Vimos que é possível sintetizar os dados sob a forma de distribuições de frequência e gráficos. Pode ser de interesse apresentar esses dados através d

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Vimos que é possível sintetizar os dados sob a forma de distribuições de frequência e gráficos. Pode ser de interesse apresentar esses dados através d"

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO Departamento de Estatística Luiz Medeiros

2 Vimos que é possível sintetizar os dados sob a forma de distribuições de frequência e gráficos. Pode ser de interesse apresentar esses dados através de medidas descritivas que sintetizam as características da distribuição. Para representar um conjunto de dados de forma condensada utilizaremos algumas medidas de posição e de dispersão.

3 MEDIDAS DE POSIÇÃO - MÉDIA Média Aritmética Simples: É a soma das observações dividida pelo número de observações. Seus valores tendem a se localizar em um ponto central dentro de um conjunto de dados. É a medida de posição mais utilizada. A média aritmética de X é dada por: Para dados agrupados por valor:

4 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA Nos cálculos envolvendo média aritmética simples, todas as ocorrências têm exatamente a mesma importância ou o mesmo peso. No entanto, existem casos onde as ocorrências têm importância relativa diferente. Nestes casos, o cálculo da média deve levar em conta esta importância relativa ou peso relativo.

5 MEDIDAS DE POSIÇÃO - MEDIANA Mediana (Me): Ocupa a posição central de uma série de observações ordenadas, ou seja, é o valor que divide os dados em duas partes iguais (isto é, em duas partes de 50% cada). Para a série de valores ordenados em ordem crescente de grandeza (isto é, um rol), a mediana é o valor central, isto é Me = elemento que está na posição (n+1)/2; Me=16 Obs: Quando o n é par, a mediana é sempre a média aritmética entre o ponto acima do qual recaem 50% dos casos e abaixo do qual também recaem 50% dos casos Me=(16+17)/2 = 16,5

6 MEDIDAS DE POSIÇÃO - MODA Moda (M O ): É o valor (valores) mais frequente em uma distribuição. a. Se todos os valores se repetem a mesma quantidade de vezes, dizemos que não há moda, ou seja, a distribuição é amodal; b. Se um valor ocorre com mais freqüência, dizemos que a distribuição é unimodal; c. Se dois valores se repetem a mesma quantidade de vezes e com mais freqüência, dizemos que a distribuição é bimodal. d. Se mais de dois valores se repetem a mesma quantidade de vezes e com a mesma freqüência, dizemos que a distribuição é multimodal. Obs: Esta medida é a única de que dispomos para variáveis qualitativas.

7 Exemplo: Kamile participou de um concurso, onde foram realizadas provas de Português, Matemática, Biologia e História. Essas provas tinham peso 3, 3, 2 e 2, respectivamente. Sabendo que Kamile tirou 8 em Português, 7,5 em Matemática, 5 em Biologia e 4 em História, qual foi a média que ele obteve?

8 Exemplo: Calcular a média, moda e mediana para os seguintes casos 1) Idade dos alunos ) Altura dos alunos 1,75 1,69 1,81 1,72 1,73 1,66 1,59

9 MEDIDAS DE POSIÇÃO - QUARTIS, DECIS E PERCENTIS Em alguns casos, o pesquisador tem interesse em conhecer outros aspectos relativos ao conjunto de dados. Nessa direção, os quartis, decis e percentis podem fornecer informações relevantes à pesquisa. Quartis: São as observações que dividem o rol em 4 partes iguais e são denotadas por Q 1, Q 2 e Q 3. Decis: São as observações que dividem o rol em 10 partes iguais e são denotadas por D 1,D 2,...,D 9. Percentis: São as observações que dividem o rol em 100 partes iguais e são denotadas por P 1, P 2,..., P 99. Note ainda que Q 2 = D 5 = P 50 = Me.

10 ASSIMETRIA Média = mediana = moda -> distribuição simétrica Média > Mediana > Moda -> distribuição assimétrica positiva Média < Mediana < Moda -> distribuição assimétrica negativa

11 MEDIDAS DE DISPERSÃO As medidas de posição apresentadas fornecem a informação dos dados apenas a nível pontual, sem ilustrar outros aspectos referentes à forma como os dados estão distribuídos na amostra. As medidas de dispersão são utilizadas para avaliar o grau de variabilidade, ou dispersão, dos valores.

12 MEDIDAS DE DISPERSÃO Exemplo: Notas de três turmas de Estatística da UFPB Observações importantes i) As três turmas possuem a mesma média. ii) As notas estão distribuídas sob diferentes formas. iii) A média resume o conjunto de dados apenas posição central. iv) A média não fornece informações sobre a variabilidade dos dados. Solução: Apresentar junto da média uma medida que sumarize a variabilidade do conjunto de dados.

13 MEDIDAS DE DISPERSÃO AMPLITUDE TOTAL Amplitude Total: Uma forma simples de medir a dispersão em um conjunto de observações é através da amplitude total: AT = Maior valor Menor valor Verifica-se que a amplitude como medida de dispersão é limitada. Essa medida só depende dos valores extremos, ou seja, não é afetada pela dispersão dos valores internos

14 MEDIDAS DE DISPERSÃO DESVIO MÉDIO O desvio médio é uma medida de VARIABILIDADE ABSOLUTA. Ela mede a variabilidade do conjunto em termos de desvios em relação à média aritmética. É uma quantidade sempre não negativa e expressa na mesma unidade de medida da variável. Obs: Essa medida não é tão utilizada como medida de variabilidade.

15 MEDIDAS DE DISPERSÃO - VARIÂNCIA A variância de um conjunto de dados (amostra ou população) é uma medida de VARIABILIDADE ABSOLUTA. Ela mede a variabilidade do conjunto em termos de desvios quadrados em relação à média aritmética. É uma quantidade sempre não negativa e expressa em unidades quadradas do conjunto de dados, sendo de difícil interpretação. a) Para dados agrupados por valor:

16 MEDIDAS DE DISPERSÃO DESVIO PADRÃO É uma outra medida de dispersão mais comumente empregada do que a variância, por ser expressa na mesma unidade de medida do conjunto de dados. Mede a "DISPERSÃO ABSOLUTA" de um conjunto de valores e é obtida a partir da variância. S = S 2

17 MEDIDAS DE DISPERSÃO COEFICIENTE DE VARIAÇÃO É uma medida de VARIABILIDADE RELATIVA, útil para comparar a variabilidade de observações com diferentes unidades de medida. É definida por: Exemplo: VALORES MÉDIA D.P. C.V % % % É importante expressar a variabilidade em termos relativos porque, por exemplo, um desvio-padrão igual a 1 pode ser muito pequeno se a magnitude dos dados é da ordem de 1.000, mas pode ser considerado muito elevado se esta magnitude for da ordem de 10. Observe também que o coeficiente de variação é adimensional e por este motivo permite a comparação das variabilidades de diferentes conjuntos de dados.

18 Boxplot

19 Curtose

20 Exemplo: Na tabela abaixo encontra-se a estrutura do produto interno bruto do Brasil, em bilhões de reais, segundo as atividades econômicas. a) Em qual dos setores ocorre a maior variabilidade? PERÍODO AGROPECUÁRIA INDÚSTRIA SERVIÇOS ,6 27,1 66, ,4 27,8 64, ,9 30, ,7 29, ,5 28,8 65, ,6 27,8 66,6

21 Exemplo: Uma certa empresa que fabrica duas linhas de produtos (A e B) necessita reestruturar sua produção. Foi realizado um estudo para tal finalidade e uma das variáveis consideradas foi VENDA (quantidade mensal) de cada tipo de produto (A e B). Para este estudo foi tomado como referência o primeiro semestre de determinado ano, onde foram verificados as seguintes VENDAS: PRODUTO A PRODUTO B Em relação a esta variável, qual dos produtos (A ou B) apresentou maior estabilidade nas VENDAS mensais? a) Em b) A empresa decide penalizar a equipe que obteve, em algum mês, um volume de venda inferior a X -1,5S. Alguma equipe foi penalizada?

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA MEDIDAS DESCRITIVAS Departamento de Estatística Luiz Medeiros http://www.de.ufpb.br/~luiz/ MEDIDAS DESCRITIVAS Vimos que é possível sintetizar os dados sob a forma de distribuições

Leia mais

Elementos de Estatística

Elementos de Estatística Elementos de Estatística Lupércio F. Bessegato & Marcel T. Vieira UFJF Departamento de Estatística 2013 Medidas Resumo Medidas Resumo Medidas que sintetizam informações contidas nas variáveis em um único

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA MEDIDAS DESCRITIVAS

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA MEDIDAS DESCRITIVAS UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA MEDIDAS DESCRITIVAS Departamento de Estatística Tarciana Liberal Vimos que é possível sintetizar os dados sob a forma de distribuições de freqüências e gráficos. Pode ser

Leia mais

MAIS SOBRE MEDIDAS RESUMO. * é muito influenciada por valor atípico

MAIS SOBRE MEDIDAS RESUMO. * é muito influenciada por valor atípico MAIS SOBRE MEDIDAS RESUMO Medidas de Tendência Central (1) média (aritmética) * só para variáveis quantitativas exceção: variável qualitativa nominal dicotômica, com categorias codificadas em 0 e 1; neste

Leia mais

Distribuição de frequências:

Distribuição de frequências: Distribuição de frequências: Uma distribuição de frequências é uma tabela que reúne o conjunto de dados conforme as frequências ou as repetições de seus valores. Esta tabela pode representar os dados em

Leia mais

Medidas Descritivas de Posição, Tendência Central e Variabilidade

Medidas Descritivas de Posição, Tendência Central e Variabilidade Medidas Descritivas de Posição, Tendência Central e Variabilidade Prof. Gilberto Rodrigues Liska UNIPAMPA 27 de Março de 2017 Material de Apoio e-mail: gilbertoliska@unipampa.edu.br Sumário 1 Introdução

Leia mais

Medidas Estatísticas NILO FERNANDES VARELA

Medidas Estatísticas NILO FERNANDES VARELA Medidas Estatísticas NILO FERNANDES VARELA Tendência Central Medidas que orientam quanto aos valores centrais. Representam os fenômenos pelos seus valores médios, em torno dos quais tendem a se concentrar

Leia mais

ESTATÍSTICA Medidas de Síntese

ESTATÍSTICA Medidas de Síntese 2.3 - Medidas de Síntese Além das tabelas e gráficos um conjunto de dados referente a uma variável QUANTITATIVA pode ser resumido (apresentado) através de Medidas de Síntese, também chamadas de Medidas

Leia mais

http://www.de.ufpb.br/~luiz/

http://www.de.ufpb.br/~luiz/ UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA MEDIDAS DESCRITIVAS Departamento de Estatística Luiz Medeiros http://www.de.ufpb.br/~luiz/ Vimos que é possível sintetizar os dados sob a forma de distribuições de frequências

Leia mais

CURSO DE SPSS AULA 2 MEDIDAS DESCRITIVAS. UFBA/FACED José Albertino Lordello Sheila Regina Pereira

CURSO DE SPSS AULA 2 MEDIDAS DESCRITIVAS. UFBA/FACED José Albertino Lordello Sheila Regina Pereira CURSO DE SPSS AULA 2 MEDIDAS DESCRITIVAS UFBA/FACED José Albertino Lordello Sheila Regina Pereira MEDIDAS RESUMO Uma maneira conveniente de descrever um grupo como um todo é achar um número único que represente

Leia mais

INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA: Medidas de Tendência Central e Medidas de Dispersão. Prof. Dr. Guanis de Barros Vilela Junior

INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA: Medidas de Tendência Central e Medidas de Dispersão. Prof. Dr. Guanis de Barros Vilela Junior INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA: Medidas de Tendência Central e Medidas de Dispersão Prof. Dr. Guanis de Barros Vilela Junior Relembrando!!! Não é uma CIÊNCIA EXATA!!! É UMA CIÊNCIA PROBABILÍSTICA!!!!!!! Serve

Leia mais

Para caracterizar um conjunto de dados é importante não só a média, mas também a dispersão dos valores em torno da média

Para caracterizar um conjunto de dados é importante não só a média, mas também a dispersão dos valores em torno da média 1 É muito diferente ter uma situação em que o salário médio mensal é R$600 e todos ganham R$600, ou ter o mesmo salário médio mas em que metade das pessoas ganha R$300 e a outra metade ganha R$900. Para

Leia mais

Métodos Estatísticos Básicos

Métodos Estatísticos Básicos Aula 4 - Medidas de dispersão Departamento de Economia Universidade Federal de Pelotas (UFPel) Abril de 2014 Amplitude total Amplitude total: AT = X max X min. É a única medida de dispersão que não tem

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA DESCRITIVA

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA DESCRITIVA PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA DESCRITIVA Prof.ª Sheila Regina Oro Projeto Recursos Educacionais Digitais Autores: Bruno Baierle e Maurício Furigo ESTATÍSTICA DESCRITIVA A Estatística Descritiva

Leia mais

Medidas Resumo. Medidas de Posição/ Medidas de Dispersão. A intenção desse trabalho é introduzir os conceitos de Medidas de posição e de dispersão.

Medidas Resumo. Medidas de Posição/ Medidas de Dispersão. A intenção desse trabalho é introduzir os conceitos de Medidas de posição e de dispersão. Medidas Resumo Medidas de Posição/ Medidas de Dispersão A intenção desse trabalho é introduzir os conceitos de Medidas de posição e de dispersão. Prof. MSc. Herivelto Marcondes Março/2009 1 Medidas Resumo

Leia mais

Bioestatística Medidas de tendência central, posição e dispersão PARTE II Roberta de Vargas Zanini 11/05/2017

Bioestatística Medidas de tendência central, posição e dispersão PARTE II Roberta de Vargas Zanini 11/05/2017 Bioestatística Medidas de tendência central, posição e dispersão PARTE II Roberta de Vargas Zanini 11/05/2017 10/03/2016 As medidas de tendência central são uma boa forma para descrever resumidamente

Leia mais

AULA 5 MEDIDAS DESCRITIVAS DOCENTE: CIRA SOUZA PITOMBO

AULA 5 MEDIDAS DESCRITIVAS DOCENTE: CIRA SOUZA PITOMBO UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA MEAU- MESTRADO EM ENGENHARIA AMBIENTAL URBANA ENG C 18 Métodos de Pesquisa Quantitativos e Qualitativos AULA 5 MEDIDAS DESCRITIVAS DOCENTE: CIRA SOUZA PITOMBO

Leia mais

ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS 2ª PARTE

ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS 2ª PARTE ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS 2ª PARTE 1 Medidas de síntese TERCEIRA maneira de resumir um conjunto de dados referente a uma variável quantitativa. Separatrizes Locação x % x % x % x % Dispersão Forma

Leia mais

n = 25) e o elemento (pois = 19) e terá o valor 8. Verifique que antes e depois do 19 o elemento, teremos 18 elementos.

n = 25) e o elemento (pois = 19) e terá o valor 8. Verifique que antes e depois do 19 o elemento, teremos 18 elementos. V) Mediana: A Mediana de um conjunto de números, ordenados crescente ou decrescentemente em ordem de grandeza (isto é, em um rol), será o elemento que ocupe a posição central da distribuição de freqüência

Leia mais

Estatística descritiva básica: Medidas de tendência central

Estatística descritiva básica: Medidas de tendência central Estatística descritiva básica: Medidas de tendência central ACH2021 Tratamento e Análise de Dados e Informações Marcelo de Souza Lauretto marcelolauretto@usp.br www.each.usp.br/lauretto *Parte do conteúdo

Leia mais

Unidade II ESTATÍSTICA. Prof. Celso Guidugli

Unidade II ESTATÍSTICA. Prof. Celso Guidugli Unidade II ESTATÍSTICA Prof. Celso Guidugli Medidas ou parâmetros estatísticos Valores que permitem uma imagem sintetizada do comportamento de uma amostra. Dividem-se em dois grandes grupos: medidas de

Leia mais

3.1 - Medidas de Posição Medidas de Dispersão Quantis Empiricos Box-plots Graficos de simetria 3.

3.1 - Medidas de Posição Medidas de Dispersão Quantis Empiricos Box-plots Graficos de simetria 3. 3 - MEDIDAS RESUMO 3.1 - Medidas de Posição 3.2 - Medidas de Dispersão 3.3 - Quantis Empiricos 3.4 - Box-plots 3.5 - Graficos de simetria 3.6 - Transformações 1/17 3.1 - Medidas de Posição Muitas vezes

Leia mais

Medidas de Tendência Central

Medidas de Tendência Central ESTATÍSTICA DESCRITIVA Medidas de Tendência Central 3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 3.1 Média Aritmética Uma das mais importantes medidas estatísticas utilizadas é a média. Ela é, por exemplo, utilizada

Leia mais

Estatística e Probabilidade

Estatística e Probabilidade Aula 3 Cap 02 Estatística Descritiva Nesta aula... estudaremos medidas de tendência central, medidas de variação e medidas de posição. Medidas de tendência central Uma medida de tendência central é um

Leia mais

MEDIDAS DE DISPERSÃO. Os dados a seguir referem-se ao índice pluviométrico de três cidades no Estado de São Paulo, em 3 diferentes ocasiões

MEDIDAS DE DISPERSÃO. Os dados a seguir referem-se ao índice pluviométrico de três cidades no Estado de São Paulo, em 3 diferentes ocasiões MEDIDAS DE DISPERSÃO Os dados a seguir referem-se ao índice pluviométrico de três cidades no Estado de São Paulo, em 3 diferentes ocasiões Cidade A: 185, 185, 185 x 185mm Cidade B: 18, 184, 189 x 185mm

Leia mais

MEDIDAS DE DISPERSÃO. o grau de variabilidade, ou dispersão, dos valores em torno da média.

MEDIDAS DE DISPERSÃO. o grau de variabilidade, ou dispersão, dos valores em torno da média. UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA MEDIDAS DESCRITIVAS Departamento de Estatística Tarciana Liberal As medidas de posição apresentadas fornecem a informação dos dados apenas a nível pontual, sem ilustrar

Leia mais

QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA

QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1) Um pesquisador que ordena uma lista de cidades segundo o ritmo de vida, do mais lento para o mais acelerado, está operando no nível de medida: (A)

Leia mais

Estatística

Estatística Estatística 1 2016.2 Sumário Capítulo 1 Conceitos Básicos... 3 MEDIDAS DE POSIÇÃO... 3 MEDIDAS DE DISPERSÃO... 5 EXERCÍCIOS CAPÍTULO 1... 8 Capítulo 2 Outliers e Padronização... 12 VALOR PADRONIZADO (Z)...

Leia mais

22/02/2014. AEA Leitura e tratamento de dados estatísticos apoiado pela tecnologia da informação. Medidas Estatísticas. Medidas Estatísticas

22/02/2014. AEA Leitura e tratamento de dados estatísticos apoiado pela tecnologia da informação. Medidas Estatísticas. Medidas Estatísticas Universidade Estadual de Goiás Unidade Universitária de Ciências Socioeconômicas e Humanas de Anápolis AEA Leitura e tratamento de dados estatísticos apoiado pela tecnologia da informação Prof. Elisabete

Leia mais

ESTATÍSTICA. PROF. RANILDO LOPES U.E PROF EDGAR TITO

ESTATÍSTICA. PROF. RANILDO LOPES  U.E PROF EDGAR TITO ESTATÍSTICA PROF. RANILDO LOPES http://ueedgartito.wordpress.com U.E PROF EDGAR TITO 1 ESTATÍSTICA MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL MEDIDAS DE DISPERSÃO 2 Estatística ELEMENTOS TÍPICOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO:

Leia mais

Introdução à Estatística Estatística Descritiva 22

Introdução à Estatística Estatística Descritiva 22 Introdução à Estatística Estatística Descritiva 22 As tabelas de frequências e os gráficos constituem processos de redução de dados, no entanto, é possível resumir de uma forma mais drástica esses dados

Leia mais

Bioestatística CE001 Prof. Fernando de Pol Mayer Departamento de Estatística DEST Exercícios: medidas resumo Nome: GABARITO

Bioestatística CE001 Prof. Fernando de Pol Mayer Departamento de Estatística DEST Exercícios: medidas resumo Nome: GABARITO Bioestatística CE001 Prof. Fernando de Pol Mayer Departamento de Estatística DEST Exercícios: medidas resumo Nome: GABARITO GRR: 1. Estime as medidas de centro (média, mediana, moda) para amostras de altura

Leia mais

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Professor Jair Wyzykowski Universidade Estadual de Santa Catarina Média aritmética INTRODUÇÃO A concentração de dados em torno de um valor pode ser usada para representar todos

Leia mais

Medidas Estatísticas de Posição

Medidas Estatísticas de Posição Medidas Estatísticas de Posição 1 - Medidas de Tendência Central Denição medida de tendência central é um único valor que representa ou tipica um conjunto de valores. Nunca pode ser menor que o menor valor

Leia mais

MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE DISPERSÃO. Profª Andréa H Dâmaso

MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE DISPERSÃO. Profª Andréa H Dâmaso MEDIDAS DE POSIÇÃO E DE DISPERSÃO Profª Andréa H Dâmaso Bioestatística e Delineamento Experimental - 2012 Tópicos da aula Medidas de tendência central e dispersão Variáveis contínuas: distribuição normal

Leia mais

Estatística Descritiva (I)

Estatística Descritiva (I) Estatística Descritiva (I) 1 O que é Estatística Origem relacionada com a coleta e construção de tabelas de dados para o governo. A situação evoluiu: a coleta de dados representa somente um dos aspectos

Leia mais

Estatística I Aula 3. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

Estatística I Aula 3. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc. Estatística I Aula 3 Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc. Estatística: Prof. André Carvalhal Dados quantitativos: medidas numéricas Propriedades Numéricas Tendência Central Dispersão Formato Média Mediana

Leia mais

Fernando de Pol Mayer

Fernando de Pol Mayer Fernando de Pol Mayer Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR) Este conteúdo está disponível por meio da Licença Creative

Leia mais

Conceito de Estatística

Conceito de Estatística Conceito de Estatística Estatística Técnicas destinadas ao estudo quantitativo de fenômenos coletivos, observáveis. Unidade Estatística um fenômeno individual é uma unidade no conjunto que irá constituir

Leia mais

Coeficiente de Assimetria

Coeficiente de Assimetria Coeficiente de Assimetria Rinaldo Artes Insper Nesta etapa do curso estudaremos medidas associadas à forma de uma distribuição de dados, em particular, os coeficientes de assimetria e curtose. Tais medidas

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Introdução O que é Estatística? Coleção de

Leia mais

IFF FLUMINENSE CST EM MANUTENÇÃO INDUSTRIAL

IFF FLUMINENSE CST EM MANUTENÇÃO INDUSTRIAL IFF FLUMINENSE CST EM MANUTENÇÃO INDUSTRIAL Estatística e Probabilidade CH: 40 h/a Classificação de variáveis, Levantamento de Dados: Coleta; Apuração; Apresentação; e Análise de resultados. Séries Estatísticas.

Leia mais

Medidas de Dispersão ou variabilidade

Medidas de Dispersão ou variabilidade Medidas de Dispersão ou variabilidade A média - ainda que considerada como um número que tem a faculdade de representar uma série de valores - não pode, por si mesma, destacar o grau de homogeneidade ou

Leia mais

Adilson Cunha Rusteiko

Adilson Cunha Rusteiko Janeiro, 2015 Estatística , A Estatística Estatística: É a parte da matemática aplicada que fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação

Leia mais

Sumário. Estatistica.indb 11 16/08/ :47:41

Sumário. Estatistica.indb 11 16/08/ :47:41 Sumário CAPÍTULO 1 CONCEITOS INICIAIS... 19 1.1. Introdução... 19 1.2. Estatística... 19 1.2.1. Estatística Descritiva ou Dedutiva... 21 1.2.2. Estatística Indutiva ou Inferencial... 21 1.3. População...

Leia mais

CAD. 8 SETOR A AULAS 45-48

CAD. 8 SETOR A AULAS 45-48 CAD. 8 SETOR A AULAS 45-48 48 ESTATÍSTICA STICA Prof. Suzart ESTATÍSTICA Elabora métodos para coleta, organização, descrição, análise e intepretação de dados. Experimentos não-determinísticos. Determinação

Leia mais

Medidas de Dispersão. Introdução Amplitude Variância Desvio Padrão Coeficiente de Variação

Medidas de Dispersão. Introdução Amplitude Variância Desvio Padrão Coeficiente de Variação Medidas de Dispersão Introdução Amplitude Variância Desvio Padrão Coeficiente de Variação Introdução Estudo de medidas que mostram a dispersão dos dados em torno da tendência central Analisaremos as seguintes

Leia mais

Métodos Experimentais em Ciências Mecânicas

Métodos Experimentais em Ciências Mecânicas Métodos Experimentais em Ciências Mecânicas Professor Jorge Luiz A. Ferreira Pertencem ao grupo de ferramentas estatísticas que permitem caracterizar um conjunto de dados sob ponto de vista da tendência

Leia mais

Unidade I ESTATÍSTICA APLICADA. Prof. Luiz Felix

Unidade I ESTATÍSTICA APLICADA. Prof. Luiz Felix Unidade I ESTATÍSTICA APLICADA Prof. Luiz Felix O termo estatística Provém da palavra Estado e foi utilizado originalmente para denominar levantamentos de dados, cuja finalidade era orientar o Estado em

Leia mais

Análise descritiva de Dados. A todo instante do nosso dia-a-dia nos deparamos com dados.

Análise descritiva de Dados. A todo instante do nosso dia-a-dia nos deparamos com dados. Análise descritiva de Dados A todo instante do nosso dia-a-dia nos deparamos com dados. Por exemplo, para decidir pela compra de um eletrodoméstico, um aparelho eletrônico ou até mesmo na compra de uma

Leia mais

Estatística Descritiva

Estatística Descritiva C E N T R O D E M A T E M Á T I C A, C O M P U T A Ç Ã O E C O G N I Ç Ã O UFABC Estatística Descritiva Centro de Matemática, Computação e Cognição March 17, 2013 Slide 1/52 1 Definições Básicas Estatística

Leia mais

PLANO DE ENSINO. Disciplina: Estatística e Probabilidade Carga Horária: 40h Período: 1º. Ementa

PLANO DE ENSINO. Disciplina: Estatística e Probabilidade Carga Horária: 40h Período: 1º. Ementa Disciplina: Estatística e Probabilidade Carga Horária: 40h Período: 1º PLANO DE ENSINO Ementa Classificação de variáveis, Levantamento de Dados: Coleta; Apuração; Apresentação e Análise de resultados.

Leia mais

ESTATÍSTICA. na Contabilidade Parte 5. Medidas Estatísticas

ESTATÍSTICA. na Contabilidade Parte 5. Medidas Estatísticas ESTATÍSTICA na Contabilidade Parte 5 Luiz A. Bertolo Medidas Estatísticas A distribuição de frequências permite-nos descrever, de modo geral, os grupos de valores (classes) assumidos por uma variável.

Leia mais

Bioestatística. Aula 3. MEDIDAS SEPARATRIZES Quartis, Decis e percentis. Profa. Alessandra Bussador

Bioestatística. Aula 3. MEDIDAS SEPARATRIZES Quartis, Decis e percentis. Profa. Alessandra Bussador Bioestatística Aula 3 MEDIDAS SEPARATRIZES Quartis, Decis e percentis Profa. Alessandra Bussador Quartis dados não agrupados Dividem os dados ordenados em quatro partes: Primeiro Quartil (Q1): valor que

Leia mais

Aula 02 mtm B MATEMÁTICA BÁSICA

Aula 02 mtm B MATEMÁTICA BÁSICA Aula 0 mtm B MATEMÁTICA BÁSICA Estatística Medidas de Tendência Central Para melhor caracterizar um conjunto de números de uma amostra, é preciso escolher um valor único que represente todos os outros

Leia mais

ESTATÍSTICA. na Contabilidade Parte 4. Medidas Estatísticas

ESTATÍSTICA. na Contabilidade Parte 4. Medidas Estatísticas ESTATÍSTICA na Contabilidade Parte 4 Luiz A. Bertolo Medidas Estatísticas A distribuição de frequências permite-nos descrever, de modo geral, os grupos de valores (classes) assumidos por uma variável.

Leia mais

2) Dados os valores a seguir, , determinar a moda dos mesmos.

2) Dados os valores a seguir, , determinar a moda dos mesmos. 1) O gráfico abaixo, apresenta dados referentes a faltas por dia em uma classe, durante um certo período de tempo. 1 De acordo com o gráfico, no período observado, ocorreram: (A) 15 faltas em 8 dias. (B)

Leia mais

Medidas de Dispersão para uma Amostra. Conteúdo: AMPLITUDE VARIÂNCIA DESVIO PADRÃO COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Medidas de Dispersão para uma Amostra. Conteúdo: AMPLITUDE VARIÂNCIA DESVIO PADRÃO COEFICIENTE DE VARIAÇÃO Medidas de Dispersão para uma Amostra Conteúdo: AMPLITUDE VARIÂNCIA DESVIO PADRÃO COEFICIENTE DE VARIAÇÃO Medidas de Dispersão para uma Amostra Para entender o que é dispersão, imagine que quatro alunos

Leia mais

SUMÁRIO. Prefácio, Espaço amostrai, Definição de probabilidade, Probabilidades finitas dos espaços amostrais fin itos, 20

SUMÁRIO. Prefácio, Espaço amostrai, Definição de probabilidade, Probabilidades finitas dos espaços amostrais fin itos, 20 SUMÁRIO Prefácio, 1 3 1 CÁLCULO DAS PROBABILIDADES, 15 1.1 Introdução, 15 1.2 Caracterização de um experimento aleatório, 15 1.3 Espaço amostrai, 16 1.4 Evento, 17 1.5 Eventos mutuamente exclusivos, 17

Leia mais

PROGRAMA DA DISCIPLINA

PROGRAMA DA DISCIPLINA PROGRAMA DA DISCIPLINA Curso: Matemática Disciplina: Estatística Carga Horária: 60 eórica: 44 Prática: 16 Semestre: 2013/02 Professor: Alzinete Diniz da Silva Obrigatória: ( x ) Eletiva: ( ) EMENA Estatística

Leia mais

ESTATÍSTICA E. Prof Paulo Renato A. Firmino. Aulas

ESTATÍSTICA E. Prof Paulo Renato A. Firmino. Aulas ESTATÍSTICA E Prof Paulo Renato A. Firmino praf62@gmail.com Aulas 05-06 Descritiva Medidas de Posição Mediana: É o valor que se localiza no centro de uma amostra ordenada Se o número de observações (n)

Leia mais

A Estatística é aplicada como auxílio nas tomadas de decisão diante de incertezas para justificar cientificamente as decisões

A Estatística é aplicada como auxílio nas tomadas de decisão diante de incertezas para justificar cientificamente as decisões A IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA A Estatística é aplicada como auxílio nas tomadas de decisão diante de incertezas para justificar cientificamente as decisões Governo Indústria Ciências Econômicas, sociais,

Leia mais

INTRODUÇÃO A ESTATISTICA PROF. RANILDO LOPES

INTRODUÇÃO A ESTATISTICA PROF. RANILDO LOPES INTRODUÇÃO A ESTATISTICA PROF. RANILDO LOPES DESCRIÇÃO DOS DADOS CONTÍNUOS Trazem informações que expressam a tendência central e a dispersão dos dados. Tendência Central: Média ( x ), Mediana ( Md ),

Leia mais

As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: a própria mediana, os decis, os quartis e os percentis.

As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: a própria mediana, os decis, os quartis e os percentis. RESUMO Medidas de Posição são as estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva de frequência As medidas

Leia mais

ESTATÍSTICA. na Contabilidade Parte 6. Medidas Estatísticas

ESTATÍSTICA. na Contabilidade Parte 6. Medidas Estatísticas ESTATÍSTICA na Contabilidade Parte 6 Luiz A. Bertolo Medidas Estatísticas A distribuição de frequências permite-nos descrever, de modo geral, os grupos de valores (classes) assumidos por uma variável.

Leia mais

Medidas de Dispersão 1

Medidas de Dispersão 1 Curso: Logística e Transportes Disciplina: Estatística Profa. Eliane Cabariti Medidas de Dispersão 1 Introdução Uma breve reflexão sobre as medidas de tendência central permite-nos concluir que elas não

Leia mais

Avaliação. Diagnóstico. Gerente Apuração de dados. Sistema integrado. Tudo que você precisa está a sua disposição no ambiente virtual.

Avaliação. Diagnóstico. Gerente Apuração de dados. Sistema integrado. Tudo que você precisa está a sua disposição no ambiente virtual. NÍVEL DE ENSINO: Graduação Tecnológica CARGA HORÁRIA: 40h PROFESSOR-AUTOR: Ricardo Saraiva Diniz DE DADOS ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO APRESENTAÇÃO Desempenho Olá! Seja muito bem-vindo à disciplina Análise

Leia mais

Prof. Dr. Engenharia Ambiental, UNESP

Prof. Dr. Engenharia Ambiental, UNESP INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA ESPACIAL Análise Exploratória dos Dados Estatística Descritiva Univariada Roberto Wagner Lourenço Roberto Wagner Lourenço Prof. Dr. Engenharia Ambiental, UNESP Estrutura da Apresentação

Leia mais

Uma livraria vende a seguinte a quantidade de livros de literatura durante uma certa semana:

Uma livraria vende a seguinte a quantidade de livros de literatura durante uma certa semana: Medidas de Tendência Central. Depois de se fazer a coleta e a representação dos dados de uma pesquisa, é comum analisarmos as tendências que essa pesquisa revela. Assim, se a pesquisa envolve muitos dados,

Leia mais

Plano de Ensino Docente. TURMA: 2º semestre

Plano de Ensino Docente. TURMA: 2º semestre Plano de Ensino Docente IDENTIFICAÇÃO CURSO: Licenciatura em Matemática FORMA/GRAU:( ) integrado ( ) subsequente ( ) concomitante ( ) bacharelado (x) licenciatura ( ) tecnólogo MODALIDADE: ( x ) Presencial

Leia mais

CAP1: Estatística Descritiva para análise da variabilidade uma amostra de dados quantitativos

CAP1: Estatística Descritiva para análise da variabilidade uma amostra de dados quantitativos CAP1: Estatística Descritiva para análise da variabilidade uma amostra de dados quantitativos O aluno deverá utilizar calculadora científica Resumo Numérico dos dados Suponha que os dados sejam representados

Leia mais

Aula 2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E MEDIDAS DE POSIÇÃO

Aula 2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL E MEDIDAS DE POSIÇÃO Aula META Visualizar o comportamento de um conjunto de dados por intermédio de um único valor, neste caso representado pelo parâmetro médio, bem como em

Leia mais

4) No concurso da questão anterior, qual é a mediana das pontuações dos candidatos?

4) No concurso da questão anterior, qual é a mediana das pontuações dos candidatos? EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES Medidas de posição e dispersão 2 a / 3 a SÉRIE ENSINO MÉDIO MANHÃ ASSUNTOS : Média, Moda e Mediana de variáveis agrupadas ou não Desvio médio, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente

Leia mais

ESTATÍSTICA BÁSICA. Freqüência Absoluta: Número de vezes que um elemento ocorre em uma amostra.

ESTATÍSTICA BÁSICA. Freqüência Absoluta: Número de vezes que um elemento ocorre em uma amostra. ESTATÍSTICA BÁSICA. Apresentação Estatística é a parte da Matemática que organiza e analisa dados coletados em uma amostra de um conjunto. Com base nos resultados, faz projeções para todo o conjunto com

Leia mais

ESTATÍSTICA. Prof.º Mário Castro

ESTATÍSTICA. Prof.º Mário Castro ESTATÍSTICA Prof.º Mário Castro Estatística O que é: É a ciência que coleta, organiza e interpreta dados colhidos entre um grupo aleatório de pessoas. Divisão da estatística: Estatística geral Visa elaborar

Leia mais

ESTATÍSTICA DESCRITIVA

ESTATÍSTICA DESCRITIVA ESTATÍSTICA DESCRITIVA O principal objectivo da ESTATÍSTICA DESCRITIVA é a redução de dados. A importância de que se revestem os métodos que visam exprimir a informação relevante contida numa grande massa

Leia mais

AT = Maior valor Menor valor

AT = Maior valor Menor valor UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA TABELAS E GRÁFICOS Departamento de Estatística Luiz Medeiros DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Quando se estuda uma massa de dados é de frequente interesse resumir as informações

Leia mais

Dados de identificação do Acadêmico: Nome: Login: CA: Cidade: UF Assinatura: CARTÃO RESPOSTA

Dados de identificação do Acadêmico: Nome: Login: CA: Cidade: UF Assinatura: CARTÃO RESPOSTA ANÁLISE E DESENVOLVIMENTO DE SISTEMAS TURMA 2008 4º PERÍODO 7º MÓDULO AVALIAÇÃO A2 DATA 08/10/2009 ESTATÍSTICA 2009/2 Dados de identificação do Acadêmico: Nome: Login: CA: Cidade: UF Assinatura: CARTÃO

Leia mais

Nilza Nunes da Silva/Regina Bernal 1

Nilza Nunes da Silva/Regina Bernal 1 CAPÍTULO 1 - MEDIDAS QUANTITATIVAS UMA VARIÁVEL 1.10 MEDIDAS DE POSIÇÃO ( MÉDIA, MEDIANA, MODA) Variáveis Discretas Variáveis contínuas (valores em classes) 1.11 MEDIDAS DE DISPERSÃO (Variância, Desvio

Leia mais

GERÊNCIA DE ENSINO E PESQUISA - GEP SETOR DE GESTÃO DA PESQUISA E INOVAÇÃO TECNOLOGICA ESTATÍSTICA ALICADA NO EXCEL. Estatística Descritiva

GERÊNCIA DE ENSINO E PESQUISA - GEP SETOR DE GESTÃO DA PESQUISA E INOVAÇÃO TECNOLOGICA ESTATÍSTICA ALICADA NO EXCEL. Estatística Descritiva GERÊNCIA DE ENSINO E PESQUISA - GEP SETOR DE GESTÃO DA PESQUISA E INOVAÇÃO TECNOLOGICA ESTATÍSTICA ALICADA NO EXCEL Estatística Descritiva A análise descritiva consiste basicamente na organização e descrição

Leia mais

Prof. Francisco Crisóstomo

Prof. Francisco Crisóstomo Unidade II ESTATÍSTICA BÁSICA Prof. Francisco Crisóstomo Unidade II Medidas de posição Medidas de posição Tem como característica definir um valor que representa um conjunto de valores (rol), ou seja,

Leia mais

Ensino de Estatística. Tratamento da Informação. Ensino de Estatística Profs. L. Bessegato e R. Bastos Estatística/ UFJF 1.

Ensino de Estatística. Tratamento da Informação. Ensino de Estatística Profs. L. Bessegato e R. Bastos Estatística/ UFJF 1. Roteiro Geral Ensino de Estatística Lupércio França Bessegato Ronaldo Rocha Bastos 1. Tratamento da informação 2. Introdução ao R 3. Produção de dados 4. Probabilidade 5. Inferência estatística 6. Referências

Leia mais

1. Registou-se o número de assoalhadas de 100 apartamentos vendidos num bairro residencial

1. Registou-se o número de assoalhadas de 100 apartamentos vendidos num bairro residencial Escola Superior de Tecnologia de Viseu Fundamentos de Estatística 2006/2007 Ficha nº 1 1. Registou-se o número de assoalhadas de 100 apartamentos vendidos num bairro residencial 0; 0; 0; 1; 2; 0; 0; 1;

Leia mais

Curso de Especialização em Fisioterapia Traumato-Ortopédica / 2010 NOÇÕES DE STICA

Curso de Especialização em Fisioterapia Traumato-Ortopédica / 2010 NOÇÕES DE STICA Curso de Especialização em Fisioterapia Traumato-Ortopédica / 2010 NOÇÕES DE BIOSTATÍSTICA STICA Prof a. Lilian Pinto da Silva Faculdade de Fisioterapia Universidade Federal de Juiz de Fora lilian.pinto@ufjf.edu.br

Leia mais

Medidas de Tendência Central. Prof.: Joni Fusinato

Medidas de Tendência Central. Prof.: Joni Fusinato Medidas de Tendência Central Prof.: Joni Fusinato joni.fusinato@ifsc.edu.br jfusinato@gmail.com 1 Medidas de Tendência Central A Estatística trabalha com diversas informações que são apresentadas por meio

Leia mais

CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS

CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS CONTEÚDOS PROGRAMÁTICOS CURSO: MATEMÁTICA DISCIPLINA: ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE SÉRIE: 1ª CARGA HORÁRIA: 144 HORAS PROFESSORA: Maria Ivete Basniak ANO LETIVO: 2013 EMENTA: Variáveis e gráficos; Distribuições

Leia mais

Estatística Básica MEDIDAS RESUMO

Estatística Básica MEDIDAS RESUMO Estatística Básica MEDIDAS RESUMO Renato Dourado Maia Instituto de Ciências Agrárias Universidade Federal de Minas Gerais Motivação Básica Se você estivesse num ponto de ônibus e alguém perguntasse sobre

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Esperança e Variância. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB

Variáveis Aleatórias. Esperança e Variância. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB Variáveis Aleatórias Esperança e Variância Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB ESPERANÇA E VARIÂNCIA Nos modelos matemáticos aleatórios parâmetros podem ser empregados para caracterizar

Leia mais

Departamento de Estatística

Departamento de Estatística Laboratório de Ciências - Aula 3 Departamento de Estatística 7 de Janeiro de 2014 Introdução Suponha que dispomos de um conjunto de dados, por exemplo, número de gols (ou número de impedimentos, chutes

Leia mais

Plano de Ensino. Disciplina: Estatística. Carga Horária: 50 aulas. Ementa da disciplina:

Plano de Ensino. Disciplina: Estatística. Carga Horária: 50 aulas. Ementa da disciplina: 1 Plano de Ensino Curso: Ciências Contábeis Disciplina: Estatística Carga Horária: 50 aulas Semestre Letivo/Turno: 2º semestre/ Professor: Período: Ementa da disciplina: Gerais: Conteúdo Programático:

Leia mais

Padronização. Momentos. Coeficiente de Assimetria

Padronização. Momentos. Coeficiente de Assimetria Padronização Seja X 1,..., X n uma amostra de uma variável com com média e desvio-padrão S. Então a variável Z, definida como, tem as seguintes propriedades: a) b) ( ) c) é uma variável adimensional. Dizemos

Leia mais

AULA 01 Estatísticas Descritivas

AULA 01 Estatísticas Descritivas 1 AULA 01 Estatísticas Descritivas Ernesto F. L. Amaral 13 de agosto de 2012 Faculdade de Filosofia e Ciências Humanas (FAFICH) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Fonte: Babbie, Earl. 1999. Métodos

Leia mais

PLANO DE ENSINO E APRENDIZAGEM

PLANO DE ENSINO E APRENDIZAGEM SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA PARFOR PLANO DE ENSINO E APRENDIZAGEM I - IDENTIFICAÇÃO: PROFESSOR(A)

Leia mais

ESTATÍSTICA DESCRITIVA

ESTATÍSTICA DESCRITIVA ESTATÍSTICA DESCRITIVA Organização Descrição Quantificação de variabilidade Identificação de valores típicos e atípicos Elementos básicos: Tabelas Gráficos Resumos numéricos CONCEITOS BÁSICOS Variável

Leia mais

Estatística Descritiva Lista 1 de exercícios (nivelamento)

Estatística Descritiva Lista 1 de exercícios (nivelamento) 1. População é um conjunto de: a) Pessoas. b) Elementos quaisquer. c) Pessoas com uma característica comum. d) Elementos com pelo menos uma característica em comum. e) Indivíduos de um mesmo município,

Leia mais

Medidas Descritivas AULA 2

Medidas Descritivas AULA 2 META: É necessário usar técnicas de estatística descritiva sobres os dados de forma que possamos apresentá-los de forma mais simples e compacta, tornando seu estudo mais eficiente. Assim podemos lançar

Leia mais

Depois passamos para a Tabela de Frequências, separar os valores da variável e depois numa outra coluna, colocar sua frequência absoluta, assim:

Depois passamos para a Tabela de Frequências, separar os valores da variável e depois numa outra coluna, colocar sua frequência absoluta, assim: Aula 2 5Tabelas de frequência Para atingir os objetivos de uma pesquisa, é preciso que os dados estejam organizados de forma a facilitar o entendimento do leitor A primeira etapa após o levantamento dos

Leia mais

Estatística Aplicada II

Estatística Aplicada II Estatística Aplicada II Profa. Flávia Landim E-mail: flavia@im.ufrj.br Aulas: quintas de 13h-18h20 Início: 22 de agosto de 2013 Avaliações: P1 10/10, P2 28/11. apresentação de trabalhos: 5 e 12/12 (grupos

Leia mais

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA. Programa da Unidade Curricular ANÁLISE DE DADOS Ano Lectivo 2014/2015

UNIVERSIDADE LUSÍADA DE LISBOA. Programa da Unidade Curricular ANÁLISE DE DADOS Ano Lectivo 2014/2015 Programa da Unidade Curricular ANÁLISE DE DADOS Ano Lectivo 2014/2015 1. Unidade Orgânica Ciências da Economia e da Empresa (1º Ciclo) 2. Curso Gestão de Empresa 3. Ciclo de Estudos 1º 4. Unidade Curricular

Leia mais

Medidas de Tendência Central. Introdução Média Aritmética Moda Mediana

Medidas de Tendência Central. Introdução Média Aritmética Moda Mediana Medidas de Tendência Central Introdução Média Aritmética Moda Mediana Introdução A maioria dos dados apresenta uma tendência de se concentrar em torno de um ponto central Portanto, é possível selecionar

Leia mais