Inferência Estatística. Medidas de Tendência Central Medidas de Variação Medidas de Posição

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1 Inferência Estatística Medidas de Tendência Central Medidas de Variação Medidas de Posição

2 Notações Estatísticas Característica amostra população Somatório de um conjunto de valores Valores individuais dos dados i i Número de valores (tamanho do conjunto) n N Média aritmética Desvio padrão s Variância s Range (amplitude) R -

3 Medidas de Tendência Central Média Mediana Moda Ponto médio

4 Média Média aritmética, ou simplesmente média, de um conjunto de valores é o valor obtido somando-se todos eles e dividindo-se o total pelo número de valores. É, de modo geral, a mais importante de todas as mensurações numéricas descritivas. Propriedade: centro do conjunto de dados, no sentido de que é um ponto de equilíbrio dos mesmos. Notação: se média é calculada sobre uma amostra μ se a média é calculada sobre toda a população

5 Mediana A mediana de um conjunto de valores é o valor do meio desse conjunto, quando os valores estão dispostos em ordem crescente (ou decrescente). Se o número de valores for ímpar, a mediana é o número localizado eatamente no meio da lista Se o número de valores for par, a mediana é a média dos dois valores do meio. Notação: ~

6 Moda A moda de um conjunto de dados é o valor que ocorre com maior freqüência Quando dois valores ocorrem com a mesma freqüência máima, cada um deles é uma moda, e o conjunto se diz bimodal. Quando nenhum valor é repetido, o conjunto não tem moda. Notação: M

7 Ponto Médio O ponto médio é o valor que está a meio caminho entre o maior e o menor valor. Para obter o ponto médio, soma-se esses valores etremos e divide-se o resultado por

8 Observação Como vimos, há diferentes maneiras de definir o centro de um conjunto de dados. Ao nos referirmos ao valor médio de um conjunto de dados, devemos ser precisos, mencionando o termo eato como média, mediana, moda ou ponto médio.

9 Média de uma tabela de freqüências Quando os dados estão resumidos em uma tabela de freqüências, podemos aproimar a média substituindo os limites de classes pelos pontos médios das classes e supondo que todos os elementos da classe se concentrem no respectivo ponto médio. O número de valores é igual à soma das freqüências f. f = ponto médio de cada classe f = freqüência f = n

10 Eemplo Das diferentes medidas de tendência central apresentadas, a moda é a única que pode ser usada com dados em nível nominal de mensuração. Eemplo: Um estudo sobre tempos de reação abrangeu 30 canhotos, 50 destros e 0 ambidestros. Embora não possa tomar a média numérica dessas características, podemos afirmar que a moda é destra, que é a característica que ocorre com maior freqüência.

11 Comparação entre média, mediana e moda

12 Assimetria Uma distribuição de dados é simétrica quando a metade esquerda é aproimadamente a imagem-espelho da metade direita. média=moda=mediana Simétrica: assimetria zero

13 Assimetria média moda moda média mediana Assimétrica para a esquerda (negativamente assimétrica) média e mediana à esquerda da moda mediana Assimétrica para a direita (positivamente assimétrica) média e mediana à direita da moda

14 Eercícios Tempo de espera (em minutos) de clientes Banco 1 (fila única) 6,5 6,6 6,7 6,8 7,1 7,3 7,4 7,7 7,7 7,7 Banco (fila múltipla) 4, 5,4 5,8 6, 6,7 7,7 7,7 8,5 9,3 10,0 Banco 1 e : média=7,15 mediana= 7,0 moda=7,7 ponto médio=7,10 Tempo de espera no banco praticamente o mesmo. Por que os clientes preferem a fila única?

15 Medidas de variação Amplitude Desvio-padrão Variância

16 Amplitude A amplitude de um conjunto de dados é a diferença entre o maior valor e o menor valor. Eemplo Banco 1: 7,7 6,5 = 1, min Banco : 10,0 4, = 5,8 min Banco maior variação Desvantagem: não leva em conta todos os valores

17 Desvio-padrão de uma amostra O desvio-padrão de um conjunto de valores amostrais é uma medida de variação dos valores em relação à média É a mais importante e mais útil medida de variação Leva em conta todos os valores É epresso na mesma unidade dos dados originais s n i1 i n 1 média da amostra i valores: i =1,..., n n: tamanho da amostra Eemplo Banco 1: 0,48 min Banco : 1,8 min

18 Desvio-padrão de uma amostra s i n n 1

19 Desvio-padrão da população? Por que N e não N-1??? n i1 i N média da população i valores: i =1,..., N N: tamanho da população Eemplo: se os 10 valores do eemplo dos bancos constituíssem uma população, o desvio-padrão seria: Banco 1: 0,45 min Banco : 1,7 min

20 Variância 1 n s n 1 i i s :variância amostral N n i i 1 : variância populacional Outra notação: SD (standard deviation) para o desvio-padrão Var para variância ou ou N N i 1 n S n i

21 Variância 1 n s n 1 i i s : variância amostral N n 1 i i : variância populacional Outra notação: SD (standard deviation) para o desvio-padrão Var para variância

22 Eercícios Com base nos dados abaio: a) Construa uma tabela com quatro classes de grupos, com frequência absoluta e relativa de cada classe. b) Determine a moda, média, desvio-padrão e variância dos valores apresentados Em uma determinada sala de aula de engenharia da Fainor eistem 10 alunos, os mesmos possuem as seguintes idades: 17,18,18,19,19,0,,5,6,30.

23 Resolução: Primeiramente vamos atender o enunciado da questão que diz na letra a o seguinte - Construa uma tabela com quatro classes de grupos, com frequência absoluta(fa) e relativa de cada classe. Então vamos dividir os dados em quatro grupos ou classes da maneira que eu quiser desde que todos os elementos sejam incluídos. Como por eemplo: 17,18,18,19,19,0,,5,6,30 Classe 1: (17,18,18) total (Fa) 3 elementos; Classe : 19 (19,19,0) total (Fa) 3 elementos; Classe 3: 5 () total (Fa) 1 elementos e Classe 4: 5 31 (5,6,30) total (Fa) de 3 elementos

24 Resolução: Agora que já dividimos em classes e determinamos a Fa vamos determinar a frequência relativa (Fr). Fr é calculada pela divisão da Fa pelo tamanho da amostra que neste caso é 10. Classe 1: (17,18,18) total (Fa) 3 elementos; Classe : 19 (19,19,0) total (Fa) 3 elementos; Classe 3: 5 () total (Fa) 1 elementos e Classe 4: 5 31 (5,6,30) total (Fa) de 3 elementos Calculemos: Classe 1 Fr = 3/10 => 0,30 Classe Fr = 3/10 => 0,30 Classe 3 Fr = 1/10 => 0,10 Classe 4 Fr = 3/10 => 0,30

25 Resolução: Agora que já temos todos os elementos para construção da nossa tabela vamos a ela. Para construirmos uma tabela devemos lembrar dos elementos obrigatórios da mesma.

26 Resolução: Titulo: Classes de idades dos alunos de uma determinada sala de aula de engenharia da Fainor e suas frequências absolutas e relativas Classes de idades Frequência Absoluta Frequência Relativa (%) Total Fonte: desconhecida

27 Resolução: Letra b do eercício (Determine a moda, média, desvio-padrão e variância...); Primeiramente a Moda (M) que para resolver basta listar em ordem crescente os valores e verificar qual ou quais possuem as maiores frequências 17,18,18,19,19,0,,5,6,30 17 = 1; 18 = ; maior frequência 19 = ; maior frequência 0 = 1; = 1; 5 = 1; 6 = 1; 30 = 1 Temos duas idades com frequências superiores as demais, ou seja, esses valores são a moda. Como são dois valores dizemos que é bimodal.

28 Resolução: Letra b do eercício (Determine a moda, média, variância e desvio-padrão...); Agora vamos a Média ( X) que consiste em somar todos os valores no caso as idades e dividir pelo total de idades, ou seja, 10 neste caso. X = X = 14=> 1,4 10

29 Resolução: Agora vamos a variância como sugestão recomendo fazer uma tabela simples de resolução que ajuda muito. Idades i N N i i = =

30 Resolução: Agora basta substituir os valores na formula, lembrando que neste caso estamos usando a formula para população e não a de amostra i i = 14 = N = 10 i N N = (14) /10 = (45796)/10 = , = 164,40 10 = 16,44 Pronto resolvido a variância

31 Resolução: Agora só falta fazer o desvio padrão que é simplesmente a raiz quadrada da variância i i = 14 = N = 10 s i N N = (14) /10 = (45796)/10 = , = 164,40 10 = 16,44 variância Raiz de 16,44 = 4.06 Desvio Padrão

32 Eercícios Determine a amplitude, a variância e o desvio-padrão dos conjuntos de dados 1. resíduos de nitrato (em Kg por hectare) como parte da chuva ácida em Massachusetts de julho a setembro de ,40 5,1 4,66 5,4 6,96 5,53 8,3 6,80 5,78 6,00 5,41. Pesos (em Kg) de papel e plástico descartados em residências durante uma semana. Papel: 9,55 6,38,80 6,98 6,33 6,16 10,00 1,9 Plástico:,19,10 1,41 0,63 0,9 1,40 1,74,87

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