Descrevendo Distribuições com Números TADI

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1 Descrevendo Distribuições com Números TADI 1

2 Quanto ganha quem tem curso superior? Entrevistamos 15 pessoas que responderam (em milhares de R$/mês): 11 2, ,5 3 3,5 3 0,4 3, ,2 7,4 6 Salário de Indivíduos com Curso Superior 8 Freqüência Mais Salário Como resumir esta informação? 2

3 Média Para achar a média aritmética, ou simplesmente média, você deve somar cada um dos valores e dividir pelo número de observações. A média é comumente denotada por uma barra sobre a variável, assim para nosso exemplo: x = , , , ,4 + 3, ,2 + 7 = 66,7 15 = 4,45 A forma geral para a média é: x = ou x 1 + x n x n x = n i = 1 n x i 3

4 O que a média representa? Representa quanto cada um receberia se o total de salários fosse dividido identicamente. Ela é também o ponto onde você conseguiria equilibrar o histograma, ou seja, o seu centro de massa. 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, Mais Freqüência outlier Salários E se removermos o outlier da amostra? O que acontece com a média? 4

5 Eliminando o outlier Calculando a média novamente: x = 2, , , ,4 + 3, ,2 + 7 = 55,7 14 = 3,98 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, Mais Freqüência Salários E se entrevistássemos um felizardo que ganhe R$200 mil/mês? O que ocorre com a média? 5

6 Efeito do outlier Calculando a média novamente: x = , , , ,4 + 3, ,2 + 7 = Freqüência Salários CUIDADO: A média é uma medida sensível a valores grandes. 6

7 Mediana Para achar a mediana ordenamos os dados e encontramos o valor que divide as observações ao meio: Dados fora de ordem: 11 2, ,5 3 3,5 3 0,4 3, ,2 7,4 6 Dados ordenados: 0,4 2, ,2 3,2 3, ,5 6 7,4 11 A mediana M será: M=3,5 E se eliminarmos o outlier? 7

8 Eliminando o outlier Dados ordenados sem o outlier: 0,4 2, ,2 3,2 3, ,5 6 7,4 A mediana M será: M=(3,2+3,5)/2 = 3,35 A mediana é bem menos sensível a valores grandes do que a média. Mas, e se agora introduzirmos nosso felizardo assalariado que recebe R$200 mil/mês? 8

9 Efeito do outlier Dados ordenados sem o outlier: 0,4 2, ,2 3,2 3, ,5 6 7,4 200 A mediana M será: M=3,5 Um único valor muito grande não altera a mediana. A mediana é dita uma medida de posição resistente. Por outro lado, dependendo da informação que se busca, esta característica pode não ser desejável. A alteração de 11 para 200 em um dos salários não alterou em nada a mediana. 9

10 Moda Qual seria o salário (ou salários) mais freqüentes? Para achar a moda montamos uma tabela de freqüências e procuramos pelo salário ou faixa com maior freqüência: É mais fácil começar com dados ordenados: 0,4 2, ,2 3,2 3, ,5 6 7,4 11 Montamos a tabela de freqüências: x n [0,1) 1 [1,2) 0 [2,3 ) 1 [3,4) 6 [4,5) 0 [5,6 ) 4 [6,7) 1 [7,8) 1 [8,9) 0 [9,10) 0 [10,11) 1 A moda está no intervalo [3,4), escolhemos o meio do intervalo como indicador: MODA=3,5. 10

11 Pense a respeito 1 1. Como deve ser a distribuição para que a média e a mediana sejam idênticas? Desenhe o histograma. 2. Como deve ser o histograma para que a mediana seja igual a moda mas a média seja maior que a mediana? 3. Como deve ser o histograma para que a moda seja maior que a mediana e a mediana seja maior que a média? 11

12 Pense a respeito 2 Você está procurando emprego para o próximo ano. As empresas A e B são totalmente equivalentes a menos de suas políticas de remuneração. As características de remuneração de cada uma das empresas são resumidas na tabela a seguir: Empresa Média Mediana Moda A B Qual das duas empresas você escolheria? Justifique 12

13 Pense a respeito 3 Quais medidas de posição são mais adequadas nos seguintes casos? Justifique. Estão disponíveis dados mensais sobre a incidência de envenenamento por picada de cobra. Deseja-se planejar a compra mensal de antídoto. O número diário de usuários, entre 17 e 19 horas, de determinada linha de ônibus foi anotado. Pretende-se utilizar essa informação para dimensionar a frota em circulação. Um fabricante de baterias deseja divulgar a durabilidade do seu produto e coleta a informação sobre a duração de 100 de suas baterias. 13

14 Exercício 1 Vinte e cinco residência de um bairro foram sorteadas e visitadas por um entrevistador que, entre outras questões, perguntou sobre o número de televisores. Os dados foram os seguintes: 2,2,2,3,1,2,1,1,1,1,0,1,2,2,2,2,3,1,1,3,1,2,1,0,2 Organize os dados em uma tabela de freqüência e determine as diversas medidas de posição. 14

15 Exercício 2 Num experimento, 15 coelhos foram alimentados com uma nova ração e seu peso avaliado ao fim de um mês. Os dados referentes ao ganho de peso (em kg) foram os seguintes: 1,5; 1,6; 2,3; 1,7; 1,5; 2,0; 1,5; 1,8; 2,1; 2,1; 1,9; 1,8; 1,7; 2,5; 2,2 a. Utilizando os dados brutos acima, determine média, moda e mediana. b. Organize uma tabela de freqüência com faixas de amplitude 0,2 a partir de 1,5. c. Calcule a partir da tabela de freqüência e com o ponto médio representando cada faixa, a média, a moda e a mediana. Comente as diferenças em relação ao item a. d. Se ao invés de 15, fossem 500 coelhos, qual seria o procedimento mais conveniente (a) ou (c)? 15

16 Quartis Quartis - outra forma de caracterizar quantitativamente a distribuição de uma variável. Consiste em encontrar os valores abaixos dos quais está 25% dos dados (Primeiro Quartil), 50% dos dados (Mediana) e 75% dos dados (Terceiro Quartil). Por exemplo, retornando aos dados salariais temos: Dados fora de ordem: , ,5 3 3,5 3 0,4 3, ,2 7,4 6 Dados ordenados: 0,4 2, ,2 3,2 3, ,5 6 7, % dos dados está abaixo de 3, assim, o Primeiro Quartil é Q1=3; 50% dos dados está abaixo de 4,25, assim, o Segundo Quartil, que também é a Mediana é Q2=M=4,25; 75% dos dados está abaixo de 5,75, assim, o Teceiro Quartil é Q3=5,75 16

17 Cálculo da Mediana, Quartis, Percentis Para o cálculo da mediana ( j = 2), do quartil Q i ( j = 4 P ( j = 100 ), calcula-se i k = i n j ) ou do percentil Se k não é inteiro, arredonda-se para cima e o valor procurado é dado por x k + xk + 1 x k. Se k é inteiro, valor procurado é dado por 2 17

18 Sumário de 5 números Podemos descrever uma distribuição de forma resumida fornecendo 5 números apenas: mínimo, Q1, M, Q3, máximo. No exemplo: Dados ordenados: 0,4 2, ,2 3,2 3, ,5 6 7, MIN = 0,4 Q1 = 3,0 M = 4,25 Q3 = 5,75 MAX =

19 Dados sobre rendimentos anuais da Aula 5: Histograma Freqüência Bloco MIN= Q1= Média= ,20 Q2=27.479,50 Q3=47.962,50 MAX=

20 Quantis: Generalizando a idéia de Quartis Ao invés de fixarmos os percentuais de interesse em 25%, 50% e 75% dos dados podemos trabalhar com um percentual qualquer, ou quantil. Observando novamente os dados brutos de peso colhidos em classe podemos montar uma tabela de freqüências: Bloco Freqüência % cumulativo ,98% ,72% ,77% ,08% ,27% ,35% ,96% ,37% ,72% ,25% ,06% ,38% ,72% ,58% ,38% ,84% ,36% ,36% ,32% ,09% ,73% 20

21 Exercício 3 a. Ordene os dados e calcule o sumário de 5 números para a variável Pontos no problema dos dois jogadores de basqyete. Há variação perceptível entre os dois? b. Faça um gráfico para cada jogador com os quantis em intervalos de 20%. Represente as duas distribuições no mesmo gráfico. O que se pode dizer a respeito da diferença entre os dois? 21

22 Boxplot (ou Gráfico de Caixa) O Box plot é um gráfico que apresenta a informação contida nos quartis e nos pontos extremos dos dados, permitindo, caso se tenha mais de um caso (por exemplo, dados associados a diferentes valores de uma variável qualitativa), fazer a comparação entre os casos de forma visualmente fácil. 22

23 Vejamos Boxplot dos Salários Salários

24 Interpretando A caixa mostra o intervalo que contém os 50% centrais dos dados (entre Q1 e Q3), com a mediana marcada como uma linha central. As linhas acima e abaixo da caixa são chamadas de bigodes e tem a função de mostrar até onde se observaram dados (exceto pelos outliers, marcados por asteriscos). 24

25 Construindo um Box plot Primeiro, calcule os quartis, de forma a desenhar a caixa. Obtenha a distãncia entre o primeiro e o terceiro quartil (amplitude interquartil): Q3-Q1 Os bigodes tem como tamanho máximo 1,5 vezes a amplitude interquartil, mas vão apenas até o último dado dentro desta distância. Dados que estiverem além são marcados por asteriscos (outliers). 25

26 No computador Infelizmente, as planilhas (Excel ou OpenOffice) não possuem o boxplot como gráfico. O OpenOffice tem um gráfico que se parece, mas não é um boxplot! Os boxplots apresentados aqui foram feitos usando o Minitab. No entanto, há formas de se usar o Excel para fazer um boxplot, se você já tiver calculado os quartis (infelizmente, ele errará quanto aos outliers):

27 Comparando O box-plot é bastante útil para comparar relações entre dados qualitativos e quantitativos. Pont os Jogadores A e B A B 27

28 Medidas de Dispersão Queremos agora medir o quanto os dados estão espalhados (dispersos). Note que é possível que conjuntos de dados com a mesma média estejam muito concentrados (quase todos próximos a média), muito espalhados (quase todos distantes) ou algo intermediário. Portanto é interessante medir esta dispersão. 28

29 Amplitudes A medida mais simples que podemos ter da dispersão é a amplitude, definida como o valor máximo observado menos o valor mínimo. Portanto, todos os dados encontram-se dentro desta distância. Como uma medida central, temos a amplitude interquartil Q3-Q1. Só metade dos dados (a metade central) se encontra dentro desta distância. 29

30 Desvio Médio Outra medida de dispersão é o desvio médio, dm. Para calculá-lo, obtenha a distância de cada dado xi à média, x i. x Para os salários, teremos a lista 4,05 1,95 1,45 1,45 1,45 1,25 1,25 0,95 0,55 0,55 0,55 1,05 1,55 2,95 6,55 Tomando a média destes números teremos que o desvio médio é dm=1,84, ou seja, os salários estão, em média, a uma distância de R$1.840,00 do salário médio. 30

31 Exemplos Tomemos os dois conjuntos de dados abaixo: 4, 4, 6, 6 3, 5, 5, 7 Qual dos dois você diria que está mais disperso? 31

32 Tomemos os dois conjuntos de dados abaixo: 4, 4, 6, 6 3, 5, 5, 7 Qual dos dois você diria que está mais disperso? Na verdade, o desvio médio é igual para os dois conjuntos (igual a 1). Dados mais distantes, no entanto, parecem ter um efeito maior na dispersão. Se mudarmos a medida, tomando o quadrado dos dados, teríamos este efeito. 32

33 Variância Obtendo o quadrado de cada uma das distâncias, temos: 16,4 3,8 2,1 2,1 2,1 1,56 1,56 0,9 0,3 0,3 0,3 1,1 2,4 8,7 42,9 Se calcularmos a média destes valores, teremos a variância σ 2 = 5,77. No entanto, como estes salários são apenas uma amostra de todos os salários, costuma-se calcular a variância da amostra. 33

34 Variância de Amostra Para amostras, ao calcular a média, ao invés de se dividir pelo total de elementos n (no caso, 15 salários), divide-se por n-1 (ou seja, 14). Teríamos então: s 2 = 6, 18 34

35 Assim, temos População (conjunto completo que se está interessado): σ 2 = i ( x µ ) i N 2 Amostra (parte do conjunto completo que se está interessado): s 2 = i ( x x ) i n

36 Desvio Padrão Note, no entanto, que interpretar a variância não é simples. No caso dos salários, estes estavam em reais, mais as distâncias foram elevadas ao quadrado e a variância é dada em reais ao quadrado (o que quer que isto signifique). Para resolver este problema, extraímos a raiz quadrada, obtendo o desvio padrão. 36

37 Desvio Padrão dos Salários Temos então que o desvio dos salários será de 2,49, ou seja, cerca de R$2.500,00. Isto quer dizer que os salários estão a uma distância típica de R$2.486,00 do salário médio, R$ 4.447,00. Note que está não é uma distância média, é uma distância típica. 37

38 Exemplo i. Jogador A Jogador B