Estatística Descritiva

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1 Estatística Descritiva Tabela s Gráficos Números x, s 2, s, m o, Q 1, Q 2, Q 3,...etc. 1

2 Estatística Descritiva 3. Números 3.1. Medidas de posição (ou tendência ) 3.2. Medidas de dispersão 2

3 3.1. Medidas de posição (ou medidas de tendência central) a) Moda b) Média c) Mediana d) Separatrizes (Quartis e percentis) 3

4 a) Moda (Mo) Valor que apresenta maior freqüência (que ocorre mais vezes) no conjunto de dados (amostra). Exemplo 1 a) 1, 3, 5, 7, 8, 9 ^ Mo=? amodal b) 1, 3, 5, 5, 5, 8, 8, 9 ^ Mo=5 unimodal c) 0, 0, 1, 2, 4, 4, 5, 7, 9 Mo= 0 e 4 bimodal Logo, um conjunto de dados pode ter mais do que uma moda. ^ 4

5 Para variáveis qualitativas: é a classe ou categoria de maior frequência. Exemplo 2 Tabela 1. Variedades de cana-de-açúcar cultivadas nas fazendas que abastecem a usina A Variedade n. de talhões CB CB CB IAC IAC IAC NA Total 95 ^ Mo= Variedade CB

6 Para dados quantitativos: o ponto médio da classe com maior frequência é chamado de moda bruta. Exemplo 3 f ^ Moda bruta: Mo = 25 cm ^ Mo X Diâmetro (cm) 6

7 Exemplo ^ Mo= 10 No caso de dados não agrupados, a moda nem sempre tem utilidade como elemento representativo do conjunto de dados. 7

8 b) Média Dentre as medidas de posição é considerada a mais importante. Média de uma população: Média de uma amostra: x OBS: Pode-se também ter interesse na obtenção da média associada a alguma outra variável. Por exemplo, média por curso. Como calcular a média? b.1) Aritmética simples; b.2) Ponderada; e b.3) Dados agrupados 8

9 b.1) Média Aritmética simples: Definição: Se x 1,..., x n são os valores (distintos ou não) da variável X, a média aritmética de X é dada por: Exemplo 1 Suponha que uma empresa possui 5 funcionários. Seus salários mensais são: R$ 400,00; R$ 545,00; R$ 610,00; R$475,00; R$5500,00. média salarial: R$ 1506,00 x n x i i 1 Somando-se todos os valores de um conjunto e dividindo-se esta n soma pelo número de valores. PROBLEMA: a média não é uma medida adequada para a representação deste conjunto! 9

10 Exemplo 2 Interpretação da média Seja X a variável n. de ovos por folha e os seguintes valores observados: 0, 2, 3, 1, 0, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 1 Pesos Trave CUIDADO: A média aritmética nem sempre está no centro. Ponto de equilíbrio ou Centro de gravidade x ,64 ovos por folha 10

11 Exemplo 3 Seja X a variável número de ovos por folha e os seguintes valores observados: 0, 2, 3, 1, 0, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 25 Todos os valores, exceto um (25), estão abaixo da média! x ,36 ovos por folha Inconveniente da média: Ser muito sensível a valores extremos 11

12 Inconveniente da média: Pode não ser uma medida de posição indicada quando a distribuição dos dados é assimétrica, bimodal ou multimodal. A média é melhor para medidas mais simétricas. 12

13 Calculadora, como usar? Modelo Cassio fx-82ms 1) Limpar a memória: SHIFT CLR 3 = = 2) Mudar para o módulo estatístico (SD): Mode 3) Entrar com os dados número M+ número M+... 4) Pedir a função (ver capa!) 13

14 Calculadora, como usar? Modelo Cassio fx-83wa 1) Limpar a memória: SHIFT Scl = 2) Mudar para o módulo estatístico (SD): Mode 3) Entrar com os dados... número M+ número M+ 4) Pedir a função (ver capa!) 14

15 b.2) Média aritmética ponderada: Definição: A média ponderada dos números x 1,..., x n, com pesos p 1,..., p n, representada por, é dado por: x p n i1 n x p p i1 i x p i i Exemplo 4 Um professor resolve passar um trabalho para ser feito em casa. Suponha que a prova tenha peso 7,0 e o trabalho tenha peso 3,0. Tendo um aluno obtido nota 6,0 na prova e 9,0 no trabalho, qual será a sua média nesta disciplina? x p (6,0 7,0) (9,0 3,0) 7,0 3,0 69,0 10,0 6,9 15

16 Exemplo 5 30 residências de um certo bairro foram sorteadas e visitadas por um entrevistador que, dentre outras questões, perguntou sobre o número de televisores em cada residência. Tabela 2. n. de televisores por residência N 0 de TV s (x i ) N o de residências ( f i ) x i f i Total Interpretação: Neste bairro cada residência tem em média 2,1 televisores. x k x i i i1 k i1 f i f (01) (1 6) (213) (310) ,

17 b.3) Média de dados agrupados em tabelas de distribuição de frequências Definição: A média de uma variável quantitativa discretas agrupados em uma tabela de distribuição de frequências é dada: k i1 k sendo k o número de diferentes valores que a variável assume. x x i1 i f i f i Soma dos produtos dos valores da variável (x) pelas respectivas frequências (f) simples, dividida pela soma das frequências simples. 17

18 Exemplo 6 Com os dados agrupados em classes, perde-se informação sobre cada observação individual Sempre que possível devemos trabalhar com os dados originais. Tabela: Salário mínimo de professores do ensino fundamental da rede privada de uma determinada cidade. Salário Mínimo (X) N o de professores (f) Ponto médio (m) m f Total x k m f i i i1 ( m1 f1) ( m2 f2)... ( mk fk ) 348 k f1 f2... fk 70 fi i1 4,97 Salários mínimos 18

19 Definição: A média de uma variável quantitativa contínua agrupada em classes apresentada em uma tabela de distribuição de frequências é dada: i1 k sendo k o número de classes e m i o ponto médio da i-ésima classe. x k m i1 i f i f i 19

20 Estatística de ordem Se x 1,..., x n são os valores (distintos ou não) da variável X. Considere as observações ordenadas. Denotaremos a menor observação por x (1), a segunda por x (2), e assim por diante, obtendo-se: x (1) x (2)... x (n 1) x (n) Que são chamadas de estatística de ordem. 20

21 c) Mediana (Md X ) É o valor central de um conjunto de dados ordenados (crescente ou decrescente), ou seja, é o valor que divide o conjunto em 2 partes iguais: 50% dos valores observados são inferiores a M d 50% são valores superiores a esse valor M d Definição (dados originais): Seja n o tamanho da amostra. Se n n é é ímpar par onde x (i) é a observação que ocupa a i-ésima posição no conjunto de dados colocados em ordem crescente ou decrescente. Md Md X X x x n 2 n1 2 x 2 n

22 Exemplo 1: Número de estacas de roseira enraizadas por 5 estacas Exemplo 2: Número de estacas de roseira enraizadas por 5 estacas X={ 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0} Y={ 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 0} Dados ordenados: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2 Dados ordenados: 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2 Md X = 0 Md Y = (0 + 0)/2 = 0 Resumindo: Se o número de observações é ímpar: é o valor do meio. Se o número de observações é par: é média dos 2 valores centrais. 22

23 Exemplo 1 Calcular a média e a mediana dos conjuntos de dados a seguir: a) {20, 10, 15, 9, 30, 12, 18, 32} m^ a = 18,25 md ^ a = 16,5 b) {20, 10, 15, 9, 30, 12, 18, 200} m^ b = 39,25 ^ md b = 16,5 c) {20, 10, 15, 9, 30, 12, 18} m^ c = 16,28571 ^ md c = 15,0 A mediana é pouco afetada por valores extremos ou discrepantes, ou seja, a mediana é uma medida mais robusta do que a média aritmética. Além disso, representa melhor dados assimétricos. No software R: a<- c(20, 10, 15, 9, 30, 12, 18, 32) b<- c(20, 10, 15, 9, 30, 12, 18, 200) c<- c(20, 10, 15, 9, 30, 12, 18) sort(a); sort(b); sort(c) mean(a); mean(b); mean(c) median(a); median(b); median(c) max(a); max(b); max(c) min(a); min(b); min(c) Tarefa 1 1 ) Repira o Exercício 1 fazendo os cálculos com a planilha do Excel. 23

24 Caso só tenhamos acesso aos dados agrupados em uma tabela de distribuição de frequências em classes e não aos dados originais, podemos calcular a mediana a partir de uma ogiva. Ou então: Classe f f a f r (%) f ra (%) Inicialmente identifica-se o retângulo que deve conter a mediana. 40,0 50, ,0 16,0 50,0 60, ,0 60,0 60,0 70, ,0 76,0 70,0 80, ,0 88,0 80,0 90, ,0 98,0 90,0 100, ,0 100,0 % 0,44 Total ,0-0,16 0,16 0,12 0,10 Usando a f ra (%) resulta que a mediana pertence ao intervalo [50; 60), uma vez que até o valor 60 acumulou-se 60% das observações. 0,

25 Dentro deste intervalo necessita-se de uma área de 34%, que é o que falta para atingir o valor 50%. % 44% 44% 34% 10% 16% 16% 12% 10% 2% Md 60 Com o uso de proporções, estabelece-se a seguinte igualdade: Md X 0,34 0,44 Md X 57,73 25

26 Tarefa 2 Os dados a seguir mostram os resultados de 25 medidas de peso em kg efetuados em pacientes que consultaram em um posto de saúde a) Determinar a média, mediana e moda da amostra. x= 70 M d = 71 m o =73 b) Utilizando os mesmos dados, construa uma tabela de distribuição de frequências para os dados acima, considerando 6 classes. c) Em seguida, considere que você não tem mais acesso aos dados originais, desta maneira, obtenha baseado na tabela de frequências: a média, mediana e moda. Os valores são iguais? Porque isso ocorre? 26

27 d) Separatrizes São medidas de posição que permitem calcularmos valores da variável que dividem ou separam a distribuição em partes iguais. Temos quatro tipos de separatrizes: i) a mediana, que é também uma medida de tendência central; ii) os quartis; iii) os percentis. 27

28 d.1) Quartis Dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais, isto é, 25% dos elementos deve estar em cada parte. Amostra ordenada 25% 50% 75% Q 1 Q 2 Q 3 em que: Q 1 = 1 o quartil, deixa 25% dos elementos; Q 2 = 2 o quartil, deixa 50% dos elementos (coincide com a mediana); Q 3 = 3 o quartil, deixa 75% dos elementos. 28

29 d.2) Percentis Permitem dividir o conjunto de dados em cem partes iguais, isto é, 1% dos elementos deve estar em cada parte. em que: P 1 = 1º percentil, deixa 1% dos elementos abaixo dele; P 2 = 2º percentil; deixa 2% dos elementos abaixo dele;... P 25 = 25º percentil, deixa 25% dos elementos abaixo dele (coincide com o Q 1 );... P 50 = 50º percentil, deixa 50% dos elementos abaixo dele(coincide com a M d );... P 75 = 75º percentil, deixa 75% dos elementos abaixo dele (coincide com o Q 3 );... P 99 = 99º percentil, deixa 99% dos elementos abaixo dele. 29

30 Tarefa 3 Para dados agrupados em Tabelas de frequência Determine o primeiro, segundo e terceiro quartil deste conjunto de dados, além do P 67. Tabela: Distribuição dos pesos dos pacientes X f f r f ac ,16 0, ,08 0, ,16 0, ,24 0, ,24 0, ,12 1 Total 25 1 Q 1 = 67,19 Q 2 =? Q 3 = 74,38 P 67 =? 30

31 Para dados não agrupados em Tabelas de frequência O cálculo do percentil de ordem 100p (P 100p ) para dados não agrupados em tabelas é feito baseado na seguinte regra: Definição: Se n.p é inteiro: P 100p x ( np) 2 x ( np1) n.p é não inteiro: P x 100p (int[ np] 1) sendo: x (i) é a observação que ocupa a i-ésima posição no conjunto de dados colocados em ordem crescente ou decrescente. 0 < p < 1 ; n o tamanho da amostra; e int[.] é a função que arredonda um número para o inteiro mais próximo. 31

32 Para dados não agrupados (dados originais) E agora? Os dados a seguir mostram os resultados de 25 medidas de peso em kg efetuados em pacientes que consultaram em um posto de saúde Como determinar o primeiro, segundo e terceiro quartil deste conjunto de dados? Ordenando os dados: n=25 Q 2 = n (13) = 71 Q 1 =? Q 3 =? 32

33 Tarefa 4 a) Considere o conjunto de dados da Tabela 1. Obtenha o percentil que separa a produção das 10% seringueiras mais produtivas das demais. Tabela 1. Dados de produção de borracha seca por sangria, por seringueira, em g, na área A 10,2 10,2 10,3 10,6 10,8 11,0 11,6 11,8 11,9 12,0 20,3 20,3 21,9 22,0 22,2 22,4 22,8 23,3 23,5 23,8 14,0 14,9 15,2 15,3 15,3 15,4 15,8 16,0 16,2 16,3 24,2 24,5 24,6 24,9 25,1 25,5 26,0 26,3 26,8 28,1 16,9 17,7 18,1 18,3 18,4 18,7 19,6 19,8 19,9 20,0 12,4 12,6 12,6 12,8 12,8 13,0 13,1 13,2 13,4 13,5 Não esqueça de ordenar os dados!!! No software R: x<- c(10.2, 10.2, 10.3, 10.6, 10.8, 11.0, 11.6, 11.8, 11.9, 12.0, 20.3, 20.3, 21.9, 22.0, 22.2, 22.4, 22.8, 23.3, 23.5, 23.8, 14.0, 14.9, 15.2, 15.3, 15.3, 15.4, 15.8, 16.0, 16.2, 16.3, 24.2, 24.5, 24.6, 24.9, 25.1, 25.5, 26.0, 26.3, 26.8, 28.1, 16.9, 17.7, 18.1, 18.3, 18.4, 18.7, 19.6, 19.8, 19.9, 20.0, 12.4, 12.6, 12.6, 12.8, 12.8, 13.0, 13.1, 13.2, 13.4, 13.5) sort(x) b) Calcule também: Q 1, Q 2, Q 3, P 2,5 e P 97,5. Respostas: P 90 = 25,0; P 2,5 = 10,2 ; P 97,5 = 26,8 33

34 Assim, para o cálculo da: Moda: precisamos apenas da distribuição de frequências (contagem); Mediana: necessitamos minimamente ordenar as realizações da variável; Média: só pode ser calculada para variáveis quantitativas. É possível calcular moda, média e media para TODOS os tipos de variáveis? Estas condições limitam bastante o cálculo para variáveis qualitativas: Para as nominais somente podemos trabalhar com a moda; Para as ordinais, além da moda, podemos usar também a mediana. Daqui em diante, por este fato, iremos trabalhar com as variáveis quantitativas, que permitem o uso de operações aritméticas com seus valores. 34

35 Esquema dos 5 números Os cinco valores : x (1), Q 1, Q 2, Q 3, x (n), são importantes para se ter uma boa ideia da assimetria da distribuição dos dados n m d Q 2 Q Q 1 Q 3 E x (1) x (n) Q são os quantis; E são os valores extremos (mínimo e máximo); n é o tamanho da amostra. 35

36 Caracterização de uma distribuição por meio das medidas de posição (simetrica ou assimetrica) 36

37 Avaliação de assimetria por média, mediana e moda Quando uma distribuição é simétrica, as três medidas coincidem freq. Quando os valores são diferentes a distribuição é assimétrica Assimétrica à esquerda Assimétrica à direita 37

38 Avaliação de assimetria por mediana e quartis Em distribuições dispersas os valores dos quartis e extremos ficam mais afastados da mediana. (a) Menor dispersão do que em (b) (b) Maior dispersão do que em (a) Em distribuições assimétricas, a distância entre a Md e Q 1 ou Min é diferente da distância entre Md e Q 3 ou Max. (c) Assimetria à direita (d) Assimetria à esquerda 38

39 50% das obs. Para uma distribuição simétrica ou aproximadamente simétrica, deveríamos ter: a) Q 2 x (1) x (n) Q 2, isto é, a dispersão inferior seja aproximadamente igual a dispersão superior. b) Q 2 Q 1 Q 3 Q 2 ; c) Q 1 x (1) x (n) Q 3 ; OBS: Os três primeiros itens são válidos para qualquer que seja a distribuição simétrica. Já o item d) é esperado para distribuições aproximadamente normais. d) Distâncias entre : Md e Q 1 ; e Md e Q 3 devem ser menores do que distâncias entre extremo (x (1) ) e Q 1, e extremo (x (n) ) e Q 3. Chamada de distribuição normal ou gaussiana x (1) Q 1 Q 2 Q 3 x (n) 39