Análise Numérica. Introdução. Teoria de Erros

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1 Análise Numérica Teoria de Erros Introdução O que éa Análise Numérica? São métodos que podem ser usados para a obtenção de soluções numéricas para problemas, quando por qualquer raão não podemos ou não desejamos usar métodos analíticos. 1

2 Introdução Porque usar a Análise Numérica? Eistem situações em que épreferível um método numérico ao método analítico ainda que este eista, por eemplo se a solução para um problema envolve muitos cálculos. Introdução A maior parte dos problemas concretos são, em geral, compleos e envolvem fenómenos não lineares pelo que é comum encontramo-nos numa situação em que os nossos conhecimentos de matemática não são suficientes para a descoberta de uma solução para um problema real. 2

3 Introdução Quando os dados do problema são os de uma tabela de valores, qualquer tratamento (a sua diferenciação ou integração por eemplo) terá de ser feito através de um método numérico. Introdução Modelo Matemático Real Modelo demasiado compleo para ser tratrado analíticamente Simplificar o modelo de forma a torná-lo tratável e obter uma solução eacta do modelo aproimado Tal solução é suspeita pelo facto de ocorrem simplificações do modelo Usar métodos numéricos para obter soluções aproimadas Tais soluções são apenas aproimações que podem ser melhoradas através de esforço computacional 3

4 1- Quase todos os cálculos envolvem erros. Em Análise Numérica lidamos quase eclusivamente com valores aproimados daíque não podemos usar métodos numéricos e ignorar a eistência de erros. Eistem três tipos de erros associados ao uso de métodos numéricos: erros inerentes aos dados erros de arredondamento erros de truncatura 4

5 Definição: Os erros inerentes aos dadose parâmetros resultam de observações de medidas em eperiências, da utiliação de aparelhos de medição mal calibrados, ou seja, estão associados a métodos eperimentais. Eemplo: Quando nos pesamos utiliamos uma balança. O grau de precisão do resultado obtido depende não sóda balança, como da observação mais ou menos precisa que façamos. Assim, podemos concluir desta eperiência que temos, por eemplo, 65 Kg, ou 65,4 kg, ou algo próimo deste valor. 5

6 Definição: Os erros de arredondamentodevem-se ao facto das máquinas (de capacidade finita) não poderem representar todo o conjunto de números reais. Eemplo: Na divisão de 1 por 3, sabemos que o resultado éuma díima infinita periódica, que representamos por 0,(3). No entanto, se efectuarmos esta divisão numa máquina de calcular obtemos apenas um número finito de casas decimais, que varia consoante a capacidade da máquina. 6

7 Definição: Os erros de truncaturaresultam da substituição dum problema contínuo por um modelo discreto ou de um cálculo com um número infinito de operações por outro com um número finito. Eemplo: Quando faemos a aproimação da função pelo polinómio de MacLaurin grau 3: 2 3 e Estamos a cometer um erro de truncatura, porque eliminamos infinitas parcelas da série de MacLaurin. 7

8 Como consequência da ocorrência destes erros, as soluções numéricas obtidas são, em geral, soluções aproimadas pelo que énecessário conhecer o erro que afecta esta aproimação (ou uma sua estimativa). Representação Normaliada Definição: Diemos que a representação de um número estánormaliada quando está na forma: = σ 0, a1... an b α Sinal Mantissa base epoente onde { } 1 σ 1, + 1, a 0, 0 a 9,1 < i n. i 8

9 Eemplo: Dado o número, no sistema decimal, normaliada escreve-se: = , na forma = + 0, sin al a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 Mantissa 5 epoente Eemplo: O número de Neper, na sua forma normaliada é: e = 2, e = 0,

10 Como o número de dígitos que o computador disponibilia para armaenar a mantissa dum valor éfinito, a representação deste número, no formato de vírgula flutuante, não é eacta, pois só se representa um número finito de dígitos. Assim, por eemplo, e no formato de vírgula flutuante, com 5 casas decimais, pode ser: 1 e = 0, ou dependendo do processo utiliado. 1 e = 0, Truncatura e arredondamento Definição: A truncaturaconsiste em eliminar todos os dígitos da mantissa a partir da ordem n +1 inclusive. O arredondamentoconsiste em adicionar 5 unidades ao dígito na posição n +1, aplicando em seguida o processo de truncatura.

11 se o dígito na posição n +1 for maior ou igual a 5, aumenta-se uma unidade ao dígito da posição n, aplicando de seguida o processo de truncatura, caso contrário aplica-se, de imediato, o processo de truncatura. Eemplo: No eemplo anterior, em o processo de truncatura; em 1 e = 0, de arredondamento por ecesso. 1 e = 0, utiliou-se unicamente utiliou-se o processo 11

12 Erro absoluto Definição: Seja um número e um seu valor aproimado. Chama-se erro absoluto do valor aproimado, e representa-se por ε, à epressão: ε = Erro Relativo Definição: Seja um número e um seu valor aproimado.chama-se erro relativodo valor aproimado, e representa-se por r, ao quociente: O produto, epresso em percentagem, di-se percentagem de erro. 0 r ε = = = 12

13 Limites superiores para os erros Na maioria dos problemas numéricos não se tem acesso ao valor eacto e, por conseguinte, também não épossível determinar o erro absoluto. O que se conhece, na prática, éuma quantidade não negativa, tal que: δ = δ A que se chama limite superior do erro absoluto. Esta epressão permite determinar o intervalo ao qual pertence o valor eacto : Assim, podemos considerar que [, ] δ δ + δ δ + δ, mas como se desconhece o valor de, na prática, é, ainda, muito usada a aproimação δ ρ r r δ onde se di limite superior do erro relativo. ρ 13

14 Algarismos significativos Ter conhecimento sobre o número de algarismos significativos (algarismos em que temos confiança) eistentes numa aproimação, éoutro modo de que dispomos para avaliar a precisão desse valor aproimado. Casas decimais significativas Definição:Seja um número real e um seu valor aproimado com k dígitos na parte fraccionária. Di-se que tem k casas decimais significativas se e só se: ε 0.5 k = =, k N 14

15 Algarismos significativos quando o valor eacto é conhecido Definição: Seja um número real e um seu valor aproimado. Di-se que aproima com t algarismos significativos se: = ε = N Z m+ 1 t 0.5, t 0, m m m+ 1 sendo m tal que. Nota:Sósão considerados algarismos significativos de um número, os algarismos, que se encontrem nas partes inteira e decimal, diferentes de ero e os eros que não se encontrem no número para indicar a posição da vírgula. 15

16 Eemplo: Seja = 0, e = 0, Calcule o nºde algarismos significativos de. Resolução: = 0, m = 3 ε = = 0, , = 0, = 0, t Então para se ter, vem + t = t =. 0,

17 Algarismos significativos quando o valor eacto não é conhecido Seja um número real desconhecido e um seu valor aproimado. Di-se que aproima com t algarismos significativos se : ou se 0.5 t +α = r 5 t Nota:Se a aproimação foi obtida por arredondamento então, t = k ou seja, o número de algarismos significativos de, t, éigual ao comprimento da mantissa, k. 17

18 Eemplo: Considere as aproimações 123, 450, e de, y e, respectivamente, arredondadas correctamente. a.escreva-as na forma normaliada. b.indique o nº de algarismos significativos de cada uma delas. c.determine os limites superiores dos erros, absoluto e relativo, de. = y = 0, = 0,1200 Resolução: a. 3 = 0, y = 0, = 0,1200 b. Se resulta de um arredondamento de, isto significa que: 123, , , , , , 450 ε 123, , 450 0, 0005 ε 0, , ,5 3 18

19 3 Logo, t + α = 3; como = 0,123450, α = 3, então t = 6, ou seja, tem 6 algarismos significativos. c. = 0.5 = r , Fórmula fundamental da propagação dos erros Seja f uma função de uma ou mais variáveis. Pretende-se estudar, agora, o modo como o cálculo de f num ponto do seu domínio pode ser afectado se os argumentos de f estiverem afectados de erros, ou seja, como se propagam os erros iniciais na solução final do problema. 19

20 Propagação do erro numa função de uma variável Consideremos uma função f 1, pelo menos de classe C, num dado conjunto I R. Suponha-se que se pretende estimar o valor de = f ( ), usando a aproimação de. Seja f ( ) o valor de em. Pretende-se majorar =. = f Sejam δ e ρ majorantes para e r, respectivamente. Pela fórmula de Taylor, f ( ) = P ( ) R ( ) n + Polinómio de Taylor em torno de : n P ( ) = n f ( ) + f '( )( ) + f 2 ( ) ''( ) 2! f n ( ) ( ) n! n n+ ( ) ( n + 1)! 1 n+ 1 com R ( ) = f ( c), em que c estáentre e. n 20

21 f ( ) f ( ) + f '( )( ) f ( ) f ( ) f '( )( ) f ( ) f ( ) f '( )( ) f ( ) f ( ) f '( ) f '( ). Mas < δ, logo pode-se obter um majorante para : < f '( ). δ δ ( ) f '. δ δ r < ρ Eemplo: Seja = f ( ) = sin ( ), = 0, 253 rad e < Calcule estimativas para e r. 21

22 Resolução: = sin( ) sin( ). Como < f '( ). δ = cos ( ). δ e δ = 0, 001, logo 3 3 ( ). < cos (0, 001) = 0, (0, 001) = 0, < 0,97 3 Assim, obtemos a estimativa para : = 0, 97. Para se obter a estimativa para, tem-se: δ 0, 97 sin 0, r < = 0, < 0, 39 = ρ ( ) r δ Propagação do erro numa função de duas variáveis f f < (, y ). + (, y ). y y f f < (, y ). δ + (, y ). δ y δ y δ < ρ r 22

23 Eemplo: y Seja f (, y) =. Calcule os limites superiores dos erros absoluto e relativo em f. Propagação do erro numa função de n variáveis n f ( ). δ i i= 1 i δ < ρ r 23

24 Condicionamento de uma função O número de condições, kf de uma função f édado por: f '( ) kf = k( f ) = f ( ) Se kf 1 então, a função ébem condicionada, isto é, o erro relativo de r é próimo do erro relativo de. Se kf 1 então, a função émal condicionada, isto é, o erro relativo da função émaior que o erro relativo de. 24