Estatística descritiva: medidas de tendência central.

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1 Universidade Estadual de Alagoas UNEAL Campus II Santana do Ipanema Disciplina: Estatística Aplicada à Educação Professor: Wellyngton Chaves Monteiro da Silva Estatística descritiva: medidas de tendência central. As medidas de tendência central indicam onde se concentram a maioria dos dados. Vejamos as principais medidas de tendência central: Moda (Mo): consiste no/s valor/es que aparece/m com a/s maior/es freqüência/s. Mediana (Me): É o valor que ocupa a posição central da série de observações de uma variável, dividindo o conjunto em duas partes iguais. Ou seja, a quantidade de observações abaixo da mediana, é igual à quantidade de observações acima da mediana. Média ( X ): é a soma dos valores da variável dividida pelo número de observações. MÉDIA A Média pode ser definida como o centro de gravidade ou o ponto de equilíbrio do conjunto de dados. Temos vários tipos de médias 1, mas aqui vamos nos limitar a estudar a média aritmética simples e a média aritmética ponderada. A média aritmética simples é usada quando temos dados não agrupados. Consiste na soma de todos os valores da variável dividida pelo número de observações: X X n Suponha que você tenha três alunos cujas notas nas quatro avaliações de uma dada disciplina são as seguintes: Aluno Avaliação 1 Avaliação 2 Avaliação 3 Avaliação 4 i Média A B C É fácil verificar que os três alunos possuem a mesma média nas quatro avaliações, embora não possuam desempenho semelhante. Apenas com esse exemplo, 1 Existem outros tipos de médias, como a média harmônica, a média geométrica, a média aparada, mas que não serão objetos de nosso estudo.

2 é possível concluir que essa estatística não é suficiente para descrever o desempenho dos alunos, ou seja, ela é insuficiente para descrever um conjunto de dados, exigindo uma estatística complementar como uma medida de dispersão dos dados, que veremos mais adiante. Os dados do exemplo anterior também nos fazem perceber que a média é fortemente influenciada por valores extremos, tal como podemos perceber no aluno C, que, apesar de ter tirado três 9, apenas uma nota muito pequena (de valor 1), fez sua média despencar. Por esta razão deve-se fazer uma análise cuidadosa dos dados. Vejamos outro exemplo que justificaria essa cautela: suponha que você faça um levantamento da renda das famílias dos 9 alunos de uma sala de aula, obtendo os resultados abaixo, em salários mínimos: Aluno Renda (Salário Mínimo) 1,0 1,0 1,0 1,0 2,0 2,0 3,0 5,0 20,0 Para calcularmos a média da renda dessas nove famílias, precisamos apenas somar todas as rendas e dividir pela quantidade de famílias envolvidas (nesse caso, dividiremos por 9 famílias). A renda média é, portanto, igual a 4,0. Mas existe um valor que influencia decisivamente o resultado da média, que é o valor da família do aluno 9, que tem renda de 20 salários mínimos, bem acima das dos demais. Se retirarmos esse valor da amostra, ou seja, se somarmos tudo novamente sem esse valor, e dividirmos, agora, pelas 8 famílias que compõem a nova amostra, obteremos como resultado, uma renda média de 2,0 salários mínimos, que na verdade descreve melhor o conjunto de dados. Vejamos esse resultado na representação gráfica abaixo: Distribuição de renda das famílias da amostra: * valor extremo * * * * * * * * média retirando o valor extremo média com o valor extremo Este exemplo ilustra como a média é vulnerável ao efeito de valores extremos. Neste caso é recomendado utilizar outra medida de tendência central, tal como a moda ou a mediana. No entanto, antes, vejamos a média aritmética ponderada, que é

3 utilizada quando temos dados agrupados, com ou sem intervalo de classe. Consiste na soma de todos os valores da variável dividida pela soma das frequências; antes, porém, precisamos multiplicar cada valor desta variável pela sua respectiva frequência: X X i.f i f i Suponha que você tenha a distribuição de frequências do número de filhos de 30 famílias. Tabela 1 Distribuição de frequências do número de filhos de 40 famílias de uma determinada região (exemplo) Número de filhos Frequência (f) TOTAL 40 A questão, agora, é encontrar qual a média de filhos por família nesta região, considerando-se as informações obtidas a partir dessas 40 famílias. O modo mais prático de se calcular a média ponderada é inserir mais uma coluna, referente à multiplicação do número de filhos por sua respectiva frequência, como vimos na fórmula acima. Tabela 2 Distribuição de frequências do número de filhos de 40 famílias de uma determinada região (exemplo com a ponderação) Número de filhos Frequência (f) Xifi TOTAL Pronto! Com esses totais, podemos proceder ao cálculo utilizando a fórmula indicada anteriormente, ou seja: X X i.f i 118 = 2, 95 f i 40

4 A média de 2,95 indica que há, em média, 2,95 crianças por família entre as 40 estudadas. Quase 3 filhos por família, em média. No caso do cálculo para dados agrupados com intervalo de classes, basta localizar o ponto médio de cada intervalo de classe. Ou seja, basta encontrar a média de cada intervalo de classe e multiplica-lo por sua respectiva frequência. da média: Finalmente, e a partir do que vimos até aqui, vejamos algumas características É o valor esperado para as observações, se fossem todas iguais. É da mesma natureza que a variável considerada, devendo ser acompanhada da unidade de medida da variável, ou seja, se queremos obter a média de peso, em quilograma (kg), de alunos de uma sala de aula, esta média também será em quilograma (kg). A média sempre existe, e admite somente um único valor. É fortemente influenciada e atraída, por valores extremos, como pudemos ver no exemplo anterior, referente à renda das famílias dos 9 alunos de uma sala de aula. Daí a necessidade de termos cuidado ao analisar a média de uma variável quando temos valores extremos díspares, ou seja, muito altos ou muito baixos quando comparados aos demais valores da distribuição. MEDIANA A Mediana divide um conjunto ordenado de dados em duas partes iguais, onde a quantidade de observações abaixo dela é igual à quantidade de valores acima dela. Considerando os dados anteriores, relativo à renda das famílias de 9 alunos, em salários mínimos, temos: Posição 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º Variável X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 Valores da variável X observações 4 observações abaixo do valor da mediana acima do valor da mediana Me = 2 salários mínimos Assim, podemos facilmente observar que a mediana é independente dos valores extremos, porque ela só leva em consideração os valores de posição central. Desta forma, o valor 20, muito elevado com relação aos outros, não é levado em consideração na localização da mediana.

5 Passos para encontrar a mediana: Caso nº 1: quando o número de dados é impar. 1. Ordenar os dados em rol (pode ser em ordem ascendente ou descendente, embora seja mais fácil trabalhar quando organizado em ordem ascendente); n 1 2. A posição que a mediana ocupa é calculada: Posição da mediana 2 (onde n corresponde à quantidade de dados envolvidos; no exemplo, temos 9 famílias, portanto, n = 9); 3. O valor da mediana é o valor da variável renda na posição calculada anteriormente. No exemplo: n = 9, logo, portanto, o valor da mediana será o da variável que ocupa a 5ª posição na distribuição dos dados em rol: Me = X5 = 2 Se n fosse igual a 21, então o valor da mediana seria: Me=X11 Se n fosse igual a 49, então o valor da mediana seria: Me=X25 Caso nº 2: quando o número de dados é par. 1. Ordenar os dados em ordem ascendente; 2. A posição que a mediana ocupa estará entre os dois valores centrais; 3. O valor da mediana será a média simples dos valores que ocupam esses lugares: Suponha que, no exemplo anterior, o valor extremo X9 = 20, fosse eliminado. Teríamos, portanto, a seguinte distribuição: Posição 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º Variável X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 Valores da variável X observações 4 observações abaixo do valor da mediana acima do valor da mediana Me = 1,5 salários mínimos Como n = 8, a mediana estará entre o 4º e 5º lugar, ou seja: Me = (X4 + X5)/2 Me = (1 + 2) / 2 Me = 1,5

6 Se n fosse igual a 20, então o valor da mediana será: Me = (X10 + X11)/2 Se n fosse igual a 50, então o valor da mediana será a media de: Me = (X25 + X26)/2 Observe como varia a média e a mediana ao se retirar o valor extremo Valor extremo Média Mediana Com 4 2 Sem 2 1,5 Vejamos algumas características da mediana: É da mesma natureza da variável em análise e deve ser expressa com a unidade de medida dessa variável. Ao descrevermos o peso de alunos, em quilograma (kg), a mediana deverá ser expressa, portanto, em quilogramas (kg). A mediana sempre existe e é única. Não sofre influência de valores extremos, o que consiste em uma vantagem da mediana sobre a média aritmética. Para a mediana, sempre há 50% dos valores acima e 50% dos valores abaixo dela. MODA A Moda é o valor que se repete com a maior frequência, ou os valores que se repetem com a maior frequência, podendo, inclusive, não existir. No exemplo anterior, relativo à renda das famílias de 9 alunos, em salários mínimos, a moda é igual a 1, já que foi o valor que apareceu com a maior freqüência. Mo = 1 salário mínimo. São características da moda: É da mesma natureza da variável em análise. Nem sempre existe e nem sempre é única, existindo distribuições multimodais quando há mais que um valor modal. Pode ser utilizada para variável qualitativa. REFERÊNCIAS BARBETTA, P. A. Estatística aplicada às ciências sociais. 5ªed., Florianópolis: UFSC, p. BUSSAB, W.O; MORETTIN, P.A. Estatística básica. 5 ed., São Paulo: Saraiva, p. CALVO, M. C. M.. Estatística descritiva. Florianópolis: UFSC, p. (apostila). LEVIN, J. Estatística aplicada a ciências humanas. 2 ed., São Paulo: Harbra, p. MEDEIROS, C. A. Estatística aplicada à educação. Brasília: UnB, p.