Plano da Apresentação. Medidas de localização central. Medidas de localização central. Média. Média. Exemplo nota média em Metodologias

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Henrique Espírito Santo Bastos
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1 Metodologia de Diagnóstico e Elaboração de Relatório FASHT Plano da Apresentação Mediana Moda Outras médias: a média geométrica Profª Cesaltina Pires cpires@uevora.pt Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires Quando se tem um conjunto de dados é normal verificarse uma concentração maior dos dados em torno de um certo valor «central» Muitas vezes esse valor «central» é usado como «indicador» do conjunto de dados, é usado para caracterizar os dados. Há várias medidas de tendência central. Tudo depende da forma como «centro» é definido. A palavra médiafaz parte da linguagem comum: O rendimento médio em Portugal é % do rendimento médio na EU. A esperança de vida média em Portugal é de 0 anos A média das notas na disciplina de Metodologia de Diagnóstico em 00 foi. A média é muitas vezes usada como valor «representativo» de um conjunto de dados. Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires Exemplo nota média em Metodologias Aluno Nota Notação A média aritmética (ou simplesmente média) obtêm-se somando x x Variável nota Nº de observações - todas as observações de um conjunto de dados e dividindo essa x soma pelo nº de observações. x x x é: x Total x? x i = Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires

valor «central» é usado como «indicador» do conjunto de dados, é usado para caracterizar os dados. Há várias medidas de tendência central. Tudo depende da forma como «centro» é definido.

2 A média é o centro de «gravidade» da distribuição leva em conta todas as observações A média é o valor tal que há «equilíbrio» entre valores abaixo e valores acima da média. é sensível à presença de valores extremos (outliers) Neste caso, média pode não ser «representativa» Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires Desvios em relação à média Propriedades da média Aluno Soma Nota Desvio em relação à média Os desvios positivos e negativos compensam-se. A soma dos desvios é zero. A média é centro de gravidade Se todas as observações tiverem o mesmo valor, a média é igual a esse mesmo valor. Ou seja, a média de uma constante é a própria constante. Se somarmos uma constante k a cada um dos valores, a média também aumenta k Se multiplicarmos cada um dos valores por uma constante k, a média também vem multiplicada por k A média da soma de duas variáveis é igual à soma das médias Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires 9 Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires 0 Cálculo das médias com dados agregados Cálculo das médias com dados agregados Se tivermos os dados originais, a média deve ser calculada com esses dados. Mas se só tivermos acesso ao dados agrupados (em classes) podemos calcular um valor aproximado da média. A ideia é usar o ponto médio de cada classe como valor representativo daquela classe. Por exemplo, se a classe é entre 0 e 0, o ponto médio é. O ponto médio é igual a (limite inferior da classe + limite superior)/. Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires [,0] [,] [,0] [,] [,0] Total Nº Trabalhadores 9 usando observações originais é. usando dados agregados dá só um valor aproximado da verdadeira média Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires

Pires Desvios em relação à média Propriedades da média Aluno Soma Nota Desvio em relação à média - + - + + 0 - - 0 Os desvios positivos e negativos compensam-se. A soma dos desvios é zero.

3 Mediana Mediana nº ímpar de observações Definição não muito rigorosa: a mediana é o valor da variável que tem tantas observações com valores mais baixos como observações com valores mais elevados (0% das observações têm valores mais baixos que a mediana, 0% das observações tem valores mais altos que a mediana). Para encontrar a mediana temos de começar por ordenar por ordem crescente as observações Grosso modo, a mediana fica no centro das observações (já ordenadas). Por isso se diz que a mediana é o «centro posicional». Dados originais Dados ordenados A nota mediana é, há notas mais baixas que e notas mais altas que. A mediana não é sensível a valores extremos. Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires Mediana nº par de observações Dados originais Dados ordenados Os dois valores centrais são e. Fazendo a média desses valores centrais obtemos a mediana. Recordemos a noção de frequência acumulada. F(c) é a frequência relativa de valores inferiores ou iguais a c. Ou seja, F(c) indica-nos a proporção de observações que tem um valor inferior ou igual a c. A mediana é o valor M tal que F(M) = 0. Se na tabela tivermos calculado frequências relativas acumuladas é fácil identificar a classe mediana.. Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires [,0] [,] relativa Relativa acumulada. 9. A proporção de trabalhadores com 0 anos ou menos é 0.. A proporção de trabalhadores com anos ou menos é 0.9. A proporção de trabalhadores com 0 anos ou menos é 0., a proporção de trabalhadores com anos ou menos é 0.9. Qual é o valor M tal que a proporção de trabalhadores com M anos ou menos é 0.? [,0] [,] [,0] A mediana é maior que 0, mas menor que. A mediana fica algures na classe [,]. Esta é a classe mediana = M M =. Cálculo admite que a proporção de trabalhadores na classe [,] se distribui de forma uniforme nessa classe. Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires

Para encontrar a mediana temos de começar por ordenar por ordem crescente as observações Grosso modo, a mediana fica no centro das observações (já ordenadas).

4 Estatísticas de ordem A mediana é uma estatística de ordem, mas há mais Quartis: º quartil é o valor da variável que tem % das observações com valores º quartil é o valor da variável que tem 0% das observações com valores (onde é que já ouvi isto???) º quartil é o valor da variável que tem % das observações com valores Decis º decil é o valor da variável que tem 0% das observações com valores Percentis... Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires 9 Moda A moda é o valor mais frequente da variável (o que é observado mais vezes) É mais interessante quando nº de observações é grande. Com n pequeno pode nem haver valores repetidos. Como se identifica? Basta olhar para as frequências absolutas ou relativas e ver qual é o valor da variável com maior frequência. Pode haver mais do que uma moda No caso de dados classificados é fácil identificar a classe modal Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires 0 Moda - exemplos Nº pessoas no agregado familiar ou mais Moda = absoluta n i [,0] [,] [,0] [,] [,0] relativa Relativa acumulada Classe modal é [,] Qual das medidas é melhor? A média tem a vantagem de levar em conta todas as observações, não ignora informação. A média tem a desvantagem de ser sensível à presença de outliers. A «melhor medida» depende do nosso objectivo (que informação queremos obter com a medida utilizada) Exemplo: para o professor a nota média pode ser interessante. Para o aluno pode ser mais interessante a nota mediana (saber se está nos 0% melhores alunos, ou nos 0% piores) Exemplo: concurso com 0 vagas e 00 candidatos, a mediana é muito mais importante que a média. Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires Outra média a média geométrica Taxas de crescimento A média geométrica é aplicável quando as variáveis têm um efeito multiplicativo Taxas de crescimento Ano 00 Nº de Acidentes 0000 Crescimento Taxa de crescimento anual Taxas de juro (quando há capitalização) Taxa de inflação Como se deve calcular a taxa de crescimento médio? Ou taxa de juro média? /0000 = 0. (0%) 000/000 = 0.0 (.%) 000/000 = 0. (%) De 00 para 00 o nº de acidentes aumentou 0% Notar que 00 = 000 (+0.) Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires

??) º quartil é o valor da variável que tem % das observações com valores Decis º decil é o valor da variável que tem 0% das observações com valores Percentis.

5 Taxa de crescimento média As taxas de crescimento anuais foram 0%,.% e %. Qual é a taxa de crescimento média? Taxa de crescimento média No caso geral: se for V 0 o valor inicial e V n o valor ao fim de n períodos, a taxa de crescimento média é dada por: É a taxa g tal que se o nº de acidentes aumentasse em cada ano a essa taxa, teríamos o mesmo nº acidentes no final (9000). Ou doutra maneira: se for g a taxa de crescimento no primeiro período, g a taxa de crescimento no segundo período,. A taxa de crescimento médio é: g = 0. A taxa de crescimento média anual foi de.% Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires Metodologias de Diagnóstico Profª Cesaltina Pires

nº de acidentes aumentasse em cada ano a essa taxa, teríamos o mesmo nº acidentes no final (9000).

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