Tratamento estatístico de dados experimentais - conceitos básicos

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1 Tratamento estatístico de dados eperimentais - conceitos básicos 1 Incerteza associada a uma medição Propagação de erros 3 Representação gráfica 4 Pequeno guia para criar gráficos 5 Regressão linear 1

2 1 Incerteza associada a uma medição Todas as medidas estão afetadas de uma incerteza porque qualquer instrumento, por melor que seja, tem uma escala e a epressão da medida real nessa escala implica sempre uma aproimação a medida eata Erro é a diferença entre o valor medido e o valor verdadeiro da grandeza em análise Incerteza é o parâmetro associado ao resultado de uma medição de uma grandeza física que caracteriza a dispersão de valores que podem ser atribuídos a essa grandeza

3 1.1 Um eemplo com uma régua milimétrica Uma régua comum, graduada em milímetros l é o comprimento do objeto 5 < l < 6 (mm) a etremidade do objeto está entre os valores 5 mm e 6 mm l 6.0± 0.5 (mm) (0.5 mm é a metade da menor divisão da escala) Significa que podemos estar a cometer um erro máimo de 0.5 mm na nossa leitura A este valor de 0.5 mm camamos INCERTEZA INSTRUMENTAL 3

4 Agora vamos imaginar que a régua é bem grande e portanto temos uma escala mais ampliada e que por isso podemos perceber com mais clareza A marca mais próima é 6 Que o comprimento real não ultrapassa 6 As informações anteriores levam-nos a concluir que 5.5 < l < 6.0 (mm) Portanto, a leitura deverá agora ser epressa como l 5.75 ± 0.5 (mm) Note-se que neste caso o valor medido não coincide com os valores da escala (1,,3,4,5,6,... ) Os valores medidos estão desviados de um quarto da menor divisão relativamente aos valores da escala. 4

5 1. A generalização do eemplo para a regra a seguir nas aulas O eemplo que foi referido na secção anterior poderia ser generalizado a qualquer escala analógica (uma escala contínua) Regra 1: A incerteza associada a uma escala analógica corresponde a metade da sua menor divisão Regra 1 (estendida): A incerteza associada a uma escala analógica pode ir até um quarto da sua menor divisão 5

6 1.3 Escalas digitais E quanto as escalas digitais, como nos cronómetros ou balanças digitais? A diferença, é que não temos acesso ao meio da escala escala descontínua Pensemos, por eemplo, num cronómetro digital de segundos Imaginemos que fazemos uma cronometragem que deu 5 s 5 < t < 6 s Portanto poderíamos escrever como anteriormente: t 5.5±0.5 s mas á um problema adicional nas escalas digitais! 6

7 A calibração do ponto zero também e afetada pela incerteza da escala digital! incerteza total incerteza associada a medida + a incerteza associada a calibração do zero (metade da menor divisão da escala) + (também metade da menor divisão da escala) Voltando ao eemplo anterior, a leitura do tempo deverá ser então dada por t 5 ±1 s Regra : A incerteza associada a uma escala digital corresponde a sua menor divisão Regra (estendida): A incerteza associada a uma escala digital pode considerar-se como sendo metade da sua menor divisão se pudermos desprezar as incertezas associadas a calibração do zero 7

8 1.4 O número de casas decimais de uma medida Regra 3: O número de casas decimais (nc) de uma medida deve ser igual ao número de casas decimais da incerteza instrumental Eemplos: l ± m 8

9 1.5 Algarismos significativos O número de algarismos significativos (nas) associado a uma dada medida é igual ao número de algarismos que têm realmente significado esta definição quer dizer implicitamente que nem todos os algarismos têm significado Casos em que um algarismo não conta (não é significativo) Ø Zeros a esquerda não contam: 09 9 o primeiro zero é redundante e não serve para nada - não é significativo Ø Zeros a direita não contam se apenas indicarem ordem de grandeza Quando se diz que á 10 milões de portugueses Não quer dizer que é o valor eato de portugueses este valor é apenas uma ordem de grandeza 9

10 Mas suponamos que o ultimo censo dava eatamente nem um a mais, nem um a menos. Como indicar que agora todos os zeros são significativos, porque derivados de uma contagem real? A resposta é: COLOCANO UM PONTO ECIMAL NO FIM (a) Zeros não significativos: (sem ponto) (b) Zeros significativos: (com ponto) Uma outra forma de justificar o ponto anterior (a) e notar que o número de portugueses se pode escrever aproimadamente potência de 10 O único AS é o 1 Todos os outros zeros estão condensados na potência, a que não associamos nenum AS 10

11 Regra 4: Zeros a esquerda e zeros representativos de ordem de grandeza não são significativos. O primeiro AS conta por se for 5. 11

12 1.6 Há relação entre o nc e o nas? Se forem números em abstrato o nc e o nas são independentes entre si, mas para as medições, podemos dizer que á realmente uma relação entre eles Eemplo: Um objeto com 3.568(... ) m e medido em duas réguas: uma com escala milimétrica e outra com escala centimétrica. Ø A leitura na escala milimétrica será l ± 0.5 mm. nc1 nas5 Escrevendo a leitura em cm, l ± 0.05 cm. nc nas5 Ø A leitura na escala centimétrica será l 36.0 ± 0.5 cm. nc1 nas4 Para o mesmo objeto e medida, mudar de escala implica mudar de nas A escala determina o nc o nc determina o nas 1

13 Eemplos: 13

14 1.7 Series de medidas Tudo o que discutimos ate agora se referiu apenas a uma medida Para certas grandezas, normalmente fazemos uma série de medidas Eemplo: Medição do tempo que uma esfera leva a deslizar sobre um plano inclinado Resultados Os tempos não são todos iguais porque á muitos fatores não controláveis a influenciar o resultado da medida: a sincronia da largada do corpo com o início da contagem, o tempo de reação do operador e a própria forma como o corpo e largado. 14

15 Como representaremos este conjunto de dados? Vamos supor que fizemos mil medições do tempo, para a mesma eperiência. Fazemos um istograma destas contagens considerando: Ø a classe 4.5 contém todas as repetições em que se observou t < 4.5 s Ø a classe 4.6 contém todos as repetições em que se observou 4.5 t < 4.6 s Ø a classe 4.7 contem todos as repetições em que se observou 4.6 t < 4:7 s Ø... Ø a classe 6.4 contem todos as repetições em que se observou 6.3 t < 6.4 s Ø a classe 6.5 contem todos as repetições em que se observou 6.4 t s 15

16 HISTOGRAMA 50 Frequência absoluta Classe de contagem do tempo em s A classe mais observada é a classe 5.5, que corresponde a 5.4 t < 5.5 s com cerca de 00 eventos observados epois seguem-se as classes 5.4 e 5.6 com aproimadamente 170 eventos cada 16

17 As classes poderiam tornar-se tão estreitas quanto quiséssemos e acabaríamos por obter uma distribuição contínua. 17

18 No nosso caso a distribuição contínua, está representada a vermelo ISTRIBUIÇÃO GAUSSIANA OU NORMAL 18

19 σ A forma do sino é definida pelo desvio padrão σ A distribuição Normal (ou Gaussiana ) é simétrica em torno do ponto µ, e que representa a média da distribuição µ A forma matemática da distribuição Normal é dada por: N(, A 0, σ) A 0 ep π ( µ ) σ σ N (, A 0, σ ) A 0 representa o valor da função no ponto é a amplitude da função 19

20 os valores observados na medição 68% no intervalo [ µ σ, µ + σ] 95% no intervalo [ µ σ, µ + σ ] 99.7% no intervalo [ µ 3σ, µ + 3σ] Por isso a forma ideal de caracterizar a medição é escrever: µ ± σ 0

21 Para um número finito de medições (10 ou mais valores) Ø estimamos o valor de µ através do cálculo do valor médio () N N i i 1 N é o número de medições e { é o conjunto das medidas i } Ø consideramos o desvio padrão (σ ) da amostra com sendo s e que corresponde a s N 1 ( ) i N 1 Escrevemos a medição na forma: ± s 1

22 Podemos ter duas incertezas associadas às medidas Ø Para uma medida individual apresentamos o resultado na forma é o valor da escala 0 ± Δ 0 Δ é a incerteza associada a escala Ø Para uma série de medidas apresentamos o resultado na forma ± s s é o valor médio das medidas é a incerteza estatística { s} ± ma Δ, Regra 5: A representação de uma serie de medidas faz-se na forma em que é o valor médio da amostra * e s é o desvio padrão da amostra **, e Δ é a incerteza da escala. * N i 1 N i N 1 ** s ( ) i N 1

23 Voltando às medições do tempo de deslizamento duma esfera sobre um plano inclinado 5.54 s s s Δ 0.01 s A medição deve apresentar-se na forma: t 5.54 ± 0.5 s Note-se que para escrever o resultado final o valor de s foi comutado para o número de casas decimais da incerteza instrumental. Isto constitui a regra seguinte: Regra 6: Os valores da média e desvio padrão devem ser escritos com o mesmo nc da incerteza instrumental. Em geral, quando se escreve uma medida na forma valor ± incerteza, o nc do valor e da incerteza devem ser iguais. 3

24 Propagação de erros (ou propagação de incertezas) Muitas vezes precisamos calcular uma grandeza a partir de um conjunto de medidas de grandezas eperimentais afetadas de incertezas. E depois será necessário quantificar a incerteza da grandeza calculada Eemplo: Quero saber a área de um retângulo, de lados a e b. Se consideramos que cada lado do retângulo foi medido com uma régua diferente: Δa é a incerteza de a Δb é a incerteza de b Qual será a incerteza ΔA da área Aab? a b A Esta incerteza pode ser calculada através da fórmula de propagação de incertezas (erros) que estudaremos a seguir 4

25 MÉTOO PARA UTILIZAR NAS AULAS PRÁTICAS.3 Cálculo da incerteza associada a uma operação sobre medidas - caso Δ«A GRANEZA EPENE E UMA VARIÁVEL Queremos determinar a incerteza de uma grandeza G que é função de uma outra grandeza : Gf() A incerteza de é Δ. enominaremos de ΔG a incerteza de G e acordo com a epansão de Taylor podemos calcular o valor de f( + Δ ) a partir do valor de f(), se Δ «( que é o nosso caso). Aproimação de 1º ordem da série de Taylor: f( + Δ ) f()+ Δ f () Δ f () f( + Δ )- f() ou Δ f () ΔG Δ dg d ΔG ΔG dg d Δ 5

26 Eemplo 1. Cálculo da área do quadrado L A L Resultado da medição do lado do quadrado L 5.0 ± m m nas L 5.0 m ΔL 0.5 m L dg da Cálculo de ΔV utilizando a epressão: ΔG Δ ΔA ΔL d dl ΔA dl ( ) ΔL LΔL m dl A 5 ± 5 m 6

27 Eemplo. Cálculo do volume de uma esfera a partir do valor do diâmetro. Resultado da medição do diâmetro da esfera V 3 4 π 3 π ± 0.05 mm mm Δ 0.05 mm nas4 Cálculo de ΔV utilizando a epressão: ΔG dg d G G Δ ΔV dv d Δ V ± mm nas4 7

28 8.4 Cálculo da incerteza associada a uma operação sobre medidas - caso de mais do que uma variável A GRANEZA EPENE E MAIS E UMA VARIÁVEL Neste caso, para obter a incerteza ΔG, usamos uma generalização de Para esse fim temos que utilizar a derivada parcial d dg G Δ Δ ( ) ( ) ( ) 1 1 n n G... G G G Δ + Δ + Δ Δ ),...,, ( 1 n f G m m m (ab) b a que sabendo As derivadas parciais são calculadas em n n e, Δ + Δ + Δ Δ n n G... G G G

29 Eemplo 3 : Cálculo da incerteza da velocidade. v t ou v t 1 A velocidade depende de duas variáveis : o espaço que tem uma incerteza Δ e o tempo t que tem uma incerteza Δt.0 ± 0.5 cm.00 cm Δ 0.05 cm t 3.0 ± 0.1s t 3.0 s Δt 0.1 s v t cm/s 0.7 cm/s nas Para calcular a incerteza da velocidade, Δv, utilizamos: Δv v Δ + v t Δt v Δ 1 ( t ) 1 1 Δ t Δ Δ t ; v t ( t t 1 ) t t Δv ( ) + ( 0.) 0. 8 v 0.7 ± 0. cm/s nas 9

30 30 Eemplo 4 : Cálculo do volume de um cilindro a partir do valor do diâmetro e da altura do cilindro e da incerteza do volume. π π V 4 4 A π Δ + Δ Δ V V V ,, π.. π π π V, 0.05 mm ± Δ mm 0.05 mm mm ± Δ mm mm e ,, π. π π V nas4 nas4

31 ΔV V Δ V + Δ Substituindo os valores na epressão acima ΔV ΔV ( ) + ( ) obtemos A π 4 ΔV mm V π π nas4 V V ± ΔV 3 mm V ± 0.7 mm nas4 31

32 3 Representação gráfica 3.1 Regras básicas para construir gráficos 3

33 Eemplo do que não se deve fazer num gráfico 33

34 3. Barras de erro A barra de erro tem por amplitude o valor do desvio padrão amostra. Quando olamos para um gráfico com barras de erro conseguimos visualizar a dispersão dos valores. Por eemplo, para a primeira altura, 0.5m, os valores cronometrados variaram aproimadamente entre 0.8 e 0.36 s, com um valor medio a 0.3 s. 34

35 3.3 Linearização de gráficos 35