Medidas de Tendência Central. Prof.: Joni Fusinato

Transcrição

1 Medidas de Tendência Central Prof.: Joni Fusinato 1

2 Medidas de Tendência Central Informam o valor em torno do qual os dados se distribuem. Tem por objetivo representar os dados de uma forma mais condensada que uma tabela, localizando a maior concentração de valores em torno de uma distribuição. Medidas de Tendência Central Média Mediana Moda 2

3 Média média populacional x média amostral x i soma dos elementos N número de elementos da população n número de elementos da amostra 3

4 1º Caso: Para dados isolados ou não tabelados Média Aritmética Simples A média é a soma de todos os valores analisados, dividida pela quantidade de valores analisados. x x1 x 2... n x n Ex: Suas notas em um teste seletivo foram 5,6; 4,8; 8,0; 8,6; 6,8; 9,4. Considerando que todas têm o mesmo peso, calcule sua média. 4

5 Os atendimentos realizados na emergência de um PA nos últimos dez dias foram: Quantas pessoas foram atendidas em média? X X 62,5 63 pessoas Como essa informação ajuda na tomada de decisões? Montar a escala de plantão na emergência; Provisionar um estoque mínimo de medicamentos que serão usados nos plantões; Dimensionar o número de leitos necessários.

6 Cálculo da Média Simples - Casio FX-82MS 1) Aperte Mode e escolha a opção 2 (SD). Aperte SHIFT MODE 1 (Scl) = para limpar a memória. 2) Digite o primeiro dado e aperte M+, siga fazendo isso para cada dado a ser inserido; 3) Após registrar todos os dados aperte Shift 2 (S-VAR); 4) Escolha a opção 1 para média, 2 para desviopadrão populacional e 3 para desvio-padrão amostral; 5) Aperte o botão de igual (=) e confira o resultado. 6) Para sair do modo SD aperte MODE Quantas pessoas foram atendidas em média? 6

7 2º Caso: Para dados organizados em uma tabela de frequências. Média Aritmética Ponderada Média de um conjunto de dados cujos valores têm pesos diferentes. Para calcular a média, multiplicamos a variável pela sua respectiva frequência. Para o cálculo da média, somam-se essas multiplicações e divide pelo somatório das frequências. 7

8 Exemplo Em uma classe com 20 meninas e 30 meninos foi realizada uma prova; a média dos rapazes foi 7,0 e das meninas foi 8,0. A média da classe foi: a) 7,2 b) 7,4 c) 7,8 d) 7,6 8

9 Cálculo da Média Ponderada - Casio FX-82MS 1) Aperte Mode e escolha a opção 2 (SD). Aperte SHIFT MODE 1 (Scl) = para limpar a memória. 2) Digite o primeiro dado seguido de SHIFT, frequência e aperte M+. Continue fazendo isso para os demais dados e frequências. 3) Após registrar todos os dados e frequências aperte Shift 2 (S-VAR); 4) Escolha a opção 1 para média, 2 para desviopadrão populacional e 3 para desvio-padrão amostral; 5) Aperte o botão de igual (=) e confira o resultado. 6) Para sair do modo SD aperte MODE 1. 9

10 Atividade Uma pesquisa realizada com 27 estudantes relacionou a nota dada a prestação de serviço no transporte público com o respectivo número de pessoas que a responderam. Qual a nota média dada a esse serviço? Para calcular a média, multiplicamos a pontuação pela sua respectiva frequência. Para o cálculo da média, somam-se essas multiplicações e divide pelo somatório das frequências. 10

11 A tabela apresenta as notas obtidas por um aluno em quatro das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova. Se o aluno foi aprovado com média de 7,3, qual a nota obtida na prova IV? Prova I II III IV V Nota 6,5 7,3 7,5? 6,2 Peso , 3 = 1.(6,5) + 2.(7,3) + 3.(7,5) + 2. x + 2.(6,2) x = 73 x = 8,5 Nota 8,5

12 Agora é a sua vez! O RH de uma empresa constatou que 55% dos funcionários eram do sexo masculino, com média salarial mensal de R$ 3.400,00. A média salarial mensal dos funcionários do sexo feminino era de R$ 3.800,00. A média salarial mensal de todos os funcionários que participaram desse levantamento estatístico foi de: a) R$ 3.950,00 b) R$ 3.750,00 c) R$ 3.650,00 d) R$ 3.450,00 e) R$ 3.580,00 X = = 3.580

13 Para verificar a satisfação dos usuários de um posto de saúde de um município, a prefeitura realizou uma pesquisa com 550 pessoas. As notas sugeridas aos entrevistados compreendem as notas inteiras entre 1 a 10, onde 1 significa que o usuário está muito insatisfeito e 10 que está muito satisfeito com os serviços prestados pelo posto. Os resultados são apresentados na tabela. Calcule a média dada pelos usuários ao atendimento recebido nesse posto de saúde. Nota (x i ) f i x i.f i = = = = = = = = = = 120 Total ,70

14 3º Caso: Para dados agrupados em intervalos de classe Convenciona-se que todos os valores de um intervalo de classe coincidem com seu ponto médio e determina-se a média ponderada. x = ponto médio i x = i lim sup + lim 2 inf 14

15 15

16 Calcule a altura média na tabela abaixo: Altura (cm) f i x i x i.f i Total X 161

17 Cuidado com as médias!!! Aparências podem enganar!

18 Maior problema da média: Maldição dos extremos! Valores extremos (outlier) distorcem a média! Solução para o problema Remover os extremos! A média é afetada por valores extremos. O que isso quer dizer? Para calcular a média, é necessário somarmos todos os dados da série, ou seja, essa medida leva em conta todas as observações. Por isso, quando temos uma situação em que aparecem alguns valores, ou muito baixo, ou muito alto, se comparados com os demais elementos da série, a média é influenciada por eles.

19 Média Geométrica É a raiz enésima (n) do produto dos valores dos dados, onde existem n valores. Essa medida é válida apenas para dados que foram medidos absolutamente em uma escala estritamente positiva. Usada em situações que envolvem aumentos sucessivos ou o comportamento dos valores da série tendem a uma P.G. 19

20 Média Geométrica 20

21 Atividade Calcule a média geométrica dos números 200, 600 e 800 R: 457,89 21

22 Média Harmônica (M H ) Usada em situações envolvendo grandezas inversamente proporcionais. Essa medida também só é válida para dados que foram medidos absolutamente em uma escala estritamente positiva. Sejam x 1, x 2, x 3,...x n, valores de x, associados às frequências absolutas n 1, n 2, n 3,...n n, respectivamente. A média harmônica de X é definida por: 22

23 Média Harmônica (M H ) Um carro desenvolve duas velocidades distintas: durante a metade do percurso ele manteve a velocidade de 50 km/h e durante a metade restante sua velocidade foi de 60 km/h. Qual a velocidade média do veículo durante o percurso? A velocidade média do veículo durante o percurso será de aproximadamente 54 km/h. Se calculássemos a velocidade média utilizando a média aritmética, chegaríamos ao resultado de 55 km/h. 23

24 Mediana (Md) Definida como o valor que ocupa a posição central em um conjunto de dados ordenados. A mediana não é influenciada por valores extremos, visto que ela é uma medida essencialmente vinculada à posição que ocupa no conjunto ordenado. Para encontrar a mediana em um conjunto qualquer de dados estatísticos, precisamos conhecer a posição que ela ocupa em relação aos n elementos ordenados desse conjunto.

25 1º Caso: Para dados isolados ou não tabelados É o termo central do rol. Se o rol tiver um número par de termos, a mediana será o ponto médio entre os dois valores centrais Md = Md = = = 2 2 7,5

26 2º Caso: Para dados organizados em uma tabela de frequências. Será o valor correspondente a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das frequências. Distribuição das famílias segundo o número de filhos Filhos f i F i Total 34 Σfi 34 Md = = = A frequência acumulada imediatamente superior a 17 é Fi = 18. Logo Md = 2 filhos.

27 Tabela: Idade dos Alunos Idade f i F i Total 8 Se F i f 2 A Mediana será a média aritmética entre o valor da variável correspondente a essa frequência acumulada e a seguinte. i fi 8 4 F Md 15,5 Md 15,5 anos 27

28 3º Caso: Para dados agrupados em intervalos de classe Determinar as frequências acumuladas e calcular f i 2 Identificar a classe mediana correspondente a frequência acumulada imediatamente superior a f i 2 Usar a fórmula: l i = limite inferior da classe F ant : frequência acumulada simples anterior fi = frequência simples da classe h = amplitude da classe

29 Altura de 40 alunos do IFSC Altura (cm) f i F i Total 40 fi Md = 160,54 29

30 Moda (Mo) Valor que aparece mais vezes, ou seja, apresenta a maior frequência. Pode ocorrer de dois ou mais valores apresentarem a mesma frequência, nestes casos, teremos distribuições bimodais (duas modas), trimodais ou multimodais. Também é possível acontecer que todos os elementos tenham apresentado exatamente o mesmo número de ocorrências. Isso significa que não há moda, pois nenhum dado se destacou. Dessa forma, o conjunto é, então, chamado amodal. Dentre as três medidas de tendência central, a moda é a única que pode ser usada quando as variáveis são qualitativas nominais. 30

31 Moda (Mo): Valor que ocorre com maior frequência Amodal Unimodal Bimodal ou multimodal

32 1º Caso: Para dados não agrupados ou organizados em tabelas Mo = 7 Tipo sanguíneo Indivíduos (f i ) O 717 Mo = 717 A 414 B 165 AB 53 32

33 2º Caso: Para dados agrupados em intervalos de classe Será o valor do ponto médio da classe com maior frequência. Altura (cm) f i Mo Total Mo = lim inf + lim 2 sup Mo = = =

34 2º Caso: Para dados agrupados em intervalos de classe Mo = 7 Tipo sanguíneo Indivíduos (f i ) O 717 Mo = 717 A 414 B 165 AB 53 34

35 Moda de Czuber: usada quando houver necessidade de um cálculo mais elaborado da Moda Altura (cm) f i Mo D 1 Mo l inf.h D1 D Total ,6 2 Mo , l inf = limite inferior da classe modal: 158 D 1 = f f ant : frequência simples frequência simples anterior (11-9). D 1 = 2 D 2 = f f post : frequência simples frequência simples posterior (11-8). D 2 = 3 h = amplitude da classe modal ( ) h = 4

36 Medidas de Tendência Central Medidas de posição Média Mediana Moda Vantagens Desvantagens Usar quando Reflete cada valor usado na distribuição Menos sensível a valores extremos do que a média. Maior quantidade de valores concentrados nesse ponto. É influenciada por valores extremos Difícil de determinar para uma grande quantidade de dados Não se presta a análise Matemática. Nem sempre a distribuição possui moda Deseja-se a medida de posição com maior estabilidade Deseja-se o ponto que divide o conjunto em partes iguais Deseja-se uma medida rápida e aproximada da posição. A medida de posição deve ser o valor mais típico 36 da distribuição.

37 Uso da calculadora Casio para cálculo da média e desvio-padrão. Medidas de tendência central. Média em uma tabela com dados agrupados em classes. 37