Física Geral. Incertezas em Medidas Diretas

Transcrição

1 Física Geral Incertezas em Medidas Diretas

2 Experimento Simples Medidas diretas: valores resultantes de medições de uma mesma grandeza, realizadas por um mesmo experimentador, com o mesmo instrumento de medição e sob as mesmas condições experimentais. Valor esperado: sendo uma medida (direta) um processo que pode ser repetido indefinidamente, o valor médio desta distribuição hipotética seria o valor esperado da medida. O valor esperado é, portanto, um conceito hipotético

3 Valor Esperado Mesmo sendo hipotético, o valor esperado de uma grandeza pode ser estimado de um conjunto finito de medidas. Amostra: uma parte das infinitas medidas possíveis. População: o conjunto de todos os possíveis valores que uma grandeza.

4 Resultado de uma Medição O resultado da medição de uma grandeza (associado a uma unidade da mesma) é composto de duas parcelas; uma estimativa para o seu valor esperado, e outra, para o erro (ou a incerteza) associado(a) a essa estimativa. Apresentação de em resultado deve ser na forma: estimativa do valor esperado ± erro

5 Resultado de uma Medição estimativa do valor esperado ± erro Qual a melhor estimativa do valor esperado? Qual a incerteza atribuída à estimativa do valor esperado? Qual a espectativa ou nível de confiança de que o intervalo determinado pelo erro contenha o valor hipoteticamente esperado?

6 Resultado de uma Medição Qual a melhor estimativa do valor esperado? Se a medição de uma grandeza for realizada com instrumentos bem calibrados e com procedimentos cuidadosos, uma hipótese fundamental da teoria estatística de erros é que, para um número N (suficientemente grande) de medidas de uma grandeza, a distribuição experimental de freqüências dos dados (distribuição amostral) aproxima-se de uma distribuição tal que a sua média tende ao valor esperado da grandeza.

7 Erros, ou Incertezas As incertezas em um processo de medição são classificadas, tradicionalmente, como aleatórias (estatísticas) ou sistemáticas. As incertezas estatísticas podem ser reduzidas pelo aumento da amostra (i.e., pela repetição de medições), enquanto as incertezas sistemáticas não.

8 Incertezas Sistemáticas

9 Incertezas Sistemáticas

10 Caracterização do Resultado da Medição

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15 Normatização dos conceitos de incertezas

16 Avaliação dos Erros Associados a Incertezas do Tipo A

17 Histograma Gaussiana frequencia x

18 Histograma Gaussiana frequencia x

19 Histograma Gaussiana frequencia x x

20 Histograma Gaussiana frequencia σ x σ x x x

21 frequencia Gaussiana σ x σ x x x

22 Erros em Medidas Individuais ( x ±σ ) x

23 Erro da Média

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26 Erro Relativo A quantidade ε r = σ x x conhecida como erro relativo, caracteriza a precisão de um resultado e é uma indicação da qualidade de um experimento. Pode ser expresso diretamente pelo resultado da razão, como em porcentagens. Por exemplo: 0,01 ou 1%.

27 Pequenas Amostras ( ) ( ) ( ) ( ) = = = N i i N x N x x N x x x x x x s Se a quantidade N de medidas não for suficientemente grande o desvio padrão da amostra pode não representar adequadamente o desvio padrão da população. Nesse caso, usa-se: ao invés de ( ) = = N i i x N x x 1 2 σ

28 A sequência abaixo representa medidas em Ω de um conjunto de 100 resistores. (Seu valor é de 100 Ω com erro de 5%) Obtemos: x = 99,824 Ω e σ x = 4,8299 Ω e s x = 4,854 Ω Para uma sub-amostra de 50 resistores: σ x = N i= 1 ( x x) i N 2 x =100,12 Ω e σ x = 4, Ω e s x = 4, 729 Ω Para uma sub-amostra de 5 resistores: s x = ( x x) N i i= 1 N 1 2 x = 99, 5691Ω e σ x = 4, 5640 Ω e s x = 5,1027 Ω

29 (estimativa padrão)

30 Algarismos Significativos É o número de algarismos necessários para expressar um resultado numérico. - Indicam a precisão de uma estimativa; - Devem ser determinados apenas após o cálculo da incerteza; - Geralmente expressa-se a incerteza apenas com um algarismo significativo; - Expressa-se o valor da estimativa até o algarismo do erro (incerteza). Exemplo: Supondo a estimativa de um comprimento e do seu erro sejam respectivamente: x = 73,648 cm e σ x = 0,2285 cm Escreve - se (73,6 ± 0,2) cm ou 73,6(2) cm

31 Algarismos Significativos Regra de arredondamento - Se a fração for maior que 1/2, o último algarismo significativo é incrementado de um dígito; 8,368 è 8,37 - se a fração for menor que ½, não há incremento; 8,362 è 8,36 - se a fração for igual a 1/2, o último algarismo restante é incrementado apenas se for par. 8,45 è 8,5 8,35 è 8,3

32 Algarismos Significativos Exemplo: x =128, 652 kg e σ x = 0, 428 kg Escreve-se (128,7± 0, 4) kg ou 128,7(4) kg

33 Algarismos Significativos Regra de arredondamento em operações aritméticas:

34 Exercício (3.7.2): Dado um conjunto de medidas da aceleração da gravidade g: {9,90; 9,68; 9,57; 9,72; 9,80} (m/s 2 ) Determine a estimativa padrão para a aceleração da gravidade 5 Física Geral /1 - Exercícios

35 Exercício (3.7.2): Dado um conjunto de medidas da aceleração da gravidade g: {9,90; 9,68; 9,57; 9,72; 9,80} (m/s 2 ) Determine a estimativa padrão para a aceleração da gravidade i) A melhor estimativa para o valor esperado é a média: Média: 9,734 x = 1 N NX i=1 x i 5 Física Geral /1 - Exercícios

36 Exercício (3.7.2): Dado um conjunto de medidas da aceleração da gravidade g: {9,90; 9,68; 9,57; 9,72; 9,80} (m/s 2 ) Determine a estimativa padrão para a aceleração da gravidade i) A melhor estimativa para o valor esperado é a média: Média: 9,734 ii) A estimativa padrão para a incerteza é dada por: Erro padrão: 0, x = x = 1 N v ux t N i=1 NX i=1 x i (x i x) 2 N(N 1) 5 Física Geral /1 - Exercícios

37 Exercício (3.7.2): Dado um conjunto de medidas da aceleração da gravidade g: {9,90; 9,68; 9,57; 9,72; 9,80} (m/s 2 ) Determine a estimativa padrão para a aceleração da gravidade i) A melhor estimativa para o valor esperado é a média: Média: 9,734 ii) A estimativa padrão para a incerteza é dada por: Erro padrão: 0, x = x = 1 N v ux t N i=1 (x i x) 2 N(N 1) iii) Representamos o erro com um algarismo significativo e a medida com o mesmo número de casa decimais: Estimativa padrão para o resultado da medição: (9,73 ± 0,06) m/s 2 NX i=1 x i 5 Física Geral /1 - Exercícios

38 Exercício (3.7.1): De um conjunto de medidas de uma grandeza, a média e o erro padrão são, respectivamente, 16 e 2. Que frações percentuais de leitura são esperadas nos intervalos: a) (14,18) b) (12,16) c) (18,20) 12 Física Geral /1 - Exercícios

39 Exercício (3.7.1): De um conjunto de medidas de uma grandeza, a média e o erro padrão são, respectivamente, 16 e 2. Que frações percentuais de leitura são esperadas nos intervalos: a) (14,18) b) (12,16) c) (18,20) a) (14,18) (16-2, ) (16 - σ, 16 + σ) Associamos ao intervalo o nível de confiança de aprox. 68,3% Para um grande número de leituras, 68,3% delas estarão no intervalo (16 - σ, 16 + σ) 12 Física Geral /1 - Exercícios

40 Exercício (3.7.1): De um conjunto de medidas de uma grandeza, a média e o erro padrão são, respectivamente, 16 e 2. Que frações percentuais de leitura são esperadas nos intervalos: a) (14,18) b) (12,16) c) (18,20) a) (14,18) (16-2, ) (16 - σ, 16 + σ) Associamos ao intervalo o nível de confiança de aprox. 68,3% Para um grande número de leituras, 68,3% delas estarão no intervalo (16 - σ, 16 + σ) b) (12,16) (16-4, ) (16-2σ, σ) Nível de confiança correspondente ao intervalo (16-2σ, σ): 95,5% O nível de confiança correspondente ao intervalo (16-2σ, σ) será a metade: 47,75% 12 Física Geral /1 - Exercícios

41 Exercício (3.7.1): De um conjunto de medidas de uma grandeza, a média e o erro padrão são, respectivamente, 16 e 2. Que frações percentuais de leitura são esperadas nos intervalos: a) (14,18) b) (12,16) c) (18,20) a) (14,18) (16-2, ) (16 - σ, 16 + σ) Associamos ao intervalo o nível de confiança de aprox. 68,3% Para um grande número de leituras, 68,3% delas estarão no intervalo (16 - σ, 16 + σ) b) (12,16) (16-4, ) (16-2σ, σ) Nível de confiança correspondente ao intervalo (16-2σ, σ): 95,5% O nível de confiança correspondente ao intervalo (16-2σ, σ) será a metade: 47,75% c) (18,20) (16 + 1σ, σ) Nível de confiança: 95,5% / 2-68,3% / 2 = 13,6% 12 Física Geral /1 - Exercícios

42 Qual o significado de melhor estimativa ou estimativa-padrão? A estimativa padrão define um intervalo em torno da média, ao qual pode-se atribuir uma espectativa ou nível probabilístico de confiança de que o mesmo contenha o valor esperado. Sendo x valor médio de uma grandeza x σ x erro da média O nível de confiança de que o intervalo ( x σ x, x +σ x ) contenha o valor esperado para a grandeza é de 68,3%. Outra forma de dizer: o intervalo de confiança é de 68,3%

43 Nível de Confiança A estimativa-padrão x ±σ x ou x ±σ x define um intervalo de valores. Podemos dizer, que o nível de confiança de que o valor esperado esteja nesse intervalo é de 68,3%. Outra forma de dizer, é que o intervalo de confiança é de 68,3%. Da mesma forma: x ± 2σ x ou x ± 2σ x 95,5% x ± 3σ x ou x ± 3σ x 99,7%

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45 Experiência de Medidas Diretas Objetivos u Medidas da resistência elétrica de resistores. u Uso de multímetro digital. u Apresentação de resultados com o correto número de algarismos significativos. u Verificação do conceito de desvio padrão e erro da média.

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