INTRODUÇÃO A ESTATISTICA PROF. RANILDO LOPES

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1 INTRODUÇÃO A ESTATISTICA PROF. RANILDO LOPES

2 DESCRIÇÃO DOS DADOS CONTÍNUOS Trazem informações que expressam a tendência central e a dispersão dos dados. Tendência Central: Média ( x ), Mediana ( Md ), Moda ( Mo ) Medidas de Dispersão: Desvio Padrão, Variância, Amplitude, Coeficiente de Variação, Valor Máximo, Valor Mínimo

3 EXERCÍCIO N o 2 Em uma pesquisa sobre infrações de trânsito foram coletados as seguintes quantidades de multas/dia em uma determinada rodovia: a) Qual foi o tamanho da amostra (n)? b) Qual é o maior e o menor volume de multas/dia? c) Faça o agrupamento de dados por valores distintos. d) Faça o agrupamento em 3 classes.

4 Medidas de tendência central Disciplina de Estatística Retornar

5 MÉDIA 3) Cálculo para agrupamentos em classes x = S fx / n Classes f x fx , ,5 277, ,5 332, , ,5 442,5 Total ,5 S fx = Soma dos produtos dos valores distintos com a frequência n = tamanho da amostra x = 1695,5 x = 67,82 25

6 EXERCÍCIO N o 1 Determine a média, a mediana e a moda para o seguinte conjunto de dados

7 EXERCÍCIO N o 2 Determine o menor valor, o maior valor, a média, a mediana e a moda para o seguinte conjunto de dados

8 EXERCÍCIO N o 3 Dado o seguinte agrupamento em classes determine: Classes f 1,60 1, ,65 1, ,70 1, ,75 1, ,80 1,85 3 Total 68 a) os pontos médios de cada classe b) a classe modal c) a moda bruta d) a classe mediana e) a mediana por agrupamento de classes f) a média por agrupamento de classes

9 EXERCíCIOS 1) Dado o conjunto de dados: a) apresente a disposição em rol; b) o Percentil 50, c) o Primeiro Quartil, d) a Média, e) a Moda e f) a Mediana

10 2) Em uma amostra com 2789 valores qual é a posição do oitavo decil, da mediana, do segundo decil, do terceiro quartil e do segundo quartil?

11 Medidas de dispersão

12 DISPERSÃO DOS DADOS É frequentemente chamada de variabilidade. Medidas mais comuns: Variância, Desvio Padrão, Amplitude e Coeficiente de Variação f Dispersão dos dados na amostra Dispersão dos dados na população x

13 Dispersão na População É uma forma de se ver o quanto os dados se afastam da média. Exemplo: Vilarejo com apenas 11 pessoas 135cm 152cm 136cm 152cm 138cm 157cm 141cm 163cm 143cm 170cm 152cm Média = 149cm Mediana e Moda = 152cm Valor Máximo = 170cm Valor Mínimo = 135cm Amplitude = 35cm Alturas de 11 pessoas

14 Dispersão na População Alturas (N=11) x - x (x - x) 2 135cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm Total 1314 s 2 Variância = 1314 / 11 = 119,454 cm 2 s Desvio Padrão = 119,454 = 10,92 cm Soma dos desvios quadráticos

15 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO NA POPULAÇÃO Variância da população s 2 = S ( x - x ) 2 / N Desvio Padrão da população = Raiz quadrada da variância s s 2 Como a dispersão nas amostras é menor do que na população, se faz um ajuste matemático.

16 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO NA AMOSTRA Variância da Amostra ( s 2 ou v ) s 2 = S ( x - x ) 2 / ( n -1 ) Desvio Padrão da amostra ( s ou DP ) = Raiz quadrada da variância s s 2 A dispersão nas amostras é menor do que na população, por isso é que se faz este ajuste matemático

17 Desvio-padrão Definição: Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão. Assim, o desvio padrão de uma variável X cujos valores são x1, x2,..., xn, é dada por DP V ( x MA) ( x MA)... ( x MA) n n O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for seu valor maior será a dispersão dos dados da amostra. Exemplo:

18 DESVIO PADRÃO SIGNIFICADO: É um modo de representar a dispersão dos dados ao redor da média. f Média x

19 DESVIO PADRÃO A curva A mostra uma dispersão dos dados maior do que a curva B, logo o desvio padrão de A é maior do que o de B. f Curva A f Curva B Média x Média x

20 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO O desvio padrão depende da unidade de medida usada, assim um desvio medido em dias será maior do que um medido em meses. O coeficiente de variação expressa o desvio-padrão como porcentagem do valor da média. COEF. VARIAÇÃO = 100. DESVIO PADRÃO MÉDIA Quanto menor for este coeficiente mais homogênea é a amostra.

21 Variância Definição: Define-se a variância(v) como sendo a medida que se obtém somando os quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número de observações da amostra. Assim, se as n observações de uma variável X são x1, x2,..., xn, a variância é V n 2 ( xi MA) i 1 ( x1 MA) ( x2 MA)... ( xn MA) n onde M A x x x n n n é a média aritmética das observações

22 Observação: A variância de uma amostra é mais comumente definida como acima, mas substituindo o denominador por n-1 (isto é feito para que ela seja um estimador não enviesado da verdadeira variância da população). Para amostras grandes, ambas as expressões dão praticamente o mesmo resultado.

23 Desvio-padrão Definição: Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas unidades que os dados, tomamos a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão. Assim, o desvio padrão de uma variável X cujos valores são x1, x2,..., xn, é dada por DP V ( x MA) ( x MA)... ( x MA) n n

24 O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for seu valor maior será a dispersão dos dados da amostra. Exemplo:

25 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO Classificação da proporção que o desvio padrão apresenta sobre a média. GRAU DE HOMOGENEIDADE DOS DADOS até 10% ÓTIMO de 10% a 20% BOM de 20% a 30% REGULAR acima de 30% RUIM

26 EXERCÍCIOS 1) Determine a média, a amplitude, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da seguinte amostra de dados:

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28 APLICAÇÕES DE AMOSTRAGEM Pesquisa Mercadológica (Índice de satisfação na população) Pesquisa Epidemiológica (Prevalência de uma doença na população) Pesquisa Eleitoral (Percentagem de votos para cada candidato) Perfil Socioeconômico da População (Grau de escolaridade, Renda) População Na População Na Amostra Parâmetros Estatísticas Amostra Inferência Estatística

29 POR QUE USAR A AMOSTRAGEM? Economia (É mais barato levantar dados de uma parcela da população) Tempo (É mais rápido) QUANDO NÃO USAR A AMOSTRAGEM? Quando a população for pequena (n > 0,8.N) Quando a característica for de fácil mensuração (Sim ou Não) Quando houver a necessidade de alta precisão (Censo IBGE)

30 TIPOS DE AMOSTRAGEM AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES (Tem que obedecer a propriedade de qualquer elemento da população ter a mesma chance de pertencer à amostra. Pode-se utilizar uma tabela de números aleatórios ou sorteios) AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SISTEMÁTICA (Após obter-se a lista dos elementos da população, sorteia-se a entrada e segue-se a relação N/n.) AMOSTRAGEM ALEATÓRIA ESTRATIFICADA (Elabora-se a amostra através do perfil conhecido da população. Exemplo: Se na UFSC 70% são alunos e 30% Funcionários, a amostra é confeccionada obedecendo-se estes parâmetros.)

31 OUTROS TIPOS DE AMOSTRAGEM AMOSTRAGEM NÃO ALEATÓRIA (De fácil obtenção.) AMOSTRAGEM PARA ESTUDOS COMPARATIVOS (Não visa a descrição de uma população, mas a comparação entre grupos diferentes. Exemplos: Comparar as taxas de tabagismo em indivíduos com câncer de pulmão e sadios.) Procure respeitar o Plano de Amostragem para que seja alcançada uma amostra representativa da população.

32 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA (n) Fórmula Genérica Sejam: n 0 = Primeira aproximação para o tamanho da amostra e = Erro Amostral Tolerável (exemplo: 0,05) n = Tamanho da Amostra N = Tamanho da População n 0 = 1 / e 2 n = (N. n 0 ) / (N + n o )

33 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA (n) Fórmula para variável quantitativa, desvio conhecido e população infinita Sejam: n = Tamanho da Amostra z = Nível de confiança expresso em desvio padrão (95%) = 1,96 s = Desvio padrão da população e = Erro do estudo expresso na mesma unidade do desvio padrão n = (z. s /e) 2

34 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA (n) Fórmula para variável quantitativa, desvio desconhecido e população infinita Sejam: n = Tamanho da Amostra z = Nível de confiança expresso em desvio padrão (95%) = 1,96 s = Desvio padrão de uma amostra previamente selecionada e = Erro do estudo expresso na mesma unidade do desvio padrão n = (z. s/e) 2

35 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA (n) Fórmula para variável quantitativa, desvio conhecido e população finita Sejam: n = Tamanho da Amostra z = Nível de confiança expresso em desvio padrão (95%) = 1,96 s = Desvio padrão população e = Erro do estudo expresso na mesma unidade do desvio padrão N = Tamanho da População n = z 2. s 2. N z 2. s 2 + e 2. (N-1)

36 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA (n) Fórmula para variável quantitativa, desvio desconhecido e população finita Sejam: n = Tamanho da Amostra z = Nível de confiança expresso em desvio padrão (95%) = 1,96 s = Desvio padrão uma amostra previamente selecionada e = Erro do estudo expresso na mesma unidade do desvio padrão N = Tamanho da população n = z 2. s 2. N z 2. s 2 + e 2. (N-1)

37 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA (n) Populações infinitas com proporção conhecida n = z 2. p. (1-p)) e 2 Onde: n= Tamanho da Amostra z = Nível de confiança expresso em desvio padrão (95%) = 1,96 e = Erro Amostral Tolerável expresso em proporção (exemplo: 0,05) p = Proporção do evento na População (prevalência de um evento)

38 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA (n) Populações finitas com proporção conhecida n = (N. z 2. p. (1-p)) (e 2. (N-1) + z 2. p. (1-p)) Onde: n = Tamanho da amostra N = Tamanho da População z = Nível de confiança expresso em desvio padrão (95%) = 1,96 e = Erro Amostral Tolerável expresso em proporção (exemplo: 0,05) p = Proporção do evento na População (prevalência de um evento)

39 RELAÇÃO ENTRE (n) E (N) Relação entre o tamanho da população e o tamanho da amostra n N

40 EXERCÍCIOS 1) Determine o tamanho da amostra para uma pesquisa eleitoral em uma cidade com eleitores, adotando uma margem de erro de 2 pontos percentuais. Utilize a fórmula genérica.

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42 TABELAS Tabela é a forma não discursiva de apresentar informações, das quais o dado numérico se destaca como informação central. Uma tabela estatística conterá necessariamente uma série ou uma distribuição de frequência. Vantagens: - Permitem a síntese dos resultados; - Auxiliam o pesquisador na análise dos dados e - Facilitam a compreensão das conclusões do autor.

43 NORMAS PARA A CONFECÇÃO DE TABELAS São numeradas consecutivamente com algarismos arábicos; Os números são precedidos da palavra Tabela ; No topo deve estar o título que indica a natureza e as abrangências geográficas e temporal dos dados numéricos; O centro da tabela é representado por uma série de colunas e subcolunas onde são alocados os dados; No rodapé deve-se colocar a fonte (o responsável pelos dados) e opcionalmente uma nota geral ou uma nota específica; A moldura deve conter no mínimo 3 traços horizontais; Não se deve fechar uma tabela com traços verticais em suas extremidades.

44 CLASSIFICAÇÃO DAS TABELAS Distribuição de Frequência

45 Séries Cronológicas (Temporais ou Históricas) Tabela 1: Prevalência da Doença X na Cidade Y Anos Percentual (%) , , , ,45 Fonte: Hipotética

46 Séries Geográficas (Territoriais) Tabela 2: Prevalência da Doença X no Ano de 2003 Cidades Percentual Itajaí 10,44 Lages 29,45 Florianópolis 8,66 Blumenau 9,82 Fonte: Hipotética

47 Séries Especificativas Tabela 3: Prevalência da Doença X no Ano de 2003 em Florianópolis Segmento populacional Percentual Crianças 60,25 Jovens 20,72 Adulto 2,75 3a Idade 5,82 Fonte: Hipotética

48 Séries Mistas (Ex: Especificativa-Cronológica-Geográfica) Tabela 4: Vendas de alguns produtos por ano e cidade (milhares) Produtos Fpolis Lages Fpolis Lages Cosméticos 24,24 9,34 25, Vestuário 112,72 27,45 111,75 29,48 Audio 86,75 18,45 79,37 19,57 Video 1,95 0,85 2,01 0,84 Fonte: Hipotética

49 Distribuições de Frequência Tabela 5: Distribuição de frequência dos pesos corporais de uma amostra (valores em quilogramas) Pesos Frequência Frequência Acumulada Total Fonte: Hipotética

50 GRÁFICOS Gráfico é a forma geométrica de apresentação dos dados e respectivos resultados de sua análise. A escolha do modelo ideal de representação gráfica depende das preferências e do senso estético do elaborador. Vantagens: - Permitem a síntese dos resultados; - Auxiliam o pesquisador na análise dos dados e - Facilitam a compreensão das conclusões do autor.

51 NORMAS PARA A CONFECÇÃO DE GRÁFICOS Deve facilitar a interpretação dos dados para um leigo; Não há a necessidade de se colocar título se estiver na mesma página da tabela correspondente; Há a necessidade de se colocar o título se a tabela correspondente não estiver na mesma página. O senso estético individual determina o espaço do gráfico (L x A); As colunas, barras, linhas e áreas gráficas devem ser ordenadas de modo crescente ou decrescente, mas a ordem cronológica prevalece;

52 ORIGEM DOS GRÁFICOS O diagrama cartesiano é a figura geométrica que deu origem à técnica de construção de gráficos estatísticos. Utiliza-se o primeiro quadrante do sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais. Ordenadas (eixo y) 1 o Quadrante Abscissas (eixo x) Eixo y Frequências Eixo x Valores da Variável

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