Medidas de tendência Central. Leandro Marinho

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Ilda Desconhecida Lage
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1 Medidas de tendência Central Leandro Marinho

2 Introdução Na estatística, ao analisarmos dados, temos algumas medidas que podem caracterizar um grupo inteiro, são medidas representativas. Nessa aula, estudaremos as medidas de tendência central, veremos adiante quais medidas são essas. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

3 Média aritmética (MA) Com base na idade das pessoas de um grupo, podemos estabelecer uma única idade que caracteriza o grupo todo. Considerando a temperatura de vários momentos em um mês qualquer, podemos determinar uma só temperatura que fornece uma ideia aproximada de todo o período. Avaliando as notas dos vários trabalhos de um aluno no bimestre, podemos registrar com apenas uma nota seu aproveitamento no bimestre. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

4 Média aritmética (MA) Nesses tipos de situações, o número obtido é a média aritmética, essa é a mais conhecida entre as medidas de tendência central. Esse valor é obtido dividindo a soma de n dados pelo número n de dados. MA x 1 x 2 x n 3... x n n i1 n x i UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

5 Exemplo Considerando um grupo de pessoas com 22, 20, 21, 24 e 20 anos, observamos que: MA ,4 Dizemos, então, que a média aritmética ou simplesmente a média de idade do grupo é 21,4 anos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

6 Exercício Qual é a média de idade de um grupo em que há 6 pessoas de 14 anos, 9 pessoas de 20 e 5 pessoas de 16 anos? MA MA ,2 A média de idade desse grupo é 17,2 anos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6

7 Exercício Se um aluno já fez dois trabalhos e obteve 8,5 e 5,0 nas duas primeiras notas. Qual deve ser a nota do seu terceiro trabalho para que a média aritmética das três notas desse aluno seja 7,0? No último trabalho, o aluno deve tirar a nota 7,5. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7

8 Resolução Sabemos que o número de dados é 3, pois são três notas, sabemos duas delas e a média, então acharemos a terceira nota a partir de uma regra de três simples: MA x 7,0 2113,5 8, , ,5 No último trabalho, o aluno deve tirar a nota 7,5. x x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8

No exemplo do grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos, a moda é 2 anos

9 Moda (Mo) Em estatística, moda é a medida de tendência central definida como o valor mais frequente de um grupo de valores observados. No exemplo do grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos, a moda é 2 anos (Mo = 2) e demonstra mais eficiência para caracterizar esse grupo do que a média aritmética. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9

10 Moda (Mo) Se as notas obtidas por um aluno foram 6,0; 7,5; 7,5; 5,0 e 6,0, dizemos que a moda é 6,0 e 7,5 e que a distribuição é bimodal. Observação: Quando não há repetição de números, como, por exemplo, para os números 7, 9, 4, 5 e 8, não há moda. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10

11 Exercício Inspecionaram-se quinze rádios antes da remessa. Os números de defeito por cada unidade são: 1, 0, 3, 4, 2, 1, 0, 3, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 1 a) Determine a moda do número de defeitos 0 Aparece quatro vezes; 1 Aparece seis vezes; 2 Aparece duas vezes; 3 Aparece duas vezes; 4 Aparece apenas uma vez. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11

12 Mediana (Me) A mediana é outra medida de tendência central. Assim, dados n números em ordem crescente ou decrescente, a mediana será: o número que ocupar a posição central se n for ímpar; a média aritmética dos dois números que estiverem no centro se n for par. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12

13 Exemplo Numa classe, foram anotadas as faltas durante um período de 15 dias: 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 0, 2, 3, 4 e 7. Em ordem crescente, temos: 0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 7 7 valores 7 valores Me Como 15 é ímpar, o termo médio é o 8. Logo, a mediana é 3. Simbolicamente, Me = 3. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 13

14 Exercício As idades dos alunos de uma equipe são 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 anos. Determine a mediana dessas idades. Para determinar a mediana desses valores, colocamos na ordem crescente (ou decrescente): 12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17 As duas posições centrais UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14

15 Resolução 12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17 Como temos um número par de valores (8), fazemos a média aritmética entre os dois termos centrais, que são o 4 e o 5 termo. Logo, a mediana é dada por: Simbolicamente, Me = 15 anos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15

16 Exercício Durante os sete primeiros jogos de um campeonato, um time marcou, respectivamente, 3, 2, 1, 1, 4, 3 e 2 gols. Determine: a) a média de gols por partida (MA); b) a moda (Mo); c) a mediana (Me). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16

17 Resolução a) a média de gols por partida (MA): Vimos que para achar a média aritmética, devemos somar os valores dos dados e dividir o resultado pelo número de dados somados. Como são sete jogos, somaremos o número de gols nesses jogos e dividiremos por sete MA 2, O time teve uma média de 2,29 gols por partida. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17

18 Resolução b) a moda (Mo): A moda, como vimos, é o valor que mais se repete em uma dada distribuição de valores. Então, veremos o número que mais se repete entre os fornecidos. 3, 2, 1, 1, 4, 3 e 2 Veja que, nesse caso, temos três modas (1, 2 e 3). Cada um desses valores aparece duas vezes nessa distribuição. Chamamos essa distribuição de distribuição multimodal. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18

19 Resolução b) a mediana (Me): Organizaremos a distribuição em ordem crescente ou decrescente e veremos qual é o termo central (já que temos um número ímpar de valores): 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4 Termo central Como o termo central é a mediana. Então, simbolicamente, Me = 2. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 19

20 Exercício ENEM 2010 O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 20

21 Exercício ENEM 2010 Gols marcados Quantidade de partidas Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então a) X = Y < Z. b) Z < X = Y. c) Y < Z < X. d) Z < X < Y. e) Z < Y < X. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21

22 Exercício ENEM 2011 Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro: UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 22

23 Exercício ENEM 2011 Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a a)17 C, 17 C e 13,5 C. b)17 C, 18 C e 13,5 C. c)17 C, 13,5 C e 18 C. d)17 C, 18 C e 21,5 C. e) 17 C, 13,5 C e 21,5 C. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 23

24 Obrigado! Parceria: UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 24

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