SÉRIES ESTATÍSTICAS Í N D I C E

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1 SÉRIES ESTATÍSTICAS Í N D I C E Séries Estatísticas 1- Tabela Elementos de uma Distribuição de Freqüência Gráficos Estatísticos Classificação dos Gráficos Histograma Tipos de Freqüências Bibliografia

2 1 TABELA É um quadro que resume um conjunto de dados tabulados dispostos segundo linhas e colunas de maneira sistemática. Título: Dados ou xi Freqüência ou fi (somatória) fi = Fonte: célula corpo Representação tabular de um conjunto de valores em que colocamos na primeira coluna em ordem crescente dados ( xi ) apenas os valores distintos da série e na segunda coluna fi colocamos os valores das freqüências simples correspondentes. Referência da pesquisa Obs.: A primeira coluna da tabela colocamos os Dados representado simbolicamente por xi, e, na segunda coluna, colocamos a Freqüência Absoluta representado simbolicamente por fi, isto é, significa a quantidade que cada elemento está produzindo. Variável Discreta (sem faixa) 1º exemplo: Vamos fazer uma pesquisa sobre a idade de alunos que entraram em uma Universidade XY. Com a pesquisa concluímos que: para a idade de 17 anos obtivemos uma quantidade de 3 alunos, para a idade de 18 anos obtivemos a quantidade de 18 alunos, para a idade de 19 anos obtivemos a quantidade de 17 alunos, para a idade de 20 anos obtivemos a quantidade de 8 alunos e para a idade de 21 anos obtivemos a quantidade de 4 alunos. Então, na primeira coluna dados colocaremos a idade dos alunos e na segunda coluna freqüência colocaremos a quantidade de alunos relacionados pela idade. 2

3 Vamos montar a Tabela da Variável Discreta (sem faixas), assim: Título: Idade de Alunos que entraram na Universidade XY Idades xi Números de alunos fi fi 50 Fonte: Universidade XY 2º exemplo: Suponhamos que 12 alunos obtiveram os seguintes resultados em uma prova de Matemática. A prova variava de 0 (zero) a 6 (seis) pontos: Dados Brutos: X: 1; 5; 1; 0; 4; 5; 5; 3; 2; 4; 6 e 6 Precisamos, primeiramente, organizar os dados brutos em ordem crescente pelo rol. Rol: X: 0; 1; 1; 2; 3; 4; 4; 5; 5; 5; 6; e 6 Depois colocamos na primeira coluna da tabela os dados organizados xi, a quantidade relativa a cada nota é colocada na segunda coluna, chamamos de freqüência fi. Título: Notas da prova de Matemática Notas xi Números de alunos fi fi 12 Note que através da tabela reduzimos a quantidade de elementos e que a soma total de fi chamada de fi é igual a 12, ou seja, 12 alunos que fizeram a prova. Para elementos distintos e pequenos utilizamos a variável discreta (sem faixa). Fonte: Universidade XY 3

4 Variável Contínua (com faixa) Devemos optar por uma variável contínua quando os valores da sua série forem maiores de seus elementos distintos. Vamos montar uma Tabela qualquer da Variável Contínua (com faixas), assim: Título: Tabela da Variável Contínua Classe ou i Intervalo de Classe Freqüência fi fi 20 Fonte: Universidade XY Observamos que contém três colunas: Classe (i), Intervalo de Classe e Freqüência (fi). 2 ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA (COM INTERVALOS DE CLASSE) Classes: São os intervalos de variação da variável e é simbolizada por i, e, o número total de classes simbolizada por k. Exemplo: Na tabela anterior temos que k = 4 e é a 2ª classe, onde i = 3. Limites de Classe: São os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior de classe (li) e o maior número, limite superior de classe (Li). Exemplo: Na tabela anterior temos que a 2ª classe o, li é 45 e Li é 49. O símbolo representa um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, isto quer dizer que, nesse intervalo entrarão apenas os números 45, 46, 47 e 48, o número 49 pertence a 3ª classe. Importante: A representação dos intervalos deve seguir a Resolução 866/66 do IBGE, utilizando-se o símbolo, que representa inclusão de li e exclusão de Li, ou seja, o intervalo formado é fechado à esquerda e aberto à direta. 4

5 Amplitude do Intervalo de Classe: É obtida através da diferença entre o limite superior e inferior da classe e é simbolizada por hi = Li li. Exemplo: Na tabela anterior temos que hi = Obs: Na distribuição de freqüência com classes o hi será igual em todas as classes. Ponto Médio de Classe: é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. Exemplo: = 2 Na tabela anterior temos a 3ª classe: o ponto médio xi = 51. Amplitude Total de uma Sequência: É a diferença entre o maior e o menor elemento de uma sequência, ou seja, dispersão entre o maior e o menor número. Representando a amplitude total por A t, o maior elemento da sequência X por X máx e o menor elemento por X mín, a amplitude total é calculada por: A t = X máx X mín Exemplo: Na tabela anterior como temos uma Variável Contínua: a Amplitude Total é a diferença entre a média do limite superior da última classe e a média do limite inferior da primeira classe Calculando a Média do Limite Superior = Calculando a Média do Limite Inferior = 43 2 Logo: A A = 12 t = t Importante: Note que na realidade não trabalhamos com a A t = 12 e sim com a amplitude total ajustada para 16, isto ocorre, por exemplo, em virtude do último intervalo não conter o valor 57, então, precisaremos ajustar sempre o valor máximo da série ao definir a amplitude total. Outros critérios poderiam ser adotados, mas nenhum é melhor que esse critério. Obs.: Quanto maior a amplitude, mais heterogêneo é o grupo. Números de classes (NC): o pesquisador é quem define, em geral, não sendo menor que 4 nem maior que 10. 5

6 Exemplo: Utilizando o 2º exemplo da página 3, vamos passar a tabela de variável discreta para a tabela de variável contínua, assim: Suponhamos que 12 alunos obtiveram os seguintes resultados em uma prova de Matemática. A prova variava de 0 (zero) a 6 (seis) pontos: Dados Brutos: X: 1; 5; 1; 0; 4; 5; 5; 3; 2; 4; 6 e 6 Precisamos, primeiramente, organizar os dados brutos em ordem crescente pelo rol. Rol: X: 0; 1; 1; 2; 3; 4; 4; 5; 5; 5; 6; e 6 Vamos montar a tabela de outra forma, na variável contínua, repare que podemos ter 3 (três) classes de notas: 0 2, 2 4 e 4 6. Título: Notas da prova de Matemática Classe ou i Intervalo de Classe de notas Freqüência dos alunos fi fi 12 Fonte: Universidade XY 3 GRÁFICOS ESTATÍSTICOS São representações visuais dos dados estatísticos, eles servem na interpretação de dados para tomadas de decisão. Gráficos de informação: São gráficos destinados principalmente ao público em geral, objetivando proporcionar uma visualização rápida e clara. São gráficos tipicamente expositivos, dispensando comentários explicativos adicionais. As legendas podem ser omitidas, desde que as informações desejadas estejam presentes. Gráficos de análise: São gráficos que se prestam melhor ao trabalho estatístico, fornecendo elementos úteis à fase de análise dos dados, sem deixar de ser também informativos. Os gráficos de análise frequentemente vêm acompanhados de uma tabela estatística. Incluise, muitas vezes um texto explicativo, chamando a atenção do leitor para os pontos principais 6

7 revelados pelo gráfico. Contudo, os elementos simplicidade, clareza e veracidade devem ser considerados quando da elaboração de um gráfico. Uso indevido de Gráficos: Podem trazer uma idéia falsa dos dados que estão sendo analisados, chegando mesmo a confundir o leitor. Trata-se, na realidade, de um problema de construção de escalas. 4 CLASSIFICAÇÃO DOS GRÁFICOS Diagramas: São gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São os mais usados na representação de séries estatísticas. Eles podem ser: A Gráficos em barras horizontais: É semelhante ao gráfico em colunas, porém os retângulos são dispostos horizontalmente. B Gráficos em barras verticais (colunas): Quando as legendas não são breves usa-se de preferência os gráficos em barras horizontais. Nesses gráficos os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados. C Gráficos em linhas ou lineares: São freqüentemente usados para representação de séries cronológicas com um grande número de períodos de tempo. As linhas são mais eficientes do que as colunas, quando existem intensas flutuações nas séries ou quando há necessidade de se representarem várias séries em um mesmo gráfico. Quando representamos, em um mesmo sistema de coordenadas, a variação de dois fenômenos, a 7

8 parte interna da figura formada pelos gráficos desses fenômenos é denominada de área de excesso. D Gráficos em setores: Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação do dado no total. O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantos setores quantas são as partes. Os setores são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da série. O gráfico em setores só deve ser empregado quando há, no máximo, sete dados. Esta divisão poderá ser obtida pela solução da regra de três. 360 E Estereogramas: São gráficos geométricos dispostos em três dimensões, pois representam volume. São usados nas representações gráficas das tabelas de dupla entrada. Nº de Gratificações Engenharia Recursos Humanos Financeiro Gestão de Risco Marketing Produtividade Contabilidade Deptos 8

9 F Pictogramas: São construídos a partir de figuras representativas da intensidade do fenômeno. Este tipo de gráfico tem a vantagem de despertar a atenção do público leigo, pois sua forma é atraente e sugestiva. Os símbolos devem ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas é que apenas mostram uma visão geral do fenômeno, e não de detalhes minuciosos. Veja o exemplo abaixo: G Cartogramas: São ilustrações relativas a cartas geográficas (mapas). O objetivo desse gráfico é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas..5 HISTOGRAMA É formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe. A área de um histograma é proporcional à soma das freqüências simples ou absolutas. Exemplo: Vamos montar uma tabela com a variável contínua idade, referente uma pesquisa com 50 (cinqüenta) moradores de um bairro XYZ. 9

10 Título: Idades Moradores do Bairro XYZ Ponto Médio Intervalo de Freqüência Freqüência de Cada Classe Classe Freqüência Relativa ou Acumulada Classe ou (idades) ou fr (%) ou f(ac) Cálculo: i ou fi fr = fi. 100 f1 = 6 xi = li + Li h Σfi f2 = 6+10= % 6 21, % 16 28, % 29 35, % 37 42, % 43 49, % 48 56, % 50 63,5 fi 50 fr(%) 100% Fonte: Bairro XYZ Representação Gráfica com o Histograma (Observe que o gráfico a seguir foi elaborado conforme dados da tabela): Intervalo de classe 10

11 6 TIPOS DE FREQUÊNCIAS (Encontradas na TABELA) Frequências Simples ou Absolutas fi : são os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. A soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados da distribuição fi. Frequências Relativas fr : são os valores das razões (divisões) entre as freqüências absolutas de cada classe e a freqüência total da distribuição. Frequência Simples Acumulada de uma classe f(ac) : é o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma determina classe. Frequência Relativa Acumulada de uma classe f(ac%) : é a frequência acumulada da classe, dividida pela frequência total da distribuição. Polígono de Frequência: é um gráfico em linha, sendo as frequências marcadas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. Para realmente obtermos um polígono (linha fechada), devemos completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior a primeira e da posterior à última, da distribuição. Polígono de Frequência Acumulada f(ac) : é traçado marcando-se as frequências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe. 7 BIBLIOGRAFIA BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P.A., Estatística Básica. 5ª Ed.São Paulo:SARAIVA, CRESPO, A.A., Estatística Fácil, 17ª Ed.São Paulo: SARAIVA, 2002 CRESWELL, J. W. Projeto de pesquisa: métodos qualitativo, quantitativo e misto. 3. ed. Porto Alegre: Artmed, DOWNING, D., Estatística Aplicada, 2ª Edição, São Paulo, Saraiva, MARTINS, G. de A. Estatística geral e aplicada. 3.ed. São Paulo: Atlas, 2005 MORETTIN, L.G., Estatística Básica, 7ª Edição, São Paulo, PEARSON, NEUFELD, J.L., Estatística Aplicada a Administração Usando o Excel, São Paulo, PEARSON, PINHEIRO, J. I. Estatística Básica: A Arte de trabalhar com dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2009 SPIEGEL, M.R., Estatística, 3ª Edição, Coleção Schaum, São Paulo, PEARSON, SPIEGEL, M.R., Probabilidade e Estatística, Coleção Schaum, São Paulo, PEARSON, SILVA, E.M., Estatística Para os Cursos de; Economia, Administração e Ciências Contábeis, 3ª Edição, São Paulo, Atlas, TRIOLA, M. F.. Introdução à Estatística. 10.ed.Rio de Janeiro: LTC,