1- Medidas Simples e Diretas

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1 1- Medidas Simples e Diretas Três regras básicas: 1) A incerteza (ou erro) associada a uma medida simples e direta é dada por: a) metade da menor divisão da escala do instrumento de medida, quando esta menor divisão já for bem pequena, visualmente (ex.: régua milimetrada); OU b) um décimo da menor divisão, quando esta menor divisão não for tão pequena, visualmente (ex.: régua centimetrada). OBS.: Com um pouco de prática, consegue-se, em muitos casos, melhorar o critério acima para: a) 1/5 ou 1/10 da menor divisão; b) 1/20 da menor divisão. O critério acima é, portanto, o mínimo de precisão (ou a incerteza máxima) que se pode obter com uma medida simples e direta, em situações de "pleno conforto" [pois há situações em que as medidas são feitas sob condições não muito favoráveis (por exemplo, debaixo de um carro, numa peça do motor), em que somos forçados a considerar uma incerteza maior do que a recomendada acima, num critério "caso-a-caso"]. 2) A incerteza deve conter apenas um (1) algarismo significativo, mesmo que para isso seja necessário efetuar algum arredondamento e/ou usar potência de dez e/ou passar para uma outra unidade de medida. Lembrete: Todos os zeros à esquerda (não importa se à esquerda ou à direita da vírgula) não são significativos; zeros à direita são significativos. 3) O número de casas decimais do valor mais provável de uma medida (ou seja, o número antes do sinal de ) tem que ser igual ao número de casas decimais da incerteza (que é o número que fica depois do sinal de ). Exercícios: Escreva os resultados das medidas abaixo, usando o critério de mínima precisão descrito acima. Depois, se quiser, refaça todos os exercícios, usando um critério melhor, de acordo com sua prática e acuidade visual. 1) 2) 3) 1/10

2 4) 5) 6) 7) ( ) 0 km/h 120 8) ( ) 0 rpm ) ( ) 0 rpm 600 2/10

3 10) Detalhe de uma medida feita com um paquímetro: cm 0,05 mm ) Idem: cm 0,05 mm ) Idem: cm 0,05 mm ) Detalhe de uma medida feita com um micrômetro: ) Detalhe de uma medida feita com um micrômetro idêntico ao do item anterior: /10

4 2- Medidas Indiretas Quando efetuamos medidas diretas (por exemplo, a distância percorrida x e o intervalo de tempo t de um certo movimento) e, de posse destes valores, calculamos uma outra grandeza (neste exemplo, poderia ser a velocidade média = x/t), a este valor calculado dá-se o nome de uma medida indireta. Esta é, portanto, sempre fundamentada em um modelo teórico, que pode constar de meras definições (como no ex. citado), ou, ainda, de hipóteses, leis físicas e/ou resultados empíricos. [Por exemplo, baseado em algum argumento físico e hipóteses simplificadoras, poderíamos supor que o movimento de nosso ex. é uniformemente variado e, se a partida é do repouso, calcularíamos a sua aceleração a por meio de a = 2x/t 2 ]. Como toda medida, as medidas indiretas também precisam ser registradas com os seguintes elementos: valor mais provável, incerteza e unidades, ou seja, no formato [(x ) unid], além de respeitar as 2 últimas regras listadas na 1 a página. Existem alguns métodos quase equivalentes entre si para se calcular a incerteza de uma medida indireta (este cálculo também é conhecido como "propagação do erro"). Citaremos dois, conforme exemplo abaixo. O 1 o é mais simples, mas o 2 o é mais correto (e sempre dá um valor ligeiramente menor). Exemplo: Uma situação conforme já citado (movimento): mede-se diretamente x = 22,45 0,05 cm e t = 8,34 0,01 s representando, respectivamente, a distância percorrida e o intervalo de tempo de um certo movimento. Portanto, a velocidade média v m será obtida assim: x/t = 22,45/8,34 = 2, cm/s (valor provisório para o valor mais provável de v m ). 1 o método para o cálculo da incerteza ( ) de v m : v m(max) = x MAX / t min = 22,50/8,33 = 2, v m(min) = x min / t MAX = 22,40/8,35 = 2, = [ v m(max) v m(min) ]/2 = (2, , )/2 = = 0, Usando a regra básica n. o 2: = 0,009 cm/s. Finalmente, usando a regra básica n. o 3, chegamos ao resultado final: v m = 2,692 0,009 cm/s ou 26,92 0,09 mm/s ou (2,692 0,009) 10 2 m/s. 2 o método para o cálculo da incerteza ( ) de v m : Usa-se um resultado da Ciência Estatística, que é: ( f ) 2 = [( f/ x) x ] 2 + [( f/ y) y ] 2, onde f é função de x e de y, isto é, f(x,y), e f é a incerteza da grandeza f, x é a incerteza da grandeza x, e y é a incerteza da grandeza y. [E assim por diante, caso f dependa de mais do que duas variáveis.] No nosso ex., temos x = x, y = t e f = v m = x/t,. Portanto: f/ x = v m / x = 1/t = 1/8,34 = 0, , x = 0,05 f/ y = v m / t = x/t 2 = 22,45/8,34 2 = 0, , t = 0,01 ( ) 2 = (0, ,05) 2 + ( 0, ,01) 2 => = 0, => deixando só 1 alg.sign. => = 0,007. Resultado final: v m = 2,692 0,007 cm/s ou 26,92 0,07 mm/s ou (2,692 0,007) 10 2 m/s. 4/10

5 3- Medidas Repetidas Algumas medidas precisam ser repetidas várias vezes a fim de se fazer uma média, pois elas nem sempre dão o mesmo resultado. Não é o caso, obviamente, de medidas estáticas, como por exemplo, a medida de um determinado comprimento de uma só peça. Mas é o caso, por exemplo, de medidas dinâmicas [como, p.ex., a medição da aceleração da gravidade (g)] ou as referentes a um lote de peças "idênticas". Tomando emprestado resultados da Ciência Estatística, aprenderemos abaixo como obter o valor experimental (isto é, o valor mais provável e a incerteza) de uma grandeza por meio de medidas repetidas. x, x,, x : os n valores da grandeza x. 1 2 n x valor mais provável de x = (média aritmética de x,, x ) x1 x2 xn x n incerteza associada às n medidas de x, onde = desvio padrão, dado por: n ( x1 - x) ( x2 - x) ( xn - x) n -1 Exemplo: Num experimento para a determinação da aceleração da gravidade (g), foram obtidos os seguintes resultados experimentais: 1 n medida nº... g (m/s 2 ) (g - média) 2 1 9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , somatórios: 194, , Cálculos: 194, x 9, , , , , Arredondando de modo que a incerteza fique com apenas 1 algarismo significativo: 0, , Resultado final: g = (9,731 0,005) m/s 2 OBS.: Em cada uma das 20 medidas de g acima, a incerteza vale cada uma = 0, m/s 2 (não indicado na tabela). Caso fosse cada uma um valor maior do que o obtido 5/10

6 acima (= 0,005 m/s 2 ), deveríamos considerar o 1 o como o valor da incerteza de g. Por exemplo, se fosse cada uma = 0,01 m/s 2, deveríamos escrever como resultado final o seguinte valor: g = (9,73 0,01) m/s 2. Exercício: Um aluno do CEFET-RJ determinou a densidade linear (massa por unidade comprimento, em g/m) de um fio de algodão cortando e pesando aleatoriamente comprimentos curtos de uma amostra. Os seus resultados estão resumidos na tabela sombreada abaixo. Na outra tabela (mais à direita), são exibidos alguns cálculos e, na linha inferior, são fornecidos somatórios que podem ser úteis no que se pede a seguir. Densidade Linear (g/m) +0,01g/m Freqüência Densidade Linear X Freqüência Desvio da medida Desvio Quadrado Desvio Quadrado x Freqüência 34, ,1 1,01 1,0201 1, , ,3 0,81 0,6561 0, , ,4 0,71 0,5041 0, , ,4 0,41 0,1681 0, , ,6 0,31 0,0961 0, , ,0 0,11 0,0121 0, , ,2 0,01 0,0001 0, , ,2 0,09 0,0081 0, , ,6 0,19 0,0361 0, , ,5 0,39 0,1521 0, , ,2 0,49 0,2401 0, , ,7 0,59 0,3481 0, , ,9 0,79 0,6241 0, , ,1 0,99 0,9801 0,9801 Somatórios: 491, ,20 0,16 4,8454 5,3980 OBS.: A freqüência de uma medida é o número de vezes que aquela medida apareceu repetida. Por exemplo, o resultado 34,80 g/m foi obtido 2 vezes. No exemplo resolvido (anterior), não havia nenhum par de resultados iguais, isto é, a freqüência de cada medida do ex. anterior era igual a 1, para todas elas. a) Calcule o valor médio da distribuição de medidas. b) Calcule o desvio padrão destas medidas. c) Registre corretamente (algarismos significativos, incerteza experimental e unidades) o valor da densidade linear ( ) do fio de algodão. 6/10

7 4- Método dos Mínimos Quadrados (Ex.: Lei de Hooke) O objetivo é obter a constante elástica, k, da mola, definida pela equação: k = F/x, onde F é o módulo da força aplicada ao longo da mola e x é a correspondente deformação, ou variação de comprimento, sofrida pela mesma. Tal equação é conhecida pelo nome de Lei de Hooke e diz que a deformação sofrida é diretamente proporcional à força aplicada. Quando um objeto, como a mola deste experimento, segue esta lei, dizse que o objeto está em sua fase elástica, na qual a deformação cessa quando a força é suprimida. Caso a força se torne muito grande, a deformação passa a ser permanente (fase plástica) e a lei de Hooke deixa de ser válida. [É claro que isso não deve ser feito no experimento, pois estragaria a mola.] Procedimento Experimental: o esquema da figura abaixo foi montado e a mola foi distendida (esticada) de 2,00 0,05 cm (portanto, x = 2,00 0,05 cm) e a correspondente força aplicada na mola foi medida pelo sensor de força (um dinamômetro). A seguir, a mola foi esticada mais 2,00 cm (portanto, x = 4,00 0,05 cm) e a correspondente força aplicada na mola também foi medida pelo sensor de força, e assim por diante, tomando-se o cuidado de não esticar demais a mola, para não deformá-la permanentemente. Um exemplo de resultado está ao lado. Sensor de força Fo rc e S e ns o r Mola Sp ring O ne Fiv e -p a tte rn p ic k e t fe nc e Carrinho x (m) F (N) 0,0000 0,0305 0,0200 0,0610 0,0400 0,0916 0,0600 0,1526 0,0800 0,2136 0,1000 0,2747 0,1200 0,3357 0,1400 0,3967 0,1600 0,4883 0,1800 0,5188 0,2000 0,5799 0,2200 0,6409 0,2400 0,7019 E nd -s to p Ca rt R e fe re nc e line T ra c k O experimentador informa também que o sensor de força utilizado possui incerteza igual a 0,0001 N. Denotaremos esta quantidade assim: y = 0,0001 N. A incerteza das medidas de x (feitas com uma régua milimetrada acoplada ao trilho por onde o carrinho deslizou) vale: 1 mm 2 = 0,5 mm = 0,05 cm, conforme já visto. Os dados acima podem ser armazenados por um programa de computador (p.ex., o Excel), que fornece a equação da reta (y = ax + b) que melhor interpola os dados, com os correspondentes coeficientes, o linear (b) e o angular (a), já calculados. Abaixo, o resultado exibido pelo Excel. 7/10

8 A forma do Excel escrever a equação da reta, y = ax + b, corresponde, neste experimento, a F = kx + b, ou seja, a = k (constante elástica da mola) e b não tem significado físico, pois, teoricamente, deveria ser sempre zero, já que corresponde ao valor da força aplicada quando a mola tem deformação zero. O que faz b não ser exatamente zero, no experimento, são as inevitáveis incertezas experimentais. Portanto, este experimento revela que a constante elástica da mola utilizada vale: k = 2,9261 N/m. Como o Excel calcula estes coeficientes? Pelo método dos mínimos quadrados (ou dos quadrados mínimos), um tópico da Ciência Estatística que não poderemos examinar em detalhe aqui, mas cujo resultado é o seguinte: b = [ x i 2 y i x i x i y i ] / e a = [ N x i y i x i y i ] /, sendo: = N x i 2 ( x i ) 2. Nestas fórmulas, N é o número de pontos do gráfico (ou de linhas na tabela), igual a 13 neste ex.; x i (i = 1, 2,..., N) são os N valores da 1 a coluna e y i (i = 1, 2,..., N) são os N valores da 2 a coluna, sendo todos os somatórios (indicados pelo tradicional símbolo ) tomados desde i = 1 até i = N. A tabela a seguir (elaborada no Excel) auxiliará o leitor a usar as fórmulas acima para conferir os valores de a e b obtidos pelo mesmo Excel. Obtenção da incerteza do coeficiente a : Agora, iremos calcular a incerteza da medida da constante elástica obtida. O cálculo é feito conforme explicitado abaixo e faz parte (assim como o cálculo de a e de b, fornecidos automaticamente pelo Excel) do método dos mínimos quadrados (ou dos quadrados mínimos). 8/10

9 x (m) y (N) x 2 x y ax + b [y (ax + b)] 2 0,00 0,0305 0,0000 0, , , ,02 0,0610 0,0004 0, , , ,04 0,0916 0,0016 0, , , ,06 0,1526 0,0036 0, , , ,08 0,2136 0,0064 0, , , ,10 0,2747 0,0100 0, , , ,12 0,3357 0,0144 0, , , ,14 0,3967 0,0196 0, , , ,16 0,4883 0,0256 0, , , ,18 0,5188 0,0324 0, , , ,20 0,5799 0,0400 0, , , ,22 0,6409 0,0484 0, , , ,24 0,7019 0,0576 0, , , ,56 4,4862 0,2600 0, , (soma ) (soma) (soma) (soma) (soma) = x. = y. = x 2. = xy. = [y (a 1 + a 2 x)] 2. N x 2 i ( x i ) 2 = 0,9464 a = [ N x i y i x i y i ] / 2, b = [ x 2 i y i x i x i y i ] / = -0, y raiz{ y ax+b } 0, y 0,0001 y 0,0173 (maior dos 2 acima) N = número de medidas = 13 a = y * raiz(n/ ) = 0, ~ 0,06 Resposta final: k = (2,93 0,06) N/m Fórmulas utilizadas: y = { [y (ax + b)] 2 / (N 2)} = N x 2 ( x) 2 Incerteza de a: a = y * N/ Caso b fosse fisicamente relevante e quiséssemos calcular sua incerteza, usaríamos a seguinte fórmula: b = y * ( x i 2 )/. Exercício: refaça o exemplo anterior trocando os eixos, isto é, considerando como x a força e y a deformação. Obviamente, a constante elástica (k) agora é o inverso do coeficiente angular (a). Você deverá encontrar aproximadamente o mesmo valor de k, porém com uma incerteza diferente. Na realidade, é importante saber que este seria o procedimento mais correto (apesar de menos natural) para este exemplo específico, pois 9/10

10 o método dos mínimos quadrados é tanto mais preciso quanto menor for a incerteza das medidas do eixo horizontal em comparação com as do eixo vertical (lembre que, neste ex., temos, para as forças, incertezas de aprox. 0,0001/0,35 0,03%, enquanto que, para as deformações, temos incertezas de aprox. 0,05/12 0,4%) Respostas dos exercícios da Seção 1: OBS.: Outras respostas, dentro das respectivas incertezas, também seriam aceitáveis, já que o último algarismo é sempre duvidoso (ou seja, avaliado visualmente). 1) 2,7 0,1 cm. 2) 3,0 0,1 cm. 3) 3,15 0,05 cm. 4) 3,05 0,05 cm. 5) 2,80 0,05 cm. 6) 3,00 0,05 cm. 7) 76 2 km/h. 8) A princípio, seria rpm; porém, para que só fique 1 alg. sign. na incerteza (regra básica n. o 2), a resposta correta é: (2,40 0,05) 10 3 rpm. 9) rpm. 10) 8,65 0,03 mm. 11) 11,00 0,03 mm. 12) 10,00 0,03 mm. 13) 16,983 0,005 mm. 14) 15,000 0,005 mm. Respostas do exercício da Seção 3: a) 702,20/20 = 35,11 g/m. b) raiz(5,3980/19) = 0, g/m. c) = 0, /raiz(20) = 0,119 0,1 > cada uma = 0,01 = 35,1 0,1 g/m. 10/10