Medidas de Tendência Central. Introdução Média Aritmética Moda Mediana Análise de Assimetria Separatrizes

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Tiago Lombardi de Figueiredo
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1 Medidas de Tendência Central Introdução Média Aritmética Moda Mediana Análise de Assimetria Separatrizes

2 Introdução A maioria dos dados apresenta uma tendência de se concentrar em torno de um ponto central Portanto, é possível selecionar um valor que melhor descreva o conjunto (um valor médio ou típico) Este valor é uma medida de tendência central

3 Introdução Há vários tipos de medidas utilizadas como medida de tendência central. Nós estudaremos as medidas: Média aritmética Moda Mediana

4 Média Aritmética Simples Tipo de medida de tendência central mais utilizada É a soma dos valores de todas as observações dividida pelo número de observações envolvidas Pergunta: A média está sempre no centro da abscissa uma distribuição? Ou seja, ela é sempre o ponto médio?

5 Média Aritmética Simples Nem sempre a média é o ponto médio de uma distribuição Ela é como um centro de gravidade de uma distribuição

6 Média Aritmética Simples Média é o ponto de uma distribuição em torno do qual os valores se equilibram; Os desvios a direita e à esquerda da média são idênticos Assim como a distribuição de peso à esquerda e à direita 60 x 1=40 x 1,5 60 x 1 = 30 x 2

7 Média Aritmética Simples Perigo: um ou mais valores bastante discrepantes do conjunto podem distorcer a tendência apresentada pela média Esta distorção pode ser amenizada aplicando-se pesos às observações (média aritmética ponderada)

8 Média Aritmética Simples A média aritmética pode ser escrita como: X1 + X n X n3 X = Ou, de forma simplificada: X n i= = 1 n X i

9 Média Aritmética Simples OBS: normalmente trabalha-se com a média da amostra X e não com a média da população μ devido ao custo e dificuldade de cálculo desta medida

10 Média Aritmética Simples Exercícios Dada uma amostra das notas dos alunos da disciplina de estatística, calcule a média aritmética: {5.0, 6.5, 5.5, 8.0, 7.5, 6.0, 5.1, 7.0} O que aconteceria com a média se a nota 0.1 fosse incluída na amostra?

11 Média Aritmética Simples Propriedades 1. A soma dos desvios em relação à média é sempre igual a zero 2. Se for somada (ou subtraída) uma constante K a cada elemento da amostra, a média aritmética será também somada (ou subtraída) a esta constante 3. Se for multiplicada (ou dividida) uma constante K a cada elemento da amostra, a média aritmética será também multiplicada (ou dividida) por esta constante

12 Média Aritmética Ponderada Caso os dados se repitam, para calcular a média pode-se fazer a somatória da multiplicação de cada valor pela respectiva freqüência e dividir pelo total de valores x= x i f i f i Esta fórmula é uma média aritmética ponderada pela frequência É equivalente à média aritmética simples

13 Média Aritmética Ponderada Exercícios: Demonstre que a média aritmética simples e a ponderada (por frequência) são equivalentes Calcule a média dos dados abaixo Nota Frequência

14 Moda Moda é o valor que aparece com maior frequência em um conjunto de dados Ao contrário da média aritmética, a moda não é afetada por valores extremos É utilizada para fins descritivos apenas, uma vez que é, dentre as medidas de tendência, a mais variável de amostra para amostra

15 Moda no cotidiano O curso com maior número de alunos na UFFS é a moda da Universidade O clube com maior número de torcedores é a moda na cidade, Estado ou País O estilo de roupa mais usado num período de tempo é a moda da época

16 Moda Moda em dados não tabulados X={4, 2, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9} Moda=6 OBS: Amostras podem possuir apenas uma moda (unimodal), duas modas (bimodal), mais de duas modas (multimodal), ou nenhuma moda (amodal) Exercício: Dê exemplos dos casos citados acima

17 Mediana Medida de tendência central que divide uma série ordenada de dados (ROL) em duas partes iguais Ocupa a posição central em um ROL A mediana também não é afetada por valores extremos Obs.: Pode coincidir ou não com um valor da série

18 Mediana Mediana em dados não tabulados Amostra com número ímpar de elementos X={1, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13,14}, onde n=9 Calcula-se o elemento central (E) 1 E = n + 2 = = 5 Logo a mediana corresponde ao 5º elemento da amostra: M d = 8

19 Mediana Mediana em dados não tabulados Amostra com número par de elementos X={1, 3, 5, 7, 9, 11}, onde n=6 Calcula-se os elementos centrais (E) E= n 2 = 6 2 =3 Os elementos centrais são 5 e 7. Logo a mediana é a média aritmética dos mesmos: M d = 6

20 Mediana Mediana em dados tabulados Amostra com dados discretos pares e não agrupados em classes Custo de produção (em milhões) Freqüência Freqüência acumulada E = n 2 Os elementos centrais são 25 e 26 (já que se trata de uma amostra par), que estão entre 15 e 30. Logo a mediana é: M d = = 50 2 = 25

21 Mediana Mediana em dados tabulados Amostra com dados discretos ímpares e não agrupados em classes Custo de produção (em milhões) Freqüência Freqüência acumulada E = n + 2 = 48 2 = O elemento central é 24, que está entre 15 e 30. Logo a mediana é: M d = 6

22 Mediana Mediana em dados tabulados Amostra com dados contínuos agrupados em classes: Calcule o ponto médio da classe mediana Custo de produção (em milhões) Freqüência Freqüência acumulada

23 Mediana Exercício Calcule a média, mediana e moda dos dados Custo de produção (em milhões) Frequência Frequência acumulada

24 Mediana Exercício: Vamos coletar a idade de 30% dos alunos desta sala, tabulá-los e dividi-los em classes. Em seguida, vamos calcular a média, moda, mediana, e comparar estes valores. OBS: A partir do resultado obtido, vamos introduzir o conceito de simetria.

25 Moda, Mediana e Média A comparação de média, mediana e moda define a simetria dos dados A distribuição de dados é simétrica quando a moda, média e mediana são coincidentes Na distribuição assimétrica, o pico da curva é a moda, a média se encontra próxima à cauda e a mediana se encontra entre a média e a moda Em caso de assimetria, a mediana é a medida de tendência central mais indicada para descrever a distribuição (exceção: pequenas assimetrias)

26 Moda, Mediana e Média A distribuição é assimétrica à esquerda (negativamente assimétrica) quando a média e a mediana estão à esquerda da moda A distribuição é assimétrica à direita (positivamente assimétrica) quando a média e a mediana estão à direita da moda Uma distribuição cuja moda está entre a média e mediana deve ser analisada. Possíveis causas: Amostra bimodal ou multimodal Tabulação em classes

27 Exercícios A distribuição de tempos de classificação em uma corrida possui assimetria positiva ou negativa? A distribuição de rendas anuais de um país tende a ter uma assimetria positiva ou negativa? Em uma linha de produção, no que se refere ao tempo de produção de uma peça, é melhor que a assimetria seja positiva ou negativa? Na distribuição de vendas ao longo de um ano, é mais interessante uma assimetria positiva ou negativa?

28 Separatrizes Associadas às medidas de tendência central, as separatrizes são úteis na descrição de uma distribuição As separatrizes são: Quartis Percentis Decis

29 Quartis Valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais 1º quartil (Q 1 ): valor que divide 25% de 75% dos dados 2º quartil (Q 2 ): coincide com a mediana, pois divide os dados em dois grupos iguais 3º quartil (Q 2 ): valor que divide 75% de 25% dos dados Fórmula geral: k n 4

30 Quartis Dados os valores: 10, 12, 13, 16, 20, 28, 29,30 1 n 4 = 8 4 =2 : Q 1 = 12,5 2 n : Q 2 = 18 4 =16 4 =4 3 n 4 = 24 4 =6 : Q 3 = 28,5 Q 1 Q 2 Q

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