número total de observações (n): X = n i=1 n Este tipo de média é calculado quando os valores não estão tabulados, ou seja, quando os escores são conhecidos individualmente. Ex: Suponha uma mostra de 10 crianças de 5 anos de idade, com dados referentes a seus pesos (em Kg): 23.0, 20.0, 22.0, 19.0, 25.0, 28.2, 24.0, 21.0, 27.0, X = n i=1 n x i x i =

25 Média aritmética ponderada É a média aritmética calculada quando os dados estão agrupados em distribuições de frequência. Os valores x 1, x 2,..., x n são ponderados pelas respectivas frequências absolutas f 1, f 2,..., f n : X = n i=1 n f i x i onde n é a soma das frequências: n = n j=1 f j.

26 Exemplo 1 (dados não agrupados em classes): X = n i=1 n Número de cáries em crianças de 7 anos de idade. Candeias, N o de dentes careados (x i ) N o de crianças (f i ) f i x i f i x i Total Fonte: (dados hipotéticos) = = = Cada criança de 7 anos de idade da amostra observada tem, em média, 2 cáries.

27 Exemplo 2 (tabela de distribuição de dados agrupados em classes): Casos de Aids segundo faixa etária. Bahia, Fonte: (dados hipotéticos) Qual era a idade média dos pacientes de Aids na Bahia em 1993? X = n i=1 n f i x i = anos.

28 Sensibilidade da média a valores extremos: Quando uma distribuição possui alguns escores extremamente altos (isso é denominado de assimetria positiva), o valor numérico da média aritmética será maior do que o da mediana; Quando uma distribuição possui alguns escores extremamente baixos (assimetria negativa), o valor numérico da média será menor do que o da mediana.

29 Sensibilidade da média a valores extremos: A média e a mediana somente terão os mesmos valores numéricos quando a distribuição da população é simétrica.

30 Sensibilidade da média a valores extremos: Exemplo: considere a tabela abaixo, em que os escores nas colunas 1 e 3 são quase iguais, exceto o último. Para os escores da coluna 1, a média e a mediana são iguais (25); Para os escores da coluna 3, a mediana é 25, enquanto a média é 718.

31 Resumo: medidas de tendência central e aplicações As três medidas de tendência central apresentadas têm um objetivo comum. Cada uma retrata alguma informação sobre o valor mais típico ou representativo em uma distribuição. A moda reporta o escore mais comum e é adotada mais apropriadamente com variáveis qualitativas nominais. A mediana (Md) reporta o escore que está exatamente no centro da distribuição. É mais apropriado com: variáveis qualitativas ordinais; variáveis quantitativas com distribuição assimétrica.

32 A média (X), a medida mais frequentemente usada, reporta o escore mais típico. É adotada mais apropriadamente com variáveis quantitativas (exceto quando sua distribuição é altamente assimétrica). Obs: É usual adotar a média para variáveis qualitativas ordinais nas situações as classes são representadas por números (p.ex. variáveis representando escalas de avaliação ou escalas de gravidade de doenças). A motivação é que a média é considerada mais flexível do que a mediana, e também porque muitos métodos estatísticos são baseados em médias. Todavia, a rigor, em uma variável ordinal nem sempre se pode considerar que as distâncias de escore para escore são iguais (p.ex. a distância do escore 1 para o escore 2 não é necessariamente igual à distância do escore 2 para 3 ) e portanto as operações de soma e divisão utilizadas no cálculo da média não são conceitualmente indicadas.