ESTATÍSTICA. PROF. RANILDO LOPES U.E PROF EDGAR TITO

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1 ESTATÍSTICA PROF. RANILDO LOPES U.E PROF EDGAR TITO 1

2 ESTATÍSTICA MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL MEDIDAS DE DISPERSÃO 2

3 Estatística ELEMENTOS TÍPICOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO: Medidas de posição Medidas de variabilidade ou dispersão 3

4 Medidas de Tendência Central É um valor calculado para um grupo de dados usado para descrever esses dados. Tipicamente, desejamos que o valor seja representativo de todos os valores do grupo os dados observados tendem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. 4

5 Medidas de Tendência Central São Medidas de Tendência Central: 1. média; 2. mediana; 3. moda 5

6 1 - MÉDIA ARITMÉTICA definida como a soma dos valores dividida pelo número de elementos. Sua aplicação é seguramente a mais usada podem ser: Média para dados simples Média para dados agrupados Média para dados agrupados em classes. 6

7 1.1. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS SIMPLES amostra: (X) população: Exemplo: Dado um a idade de 5 crianças Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 12 média - x = X = x i n sendo n o número de elementos Assim: X = 40 = 8 5 Portanto a idade média dessas 5 crianças é 8 anos. 7

8 1.1. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS SIMPLES amostra: (X) população: Exemplo: Notas de 20 alunos: X i : 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9 X = X = =

9 1.2. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA) amostra: (X) população: Quando o conjunto de dados para os quais precisamos calcular a média é mais extenso, temos a necessidade de agrupar os dados. Assim, a média desse grupo é calculado da seguinte forma: X = (Xi. fi ) fi 9

10 1.2. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA) amostra: (X) população: X i f i Xi. fi X = X i. f i f i X = 78 = 3, Fonte: dados fictícios 10

11 1.3. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES amostra: (X) população: IDADE DE ALUNOS X i PM fi PM.fi = = = = = 9 total Fonte: Dados fictícios X = (PM. F i ) X = 84 X = 4,2 f i 20 11

12 2 MEDIANA ( X ) É o valor que se localiza no centro da distribuição é obtida a partir de seus valores centrais Pode ser: 2.1 MEDIANA PARA DADOS SIMPLES 2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS 2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES INTERVALARES 12

13 ~ 2.1 MÉDIANA PARA DADOS SIMPLES (X) Há duas situações: 1) Quando o número de elementos pesquisados é ímpar X i Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 12 Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª n o número de elementos ímpar Uma posição central - P ~ P = n +1 P = = 3ª posição => Xi = 8, portanto X = posição central 13

14 ~ 2.1 MÉDIANA PARA DADOS SIMPLES (X) 2) Quando o número de elementos pesquisados é par X 1 X 2 Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 10; 12 Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª n = 6 número PAR de elementos Duas posições centrais - P 1 e P 2 P 1 P 2 (2 Posições centrais) ~ P 1 = n P 1 = 6 = 3ª posição => X 1 = 8, X = X 1 + X 2 = P 2 = é a próxima P 2 = 4ª posição => X 2 = 10, ~ X = 9 14

15 2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS 1)Quando o nº de elementos é IMPAR Xi fi fac nº de elementos = fi = 19 (ímpar) uma posição central P = fi +1 = P = 10ª posição

16 2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS Xi fi fac Σ 19 Xi posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª Xi posição 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª 14ª Xi posição 15ª 16ª 17ª 18ª 19ª 16

17 2.2. MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS 1) Quando o nº de elementos é IMPAR Xi fi fac P = 10ª posição X i = ~ X =

18 2.2 MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS 2)Quando o nº de elementos é PAR Xi fi fac nº de elementos = fi = 20(par) duas posição centrais P1 = fi = 20 = 10ª posição P2 = é a próxima= 11ª posição

19 2.2 MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS 2)Quando o nº de elementos é PAR Xi fi fac P 1 = 10ª posição P 2 = 11ª posição X 1 = X 2 = X = (X 1 + X 2 ) = ~ - 20 X = 5 19

20 2.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES Xi PM fi fac total º passo: ACHAR A POSIÇÃO CENTRAL P P = Fi P = 23 P = 11,5º posição 2 2 2º passo: IR NA COLUNA freqüência acumulada = fac E LOCALIZE A CLASSE MEDIANA 20

21 2.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES l i l s Xi PM fi fac faa total º passo: ACHAR A POSIÇÃO CENTRAL P P = Fi P = 23 P = 11,5º posição 2 2 2º passo: IR NA COLUNA freqüência acumulada = fac E LOCALIZE A CLASSE MEDIANA 21

22 2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES l i l s Xi PM fi fac faa Posição central total > P = 11,5º posição Limite inferior da classe -> l i = 2 Limite superior da classe -> l s = 4 Amplitude da classe -> h = l s - l i = 4 2 = 2 Freqüência da classe -> f i = 10 Freqüência acumulada anterior -> faa = 3 X ~ = li ~ X= P - faa. h fi 11,

23 2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES l i l s Xi PM fi fac faa total X ~ = 2 + 8, ~ X = 2 + 0,85. 2 ~ X = 2 + 1,70 ~ X = 3,70 23

24 ^ 2 MODA ( X ) É o ponto de maior concentração de ocorrências de uma variável Coincide com o conceito vulgar da palavra, isto é, o que ocorre com maior freqüência 24

25 ^ 2.1 MODA PARA DADOS SIMPLES ( X ) Exemplo: Idade de 20 alunos: X i : 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9 O valor que apareceu maior número de vezes é o 5 ^ portanto => X = 5 25

26 ^ 2.2 MODA PARA DADOS AGRUPADOS ( X ) X i = Xi fi Maior valor de fi ^ X i = 5 26

27 2.3. MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES MODA DE CZUBER - ^ Xcz Xi PM fi total fmax 1º passo: Achar a classe onde se encontra a maior freqüência - fmax 27

28 ^ 2.3. MODA DE Czuber - XCZ l i l s Xi PM fi total Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => f max = 10 Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => f ant = 3 f ant Amplitude da classe=> h = ls li = 4 2 = 2 f pos f max freqüência posterior => f post = 6 1 = fmax fant = 10 3 = 7 2 = fmax fpost = 10 6 = 4 28

29 ^ 2.3. MODA DE Czuber - XCZ Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => f max = 10 Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => f ant = 3 Amplitude da classe=> h = ls li = 4 2 = 2 Cálculo da moda de Czuber ^ Xcz = li + 1. h ^ freqüência posterior => f post = 6 1 = fmax fant = 10 3 = 7 2 = fmax fpost = 10 6 = 4 Xcz = = 2 + _7_. 2 = = 2 + 1,3 = 3,

30 ^ 2.3. MODA DE KING - Xki l i l s Xi PM fi total Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => f max = 10 Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => f ant = 3 f ant Amplitude da classe=> h = ls li = 4 2 = 2 f pos f max freqüência posterior => f post = 6 30

31 ^ ^ ^ 2.3. MODA DE KING - Xki Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => f max = 10 Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => f ant = 3 Amplitude da classe=> h = ls li = 4 2 = 2 Cálculo da moda de KING Xki = li + fpost. h fant + fpost freqüência posterior => f post = 6 Xcz = = = = 2 + 1,3 = 3,

32 ^ 2.3. MODA DE Pearson - Xpe Cálculo da moda de PEARSON ^ ~ Xpe = 3. X _ - 2. X Exemplo: Em um levantamento de dados onde a Mediana = X = 4 ~ ^ e a Moda = X = 4,2 A moda de Pearson será: ^ X = ,2 = 12 8,4 ^ X = 3,6 32

33 Outras separatrizes A Mediana divide a distribuição em duas partes. É o atributo que está no meio da distribuição: 50% dos valores acima da mediana 50% dos valores abaixo da mediana 33

34 Outras separatrizes QUARTIS ou QUARTILHOS o Quartil divide a distribuição em 4 partes de igual freqüência. Seu cálculo é importante para as medidas de dispersão e variabilidade São três: 34

35 Outras separatrizes São três: Quartil Q1 = quartil inferior ou primeiro quartil. Tem 25% da distribuição abaixo de si Q2 = é a mediana ou quartil mediano Q3 = quartil superior ou terceiro quartil. Tem 75% da distribuição abaixo de si 35

36 Quartil 1º quartil - Q1 = assume a posição P1q = Σfi 4 2º quartil Q2 = assume a posição P2q = 2. Σfi 4 3º quartil - Q3 = assume a posição P3q = 3.Σfi 4 36

37 1º QUARTIL Q1 Xi PM fi fac total º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO PRIMEIRO QUARTIL P1q P 1q = Fi P1q = 23 P 1q = 5,75º posição 4 4 2º passo: IR NA COLUNA freqüência acumulada = fac E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O PRIMEIRO QUARTIL Q1 37

38 1º QUARTIL Q1 l i l s Xi PM fi fac faa total Posição 1º quartil Limite inferior da classe -> l i = 2 Limite superior da classe -> l s = 4 -> P 1q = 5,75º posição Amplitude da classe -> h = l s - l i = 4 2 = 2 Freqüência da classe -> f i = 10 Freqüência acumulada anterior -> faa = 3 Q1 = li Q1 = P 1q - faa. h fi 5,

39 1º QUARTIL Q1 l i l s Xi PM fi fac faa total Q1 = 2 + 2, Q1 = 2 + 0,55 Q1 = 2,55 39

40 3º QUARTIL Q3 Xi PM fi fac total º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO TERCEIRO QUARTIL P3q P 3q = 3. Fi P 3q = P 3q = 17,25º posição 4 4 2º passo: IR NA COLUNA freqüência acumulada = fac E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O TERCEIRO QUARTIL Q3 40

41 3º QUARTIL Q3 l i l s Xi PM fi fac faa Posição central total Limite inferior da classe -> l i = 4 Limite superior da classe -> l s = 6 -> P 3q = 17,25º posição Amplitude da classe -> h = l s - l i = 6 4 = 2 Freqüência da classe -> f i = 6 Freqüência acumulada anterior -> faa = 13 Q3 = li Q3 = P 3q - faa. h fi 17,

42 3º QUARTIL Q3 l i l s Xi PM fi fac faa total Q3 = 4 + 4, Q3 = 4 + 0,65 Q3 = 4,65 42

43 Outras separatrizes Decil Dividem a distribuição em 10 partes de igual freqüência. São nove o quinto decil é a mediana. 43

44 Decil 1º decil - D1 = assume a posição P1d= Σfi 10 2º decil D2 = assume a posição P2d = 2. Σfi 10 9º decil - D9 = assume a posição P9d = 9.Σfi 10 44

45 1º DECIL D1 Xi PM fi fac total º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO PRIMEIRO DECIL P 1d P 1d = Fi P1d = 23 P 1d = 2,3º posição º passo: IR NA COLUNA freqüência acumulada = fac E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O PRIMEIRO DECIL D1 45

46 1º DECIL D1 l i l s Xi PM fi fac faa total Posição 1º DECIL Limite inferior da classe -> l i = 0 Limite superior da classe -> l s = 2 -> P 1d = 2,3º posição Amplitude da classe -> h = l s - l i = 2 0 = 2 Freqüência da classe -> f i = 3 Freqüência acumulada anterior -> faa = 0 D1 = li D1= P 1d - faa. h fi 2,

47 1º DECIL D1 Xi PM fi fac total D1 = 0 + 2, D1 = 1,53 47

48 9º DECIL D9 Xi PM fi fac total º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO NONO DECIL P 9d P 9d = 9. Fi P 9d = P 9d = 20,70º posição º passo: IR NA COLUNA freqüência acumulada = fac E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O NONO DECIL D9 48

49 9º DECIL D9 l i l s Xi PM fi fac faa Posição central total Limite inferior da classe -> l i = 6 Limite superior da classe -> l s = 8 -> P 9d = 20,7º posição Amplitude da classe -> h = l s - l i = 8 6 = 2 Freqüência da classe -> f i = 3 D9 = li D9 = P 9d - faa. h fi 20, Freqüência acumulada anterior -> faa = 19 49

50 9º DECIL D9 Xi PM fi fac faa total D9 = 6 + 1, D9 = 6 + 1,13 D9 = 7,13 50

51 Outras separatrizes Centil ou Percentil Dividem a distribuição em 100 partes de igual freqüência. São noventa e nove o qüinquagésimo centil é a mediana. 51

52 Percentil - Ci 1º percentil - 2º percentil C1 = assume a posição P1c= Σfi 100 C2 = assume a posição P2c = 2. Σfi ºpercentil - C99 = assume a posição P99c =99.Σfi

53 10º PERCENTIL C10 Xi PM fi fac total º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO DÉCIMO PERCENTIL P 10c P 10c = 10. Fi P 10c = P 10c = 2,3º posição º passo: IR NA COLUNA freqüência acumulada = fac E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O Décimo Percentil C10 53

54 10º PERCENTIL C10 l i l s Xi PM fi fac faa total Posição 10º percentil Limite inferior da classe -> l i = 0 Limite superior da classe -> l s = 2 -> P 10c = 2,3º posição Amplitude da classe -> h = l s - l i = 2 0 = 2 Freqüência da classe -> f i = 3 Freqüência acumulada anterior -> faa = 0 C10 = li C10 = P 10c - faa. h fi 2,

55 10º PERCENTIL C10 Xi PM fi fac total C10 = 0 + 2, C10 = 1,53 55

56 90º percentil C90 Xi PM fi fac total º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO NONAGÉSIMO PERCENTIL P 90c P 90c = 90. Fi P 90c = P 90c = 20,70º posição º passo: IR NA COLUNA freqüência acumulada = fac E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O nonagésimo percentil C 90 56

57 90º PERCENTIL C90 l i l s Xi PM fi fac faa Posição central total Limite inferior da classe -> l i = 6 Limite superior da classe -> l s = 8 -> P 90c = 20,7º posição Amplitude da classe -> h = l s - l i = 8 6 = 2 Freqüência da classe -> f i = 3 C90 = li C90 = P 90c - faa. h fi 20, Freqüência acumulada anterior -> faa = 19 57

58 90º PERCENTIL C90 Xi PM fi fac total C90 = 6 + 1, C90 = 6 + 1,13 C90 = 7,13 58

59 Relações Quartil Decil Percentil Mediana D 1 = C 10 Q 1 = = C 25 ~ Q 2 = D 5 = C 50 = X Q 3 = = C 75 D 9 = C 90 59

60 Outras médias MÉDIA DE INTERVALO É a média entre a menor e a maior observação em um conjunto de dados. Média de Intevalo = X MENOR + X MAIOR MÉDIA DAS JUNTAS ou Midhinge É a média entre o primeiro e o terceiro quartil. 2 Midhinge = Q 1 + Q

61 Medidas de Dispersão As Medidas de Tendência Central: representam de certa forma uma determinada distribuição de dados só elas não são suficientes para caracterizar a distribuição. Para uma análise estatística mais exata é necessária a verificação da flutuação dos valores em torno de sua média aritmética 61

62 Medidas de Dispersão Suponha as notas de 2 grupos de estudantes, cada qual com 5 alunos. GRUPO A : 4, 5, 5, 6 GRUPO B : 0, 0, 10, 10 Média do grupo A : 5 Média do grupo B : 5 62

63 Medidas de Dispersão Os dois grupos apresentam a mesma média O comportamento dos 2 grupos são bem distintos. GRUPO A : valores são mais homogêneos GRUPO B : valores são dispersos em relação à média 63

64 Medidas de Dispersão Dentre as medidas de dispersão pode-se citar algums delas: a) Amplitude Total b) Amplitude Interquartil c) Desvio Quartílico ou Amplitude Semi-interquartílico d)desvio Médio e) Variância f) Desvio Padrão 64

65 a) Amplitude Total - R é a diferença entre o maior e o menor valor observados. R = Limite superior - Limite Inferior Exemplo 5: Idade de 20 alunos: X i : 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9 R = 9 1 = 8 65

66 b) Amplitude Interquartil AIQ ou IQR ( InterQuartile Range ) é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil. AIQ ou IQR = Q 3 - Q 1 Supera a dependência dos valores extremos Abrange 50% dos valores centrais, eliminando os 25% dos valores mais baixos e os 25% dos valores mais altos 66

67 c) Desvio Quartílico ou Amplitude Semi-interquartílico é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil. Dq = Q 3 - Q

68 d) Desvio Médio - DM é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil. Para uma amostra DM = Σ Xi X_ n - 1 Sendo: DM = Desvio Médio Xi = vr. variável n = nº elementos X = média aritmética

69 d) Desvio Médio - DM Para uma população DM = Σ Xi _ n Sendo: DM = Desvio Médio Xi = vr. variável n = nº elementos = média aritmética

70 d) Desvio Médio - DM Exemplo 6: Dado o levantamento: Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10 a) Calcule a média X = Σ Xi 40 = = 4 n 10 b) Montar a tabela a seguir:

71 d) Desvio Médio - DM Xi Xi - x Xi x = = = = Σ Xi x_ = DM = = n = = 0 0 DM = 1, = = = 6 6 Σ 14 Considerando uma amostra 14 9

72 e) Variância população: 2 amostra: s 2 é a média dos quadrados dos afastamentos entre as os valores da variável e sua média aritmética Revela a dispersão do conjunto que se estuda

73 e) Variância população: 2 amostra: s 2 Para uma amostra s 2 = Σ (Xi X ) 2 _ n - 1 Sendo: s 2 = variância amostra Xi = vr. variável n = nº elementos X = média aritmética

74 e) Variância população: 2 amostra: s 2 Para uma população 2 = Σ (Xi ) 2 _ n Sendo: 2 = variância população Xi = vr. variável n = nº elementos = média aritmética

75 d.1) Variância - 2 dados simples Exemplo 7: Dado o levantamento: Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10 a) Calcule a média X = Σ Xi 40 = = 4 n 10 b) Montar a tabela a seguir:

76 d.1) Variância - s 2 dados simples Xi Xi - x ( Xi x ) = = = = = = = = 1 Σ ( Xi x ) = = 1 s 2 = n = = 0 = = = = = 0 s 2 = = 5, = = = = 36 Σ 48

77 d.2) Variância - s 2 dados agrupados Xi f i Xi. f i Xi - x ( Xi x ) 2 ( Xi x ) 2. f i = = -2 (-2) 2 = = = = -1 (-1) 2 = = = = = = = = = = = = = = 36 Σ fi = 10 Σ fi = 40 Σ fi = 48 s 2 = se amostra Σ ( Xi x ) 2. fi Σ fi s 2 = = 5,33

78 d.2) Variância - s 2 dados agrupados em classes X i PM fi PM.fi PM-x ( PM x ) 2 ( PM x ) 2.f i = 2 1-5= -4 (-4) 2 = = = = -2 (-2) 2 = = = = = = = = 2 (2) 2 = = = 9 9-5= 4 (4) 2 = = 16 total s 2 = 4,4 X = Σ ( PM.fi) = 105 Σ fi 21 s 2 = Σ ( PM x ) 2. fi = Σ fi - 1 s 2 = X =

79 d) Desvio Padrão Por definição, é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios para uma população = 2 para uma amostra s = s 2 É a mais utilizada Revela a dispersão do conjunto que se estuda

80 e) Desvio Padrão - ou s Se todos os valores forem iguais, o desvio padrão é nulo. quanto maior o desvio padrão mais heterogênea é a distribuição, significa que os valores são mais dispersos em torno da média MEDIA ± 1 => 68,26% dos valores MEDIA ± 2 => 95,44% dos valores MEDIA ± 3 => 99,74% dos valores

81 f) Coeficiente de Variação - CV CV = - desvio padrão X X - média artitmética o CV mede o grau de heterogeneidade da distribuição Valor máximo é CV = 1 0 CV 1 81

82 Coeficiente de Variação - CV Quanto mais próximo de 1: mais heterogênea é a distribuição Os valores estão mais dispersos Quanto mais próximo de 0: mais homogênea é a distribuição Os valores da variável estão mais próximos em torno da média 82

83 Coeficiente de Variação - CV Ex: Dado 2 estudantes cujas notas bimestrais foram: a : 60; 40; 50; 50 b : 70; 70; 30; 30 Qual foi mais regular? 83

84 f) Coeficiente de Variação - CV Na comparação de variabilidade de dois ou mais conjuntos de dados: 1. expressos em diferentes unidades de medida 2. expressos nas mesmas unidades, mas com médias diferentes. 84

85 f) Coeficiente de Variação - CV Comparação de valores expressos em diferentes unidades de medida Exemplo 8: Deseja-se comparar qual grandeza varia mais: PESO ou COMPRIMENTO X PESO = 20 kg PESO = 2 kg X COMPRIMENTO = 50 metros COMPRIMENTO = 4 metros 85

86 f) Coeficiente de Variação - CV CVP = PESO X PESO CVP = 2 20 CVP = 0,10 CVC = COMPRIMENTO X COMPRIMENTO CVC = 4 50 CVC = 0,08 CVPESO = 0,10 CV COMPRIMENTO = 0,08 PESO varia mais que o comprimento 86

87 f) Coeficiente de Variação - CV expressos nas mesmas unidades, mas com médias diferentes Exemplo 9: Deseja-se comparar qual grupo A ou B tem mais variação de rendimento em um processo: X A = 80 % X B = 50 % A = 2 % B = 1 % 87

88 f) Coeficiente de Variação - CV A CVA = XA CVP = 2 80 CVA = 0,025 CVB = B X B CVB = 1 50 CVB = 0,020 CVA = 0,025 CV B = 0,020 O rendimento do Produto A varia mais que o rendimento do produto B no decorrer do processo 88

89 RANILDO LOPES Estatística 89

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