Medidas de Dispersão Prof. Walter Sousa
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1 Estatística Medidas de Dispersão Prof. Walter Sousa
2 MEDIDAS DE DISPERSÃO São indicadores do grau de concentração ou dispersão dos dados. AMPLITUDE TOTAL(Range) DESVIO MÉDIO VARIÂNCIA DESVIO PADRÃO COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
3 AMPLITUDE TOTAL(R) É a diferença entre o maior e o menor valor observado. Não é uma boa medida de dispersão, pois não indica o grau de afastamento dos valores intermediários. Exemplos a) X {10, 1, 18, 0, 35, 3, 7, 15, 11, 10} b) Rx = 35 1 = 34 Rx = 1 = 10
4 DESVIO MÉDIO ABSOLUTO(DM) É a média aritmética dos desvios absolutos (em módulo) de cada elemento da sequência em relação a média(xx ) da sequência. Obs: desvio tem o mesmo sentido que distância.
5 DADOS NÃO AGRUPADOS DM = n d i Idades { , 7} d i = x x é o desvio Idades dddd = xx XX dddd = = = = Total 6 DM = di n = 6 4 = 1,5
6 DADOS AGRUPADOS DM x = di fi fi fi = ( xi x) fi xi xi fi di = xi x di fi = = = = 4 Total = x fi fi = 40 = 0 fi DM d i = di fi fi = 16 0 = 0,8
7 VARIÂNCIA É a média aritmética dos quadrados dos desvios de cada elemento da sequência em relação a média(xx ) da sequência. Em particular, para estas medidas levaremos em consideração o fato de a sequência de dados representar toda uma população ou apenas uma amostra de uma população.
8 VARIÂNCIA para dados não agrupados a) POPULAÇÃO σσ (x) = (dddd) NN = (xx ii XX ) NN b) AMOSTRAL : dividir por n-1 (graus de liberdade) σσ (x) = (dddd) = (xx ii XX ) nn 1 nn 1
9 (ESAF/ATRF/01) A variância da amostra formada pelos valores, 3, 1, 4, 5 e 3 é igual a a) 3. b). c) 1. d) 4. e) 5.
10 VARIÂNCIA PARA DADOS AGRUPADOS(Sem classes) a) POPULAÇÃO σ di fi ( xi x) = = fi fi b) AMOSTRA fi σ = di fi fi 1 = ( xi x) fi 1 fi
11 EXEMPLO (POPULAÇÃO) fi xi fi d = xi x i di di fi = xi 6 1 = = = 4 8 Total x fi 40 x = = σ = = = 1 fi 0 fi 0 = di fi 0
12 EXEMPLO (Amostra) xi fi d xi x fi i di di = xi = fi 6 1 = = = 4 8 Total x fi 40 = = x di fi 0 0 S = = = 1, 05 fi 0 fi =
13 DADOS AGRUPADOS (com classes) σ di fi ( xi x) = = fi fi fi Classes fi Pm(xi) xi fi d i di = = xi x di fi = = = = Total x = x fi fi 18 = = 6 7 σ = di fi fi = ,3
14 VARIÂNCIA DADOS AGRUPADOS (com classes) S = di fi fi 1 = ( xi fi 1 Classes fi Pm(xi) xi fi d i di = = xi x di fi = = = = x) Total fi x = x fi fi 18 = = 6 7 σ = di fi fi 1 = 136 5,44 6 1
15 FÓRMULAS AUXILIARES PARA VARIÂNCIA Casos em que a média é valor não inteiro (principalmente dízimas) Variância da população é média (Esperança) dos quadrados menos o quadrado da media (Esperança). σσ = EE xx EE(xx) EE xx = xx nn (média dos quadrados) EE xx = xx (média) nn Obs: para obter a variância da amostra, multiplique σσ por nn nn 1 no final.
16 Idades { 3, 4, 6, 7} variância populacional x x x = 0 x =110 EE xx = xx = 110 = 7,50 nn 4 EE xx = xx = 5 nn σσ = EE xx EE xx = 7,5 5 σσ =,5
17 DESVIO PADRÃO (σσ oooo SS) É a raiz quadrada da variância. O desvio-padrão indica uma medida de dispersão absoluta. VARIÂNCIA 144 m 5 mg,5 ( ) σ DESVIO PADRÃO ( σ ) 144 =1m 5 = 5 mg,5 1,58
18 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (Cv) O devio-padrão é uma medida de dispersão absoluta, na mesma unidade de medida da série de dados. O coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão relativa, sem unidade de medida, ideal para compararmos distribuições diferentes, de mesma natureza ou não. O Cv indica a proporção do desvio padrão em relação à média. CCCC = σσ XX
19 EXEMPLO Qual das variáveis, X e Y, apresenta maior dispersão absoluta e maior dispersão relativa? VARIÁVEL MÉDIA DESVIO PADRÃO CV X 5 Y 10 3 = 40% 5 3 = 30% 10 Maior dispersão absoluta: y (maior Dp) Maior dispersão relativa: X (maior CV) Conclusão: Os dados em y estão mais concentrados do que em X.
20 Propriedades da Variância, Desvio padrão e da média P1: Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores de uma variável (X) por uma constante (k): A sua média e o seu desvio padrão ficam multiplicados ou divididos pela constante; A sua variância fica multiplicada ou dividida pelo QUADRADO da constante. P: Quando somamos ou subtraímos uma constante (k) a todos os valores de uma variável (X): A sua média fica acrescida ou diminuída dessa constante; A sua variância e o seu desvio padrão ficam INALTERADOS.
21 Exemplo (CESGRANRIO) Em uma empresa, todos os funcionários receberam um aumento de 10% nos salários e, posteriormente, ganharam um abono de 100 reais. Sobre a nova média e a nova variância de salários, em relação à média e à variância iniciais, isto é, antes dos aumentos, tem-se que a (A) média e a variância não se alteram. (B) média não se altera, e a variância fica aumentada em 10%. (C) média e a variância ficam aumentadas em 10% mais 100 reais. (D)média fica aumentada em 10% mais 100 reais, e a variância em 10%. (E) média fica aumentada em 10% mais 100 reais, e a variância em 1%.
22 Exemplo (FUNIVERSA) Diariamente, uma empresa posta 98 encomendas. Os gastos com a empresa de entregas têm média de R$ 34,00 e variância de R$ 40,00. Assinale a alternativa que indica os novos valores da média e da variância se a taxa de entrega for multiplicada por. (A) Média de R$ 34,00 e variância de R$ 40,00. (B) Média de R$ 136,00 e variância de R$ 160,00. (C) Média de R$ 68,00 e variância de R$ 40,00. (D) Média de R$ 68,00 e variância de R$ 160,00. (E) Média de R$ 34,00 e variância de R$ 160,00.
23 Coeficientes de Assimetria (As) Permite a comparação do grau de assimetria entre as medidas de duas distribuições. Teremos dois coeficientes (1º e º coeficientes de Pearson) para classificar a distribuição em: a) Simétrica b) Assimétrica direita (positiva) c) Assimétrica esquerda (negativa)
24 Assimetria
25 Primeiro coeficiente de Pearson _ Em função da média(x), da moda (Mo) e do desvio padrão (σ).
26 Segundo coeficiente de Pearson Em função da média( (σ). X ), da mediana (Md) e do desvio padrão As > 1 é considerada assimetria forte. 0,15 < As < 1 é considera moderada.
27 PESOS (KG) Frequência (fi) Σ fi = 60 Média (x) = 1kg Moda (Mo) = 1 Kg Mediana (Md) = 1 kg As = 0. Logo: Distribuição simétrica.
28 PESOS (KG) Frequência (fi) Σ fi = 78 Média (x) = 1,9 kg Moda (Mo) = 16 Kg Mediana (Md) = 13,5 kg Desvio padrão (σ) = 4,0 kg
29 Média (x) = 1,9 kg Moda (Mo) = 16 Kg Mediana (Md) = 13,5 kg Desvio padrão (σ) = 4,0 kg Logo: Distribuição assimétrica negativa.
30 PESOS (KG) Frequência (fi) Σ fi = 78 Média (x) = 11,1 kg Moda (Mo) = 8 Kg Mediana (Md) = 10,5 kg Desvio padrão (σ) = 4,0 kg
31 Média (x) = 11,1 kg Moda (Mo) = 8 Kg Mediana (Md) = 10,5 kg Desvio padrão (σ) = 4,0 kg Logo: Distribuição assimétrica positiva.
32 Estatística Exercícios Prof. Walter Sousa
33 Questão 1 (Cesgranrio) Em uma pesquisa de preços de determinado produto, foram obtidos os valores, em reais, de uma amostra aleatória colhida em 6 estabelecimentos que o comercializam. A variância dessa amostra é (A) 1,50 (B) 1,75 (C),00 (D),5 (E),50 Gab. C)
34 Questão (ESAF) Dada a seqüência de valores 4, 4,, 7 e 3 assinale a opção que dá o valor da variância. Use o denominador 4 em seus cálculos. a) 5,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 6,0 e) 16,0 Gab. C)
35 Questão 3 (FCC) Seja uma amostra aleatória simples extraída de uma população, com tamanho 10 e representada por Xi; i = 1,,..., 10. Sabe-se que A variância desta amostra apresenta o valor de (A) 67,3 (B) 63,0 (C) 61,0 (D) 59,7 (E) 57,0 Gab. E)
36 Questão 4 (FCC) Duas empresas X e Y possuem 150 e 100 empregados, respectivamente. A média aritmética dos salários da empresa X supera a da empresa Y em R$ 500,00 e o desvio padrão da empresa X supera o da empresa Y em R$ 00,00. Se os coeficientes de variação das empresas X e Y são respectivamente iguais a 0% e 15%, então a média aritmética de todos os empregados das empresas X e Y, em conjunto, apresenta o valor de (A) R$.150,00. (B) R$.00,00. (C) R$.300,00. (D) R$.450,00. (E) R$.550,00. Gab. C)
37 Questão 5 Considerando a tabela acima, que apresenta as frequências relativas de uma variável X, relativa a uma contagem, julgue os itens a seguir. (1) A média de X é inferior a 1,5. () A moda e a mediana de X são iguais a 3. (3) O desvio-padrão de X é inferior a 1,5. (4) O coeficiente de variação de X é superior a 1.
38 Questão 5 (1)A média de X é inferior a 1,5. () A moda e a mediana de X são iguais a 3.
39 Questão 5 (3) O desvio-padrão de X é inferior a 1,5. (4) O coeficiente de variação de X é superior a 1.
40 Questão 6 (FCC) Em dezembro de 009, o salário médio dos 100 trabalhadores da empresa Alpha é igual ao salário médio dos 400 trabalhadores da empresa Beta, ou seja, igual a R$.000,00. Porém, os coeficientes de variação apresentados para os trabalhadores de Alpha e Beta são iguais a 0% e 15%, respectivamente. Considerando as duas empresas reunidas, obtém-se que a correspondente variância é, em (R$), igual a (A) (B) (C) (D) (E) Gab. C)
41 Rascunho Questão 6
42 (CESPE/PF) Questão 7 (1) A moda das idades dos presidiários classificados como A, segundo a fórmula de Czuber, está entre 5,5 e 6 anos de idade. () O número de presidiários classificados como A é igual ao dobro do número de presidiários classificados como B. (3) O valor de v está entre 65 e 75 (4) Os valores de x e u são, respectivamente, iguais a 19 e 51 anos de idade.
43 (CESPE/PF)
44 Questão 8 (CESPE) A tabela acima apresenta a distribuição de freqüência absoluta das notas dadas por 15 usuários de um serviço público, em uma avaliação da qualidade do atendimento. Considerando essas informações, julgue os próximos itens. (1) A média, a moda e a mediana dos valores apresentados na tabela são superiores a,8 e inferiores a 3,3. () O desvio padrão das notas apresentadas na tabela é superior a 1,1.
45 Questão 9 (ESAF - AFRF) Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes: Assinale a opção correta. (A) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta. (B) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa. (C) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo A. (D) A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é medida pelo quociente da diferença de desvios padrão pela diferença de médias. (E) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativa nos grupos. Gab. C)
46 Questão 10 (ESAF/MPOG) A expectância de uma variável aleatória z é igual a 4, ou seja: E(z) = 4. Sabendo-se que a E(z ) = 0, então o coeficiente de variação de z é igual a: a) 1/ 0 b) 1/5 c) 1/ d) 1 e) 0 Gab. C)
47 Estatística Próxima aula: Distribuições discretas! Prof. Walter Sousa
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