Professora Ana Hermínia Andrade. Período

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1 Estatística Descritiva Professora Ana Hermínia Andrade Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise Período

2 Por que devo estudar estatística? Estatística é um conjunto de métodos especialmente apropriados à coleta, à apresentação, à análise e à interpretação de dados de observação, tendo como objetivo a compreensão de uma realidade específica para a tomada da decisão. A estatística se divide em: Estatística descritiva: Trata da organização, resumo e apresentação dos dados. Estatística Inferencial: A partir de uma amostra, tirar conclusões sobre a população.

3 Conceitos Básicos População Coleção completa de todos os elementos (escores, pessoas, medidas e outros) a serem estudados. A coleção é completa no sentido que inclui todos os sujeitos a serem estudados Censo Conjunto de dados obtidos de todos os membros da população Amostra Subconjunto de membros selecionados de uma população

4 Conceitos Básicos Parâmetro Medida numérica que decreve alguma característica de uma população Estatística É uma medida numérica que descreve alguma característica da amostra Modelo Representação simplificada da realidade Variável Característica de interesse a ser investigada na população ou na amostra

5 Grande esquema das coisas

6 Classificação de variáveis

7 Exemplos Altura dos alunos Posto militar (sargento, tenente, capitão,... ) Número de filhos Grupo sanguíneo Idade Time de futebol Grau de escolaridade

8 Distribuição de Frequências É uma tabela onde se preocupa em fazer corresponder os valores (categorias) observados da variável em estudo e as respectivas frequências.

9 Distribuição de Frequências Dados Brutos: São os dados obtidos através de algum procedimento estatístico, que estão disponíveis logo após a coleta, mas que não estão numericamente organizados. Exemplo: 50 alunos foram entrevistados, fornecendo diversas informações. Em relação à variável IDADE, por exemplo, temos que: Como se pode observar no exemplo, os valores estão dispostos de forma desordenada e pouca informação se consegue obter inspecionando os dados.

10 Distribuição de Frequências Rol: São os dados ordenados, de forma crescente ou decrescente. A vantagem de ordenar o conjunto de observações está em detectar de um modo mais amplo a variabilidade das mesmas. No exemplo anterior, dispondo os dados em ordem crescente, temos: Note que dessa forma fica fácil de verificar os valores extremos (máximo e mínimo). Esse tipo de procedimento não é viável quando se tem um conjunto de dados muito grande, pois a análise se torna extremamente complicada.

11 Distribuição de Frequências Freqüência simples absoluta [f i ]: É o número de vezes que cada valor da variável se repete na amostra ou população. Freqüência simples relativa [fr i ]: É o número de vezes que esse valor ocorre relativamente ao total da amostra [n]; no fundo representa a parcela da amostra. fr i = f i n

12 Distribuição de Frequências Frequência acumulada absoluta [Fac j ]: É a soma do número de ocorrências para os valores iguais ou inferiores ao valor dado. Fac j = j f i = f 1 + f f j. i=1 Frequência relativa acumulada [Frac j ]: É o número de vezes que a frequência acumulada absoluta ocorre relativamente ao total da amostra [n]. Frac j = j i=1 fr i = fr 1 + fr fr j = f 1 + f f j. n

13 Distribuição de Frequências por Valores É o arranjo dos valores e suas respectivas frequências, ou seja, é uma tabela onde os valores da variável aparecem individualmente. Teremos uma tabela assim: X i X 1 Número de valores iguais a X 1 =f 1 X 2 Número de valores iguais a X 2 =f 2 X 3 Número de valores iguais a X 3 =f 3. X k Σ f i. Número de valores iguais a X k =f k f 1 + f f k = n Note que para cada X i existe uma frequência f i associada. Dessa forma, teremos que i = 1,..., k. Em outras palavras, dizemos que a tabela possui k linhas.

14 Distribuição de Frequências por Valores Exemplo: Construir a distribuição de frequências por valores, utilizando os dados do exemplo anterior. X i (idade) f i (frequência) Σ 50

15 Exercício De acordo com a Secretária de Turismo da Paraíba, os quatro estados com maior participação no número de turistas que desembarcaram no aeroporto de João Pessoa em 2009 foram: São Paulo (SP), Rio de Janeiro (RJ), Bahia (BA) e Paraná (PR). Os dados de uma amostra de 30 turistas abordados no aeroporto são apresentados a seguir: 1 Que tipo de variável é essa? 2 Construa uma tabela de distribuição de frequências, usando f e fr.

16 Exercício Estado de origem Frequência Frequência (X i ) (f i ) relativa (fr i ) BA 6 6/30 = 0, 2 PR 5 5/30 = 0, 17 RJ 6 6/30 = 0, 2 SP 13 13/30 = 0, 43 Total (Σ) 30 1

17 Distribuição de Frequências por Classes Classe: é cada um dos grupos de valores (ou categorias) em que se subdivide os dados observados. Limite de classe: são os valores que definem a classe. São conhecidos como limite superior (LS) e limite inferior (LI) da classe. Amplitude do intervalo de classe: é o comprimento da classe, ou seja, a diferença entre os seus limites superior e inferior. Ponto médio de classe: é o valor que representa a classe para efeito de cálculo de certas medidas. É obtido através da média artimética entre os limites superior e inferior de classe. X médio = LI + LS. 2

18 Distribuição de Frequências por Classes Podemos expressar os limites das classes de várias formas: LI LS: considera valores entre LI e LS, incluindo LI e LS. Ex: LI LS: considera valores entre LI e LS, incluindo LI e excluindo LS. Ex: LI LS: considera valores entre LI e LS, excluindo LI e incluindo LS. Ex: LI LS: não determina claramente se LI e LS devem ser considerados ou não. Ex:

19 Distribuição de Frequências por Classes Exemplo: Distribuição de frequências por classes para as idades de 50 pessoas na amostra. Classe de Idade (Faixa Etária) f i Σ 50

20 Roteiro para a Elaboração de uma Distribuição de Frequências por Classes Um roteiro para construção de tabelas de frequências pode ser descrito pelos seguintes passos: 1 Construção do Rol; 2 Determinação da Amplitude Total (AT ); 3 Determinação do Número de Classes (c); 4 Determinação da Amplitude das Classes (h); 5 Determinação dos limites das classes (LI e LS); 6 Construção da tabela de frequências, utilizando um ou mais tipos de frequências. São utilizadas tipicamente a frequência simples absoluta, a frequência simples relativa, a frequência acumulada absoluta e a frequência acumulada relativa.

21 Distribuição de Frequências por Classes Amplitude Total: É a diferença entre o maior e o menor valor observado da variável em estudo. Ou seja, AT = X máx X mín, em que, X máx representa o valor máximo observado da variável, e X mín representa o valor mínimo observado da variável. No exemplo anterior, AT = 22 5 = 17

22 Distribuição de Frequências por Classes Número de classes: Não há uma fórmula exata para o cálculo do número de classes. Em geral, utiliza-se um dos dois métodos a seguir: a) c = 5, para n 25 e c = n, para n > 25, onde n é o número de observações. b) Regra de Sturges: c = 1 + 3, 3 log 10 n, onde n é o número de observações.

23 Distribuição de Frequências por Classes Amplitude das Classes (h): Deve-se, em geral, construir classes de mesma amplitude, a qual pode ser obtida através da expressão: h = AT c. Observação: h deve ser arredondado para o maior inteiro. No exemplo, h = 17 7 = 2, = 3.

24 Distribuição de Frequências por Classes Tabela: Idade de uma amostra da população X. Classe de Idade (Faixa Etária) F i Fr i Fac j FRac j / / / / / / / / / / /

25 Exercício Em uma determinada empresa os funcionários foram submetidos a uma avaliação de desempenho. As notas de avaliação dos 40 funcionários da empresa seguem abaixo: Construa uma tabela de distribuição de frequências para os dados acima (use a fórmula de Sturges, log 40 = 1, 6).

26 Gráficos em Barras Exemplo:

27 Gráficos em Colunas

28 Gráficos em Linhas

29 Gráficos em Setores A construção de um gráfico de setores parte do fato que o número total de graus de um arco demcircunferência é 360. Assim, o total de valores corresponderá a 360. Cada uma das parcelasmcomponentes do total de valores poderá, então, ser expressa em graus, e a correspondência se fará através de uma regra de três simples. Ou seja, os ângulos correspondentes a cada componente da série são obtidos através de regra de três simples. Por exemplo, para a componente Automóvel de Passeio, temos x de onde obtemos que x = = = Repetindo o processo, obtemos os ângulos correspondentes às outras componentes da série.

30 Gráficos em Setores

31 Histograma e Poĺıgono de Frequência Representação gráfica de uma distribuição de frequências por meio de retângulos justapostos, cujas áreas são proporcionais às frequências das classes. Poĺıgono de Frequências: é obtido unindo-se os pontos médios das bases superioresde cada retângulo através de segmentos de retas. Exemplo: Considere os dados da tabela abaixo. Tabela: Idade de Uma Amostra de Alunos da Escola XYZ. João Pessoa, 2007 Ponto médio Idade f i F ab i F ac i Σ 26

32 Histograma e Poĺıgono de Frequência

33 Medidas de Posição As Medidas de Posição que são também chamadas de medidas de tendência central e estabelecem valores em torno dos quais os dados se distribuem. Dizemos ainda que esse nome é dado pelo fato dos dados observados tenderem, em geral, a se concentrar em torno de valores centrais.

34 Média Aritmética Simples Se dispomos de um conjunto de valores da amostra (ordenados ou não) podemos calcular sua média aritmética simples por X = n i=1 n X i = X X n, n no caso amostral, em que n representa o número de indivíduos da amostra.

35 Média Aritmética Simples Exemplo: Abaixo, temos uma amostra de 10 crianças de 5 anos de idade em uma creche de João Pessoa, onde foram coletadas informações referentes a seus pesos (em Kg). 23, 0 20, 2 22, 0 19, 0 25, 0 28, 8 24, 0 21, 0 27, 0 21, 0 Temos que n = 10 e obtemos X através de 23, , , , , , , , , , 0 X = 10 = 230, 0 = 23, 0. 10

36 Propriedades da Média Aritmética P1) A soma dos desvios com relação à média é nula, isto é, n (X i X ) = 0. i=1 P2) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a a todos os valores do conjunto, a média fica aumentada ou diminuida dessa constante. Ou seja, Y = X + a, a média de Y é Y = X + a. P3) Multiplicando-se ou dividindo-se uma constante b a todos os valores do conjunto, a média fica multiplicada ou dividida por essa constante. Ou seja, Y = bx, a média de Y é Y = bx.

37 Vantagens e desvantagens da média V 1 V 2 É a medida mais conhecida e de maior uso; É facilmente calculável; V 3 Pode ser tratada algebricamente; V 4 Serve para compararmos conjuntos semelhantes; V 5 É particularmente indicada para dados que possuem os valores simétricos em relação a um valor médio e de frequência máxima (um histograma pode ajudar nessa identificação); D1 É uma medida de tendência central que por uniformizar os valores de um conjunto de dados, não representa bem os conjuntos que revelam tendências extremas. Ou seja, é grandemente influenciada pelos valores extremos (grandes) do conjunto; D2 Não pode ser calculada para distribuições de frequências com limites indeterminados (indefinidos); D3 Só deve ser utilizada quando a distribuição dos dados for simétrica (normal ou Gaussiana).

38 Mediana A mediana de um conjunto de dados, que denotaremos por Md, pode ser definida como o valor que divide a série ordenada em duas partes iguais, em relação à quantidade de elementos. Em outras palavras, é o valor que ocupa o centro da distribuição, ou seja, 50% dos elementos da série são menores do que ela e 50% dos elementos da série são maiores do que ela. Exemplo: No Rol, temos:

39 Mediana Podemos encontrar o elemento mediano de um conjunto de dados da seguinte forma: 1) Se n é ímpar: a mediana será o elemento que ocupar a posição n+1 2 no rol de dados ordenados, ou seja, E Md = n+1 2, em que E Md representa o elemento mediano. Exemplo: Sejam X 1 = 2, X 2 = 2, X 3 = 6, X 4 = 1 e X 5 = 3. Ordenando os valores temos, 2, 1, 2, 3, 6. O elemento mediano é dado por E Md = n+1 2 = = 6 2 = 3. Ou seja, a mediana será o valor que ocupar a posição 3 do rol. Daí, concluimos que Md = 2.

40 Mediana 2) Se n é par: a mediana será a média aritmética simples dos elementos que ocuparem as posições n 2 e n no rol de dados ordenados. Ou seja, teremos dois elementos centrais ou dois elementos medianos, dados por 1 ō E Md = n 2 e 2ō E Md = n Exemplo: Sejam X 1 = 2, X 2 = 2, X 3 = 6, X 4 = 1, X 5 = 3 e X 6 = 5. Ordenando os valores temos, 2, 1, 2, 3, 5, 6. Os elementos centrais são dados por 1 ō E Md = n 2 = 6 2 = 3 e 2 ō E Md = n = = = 4. A mediana será a média aritmética simples entre os valores que ocuparem as posições 3 e 4, ou seja, Md = = 5 2 = 2, 5.

41 Vantagens e desvantagens da Mediana V 1 A mediana não é influenciada por valores extremos (grandes) de uma série ou conjunto de dados; V 2 A mediana é utilizada especialmente para distribuições assimétricas, mas pode ser utilizada para dados com distribuição simétrica também. D1 Suas propriedades não são bem compreendidas por muitas pessoas; D2 Não é levada em consideração na maior parte dos testes estatísticos.

42 Moda A moda de um conjunto de dados, que denotaremos por Mo, é o valor que ocorre com maior frequência. Exemplo: 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8. Temos que o valor mais frequente é 6, logo, Mo = 6. Observação: 1 A moda pode não existir. Neste caso, dizemos que o conjunto de dados é amodal. Exemplo: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5 2 A moda pode não ser única. Exemplo: 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5. Temos dois valores mais frequentes: 3 e 5.

43 Moda de Dados Tabulados Não-agrupados em Classes Neste caso, obtemos a moda simplesmente identificando o valor mais frequente na tabela. Exemplo: Tabela: Tipo sanguíneo em uma amostra de 820 doadores do HEMOPE. Recife, Tipo Sanguíneo Número de Doadores O 417 A 292 B 94 AB 17 Total 820 Fonte: Dados Hipotéticos

44 Moda de Dados Tabulados Não-agrupados em Classes Nessa amostra, o grupo sanguíneo O ocorreu com maior frequência. Então, a moda nessa amostra é o tipo sanguíneo O.

45 Medidas de Dispersão As medidas de posição apresentadas fornecem a informação dos dados apenas a nível pontual, sem ilustrar outros aspectos referentes à forma como os dados estão distribuídos na amostra. Exemplo: Sejam quatro conjuntos A, B, C e D com os seguintes valores: A: 7, 7, 7, 7, 7 B: 5, 6, 7, 8, 9 C: 4, 5, 7, 9, 10 D: 0, 5, 10, 10, 10 Note que X A = 7, X B = 7, X C = 7 e X D = 7

46 Medidas de Dispersão No exemplo, percebe-se que apesar de constituídos de valores diferentes, os grupos revelam uma mesma média aritmética. É possível notar que em cada grupo os valores se distribuem diferentemente em relação à média. É preciso uma medida estatística complementar para melhor caracterizar cada conjunto apresentado. As medidas estatísticas responsáveis pela variação ou dispersão dos valores de um conjunto são as medidas de dispersão ou de variabilidade, onde se destacam a amplitude total, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. Em princípio, diremos que entre dois ou mais conjuntos de dados, o mais disperso (ou menos homogêneo) é aquele que tem a maior medida de dispersão.

47 Medidas de Dispersão As medidas de dispersão são úteis para avaliar o grau de variabilidade ou de dispersão dos valores de um conjunto. Essas medidas proporcionam um conhecimento mais completo sobre o fenômeno que se está analisando, permitindo estabelecer comparações entre fenômenos de mesma natureza. O objetivo maior será, portanto, construir medidas que avaliem a representatividade da média. Veremos algumas dessas medidas a seguir.

48 Amplitude Total É a diferença entre o maior e o menor valor da série, ou seja, AT = X máx X mín A amplitude é útil para nos dar uma ideia do campo de variação da série. Verifica-se que a amplitude como medida de dispersão é limitada.

49 Desvio Médio É definido como a média aritmética dos desvios absolutos e pode ser obtido através de DM = n X i X i=1 onde X é a média aritmética simples. n,

50 Variância A variância de um conjunto de dados (amostra ou população) mede a variabilidade do conjunto em termos de desvios quadrados em relação à média aritmética do conjunto. É uma quantidade sempre não negativa e expressa em unidades quadradas do conjunto de dados, sendo de difícil interpretação.

51 Variância A variância é definida como a soma dos quadrados dos desvios com relação à média, dividida pelo número de elementos (ou pelo número de elementos menos um, no caso amostral, como veremos). Ou seja, dada a amostra, temos que S 2 = n ( Xi X ) 2 i=1 n 1 {( n ) } = 1 Xi 2 nx 2, n 1 i=1

52 Variância Observação Importante: A equação de S 2 é utilizada quando nosso interesse não se restringe à descrição dos dados mas, partindo da amostra, visamos tirar inferências válidas para sua respectiva população.

53 Desvantagem de uso da Variância Quando elevemos ao quadrado a diferença X i X, a unidade de medida dos dados também fica elevada ao quadrado. Exemplo: se a unidade de medida dos dados for metros, a variância será expressa em metros quadrados. Em alguns casos, a unidade de medida ao quadrado nem fará sentido.

54 Desvantagem de uso da Variância Comentários Importantes O interessante é ter uma medida que descreva a variabilidade das informações com a mesma eficiência da variância, porém, que esteja na mesma escala em que estão os dados fornecidos. Esta medida se chama Desvio Padrão.

55 Desvio Padrão É definido como a raiz quadrada positiva da variância e apresenta as mesmas propriedades desta, com a vantagem de ser expresso na mesma unidade dos dados. De fato, é a medida de dispersão mais utilizada. Dada a amostra, a expressão do desvio padrão é dada por S = S 2

56 Exemplo: Sejam as notas de quatro alunos em cinco provas de estatística. Aluno Prova 1 Prova 2 Prova 3 Prova 4 Prova 5 Antônio João José Pedro Vamos calcular todas as medidas descritas anteriormente.

57 Exemplo: Aluno P1 P2 P3 P4 P5 X AT DM Var D.P. Antônio João , José , 5 3, 54 Pedro

58 Coeficiente de Variação É uma medida de dispersão relativa que serve para comparar dois ou mais conjuntos de dados de unidades diferentes. Mede o grau de concentração dos dados em torno de sua média. É obtido através das expressões CV = S X Nas expressões acima temos que: X é a média aritmética da variável na amostra e S é o desvio-padrão amostral. Pode-se denotar CV também em termos percentuais, bastando fazer CV 100%.

59 Exemplo: As alturas (em cm) de uma amostra de crianças de 8 anos foram medidas e destas foi concluído que a altura média era de 128 cm. O desvio-padrão das alturas era de 12 cm. O mesmo foi feito para uma amostra de crianças de 12 anos, onde a média obtida foi 158 cm e desvio-padrão igual a 14 cm.

60 Exemplo: GRUPO X s CV Crianças de 8 anos CV = = 0, 093 Crianças de 12 anos CV = = 0, 088 Embora, observando o desvio-padrão dos grupos, pareça que a altura de crianças de 12 anos tem maior variabilidade, observando o Coeficiente de Variação, verificamos que a altura de crianças de 8 anos varia mais que a altura de crianças de 12 anos.

61 Outro exemplo: Considere a tabela de valores a seguir: Novamente: Valores X S CV (X ) , , 5 O coeficiente de variação mede o grau de concentração dos dados em torno de sua média. Embora, observando o desvio-padrão dos grupos, pareça que o segundo grupo tem maior variabilidade, porém observando o Coeficiente de Variação, verificamos que a não há diferença entre os grupos no que diz respeito à variabilidade.

62 Exercício Para o conjunto de dados acima: Construa uma tabela de intervalos iguais Faça um histograma

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