Movimento Retilíneo Uniforme Variado M08

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1 FSC /1 Movimento Retilíneo Uniforme Variado M08 Ø Introdução e teoria básica Nesta experiência estudaremos o movimento retilíneo uniformemente variado (vulgo MRUV) observando o movimento de um carrinho sobre um trilho de alumínio com perfurações através das quais fazemos passar um fluxo de ar capaz de faze-lo flutuar. O trilho será desnivelado, criando assim uma componente não balanceada da força peso que fará o carrinho descer o trilho de forma acelerada e praticamente sem atrito. A posição (x) e velocidade (v) do carrinho em um instante (t) depois de seu lançamento são dadas pela manjadíssimas equações da cinemática do MRUV: (1) onde a é a aceleração, x 0 e v 0 são a posição e velocidade iniciais (t = 0) do carrinho. Na prática, o carrinho partirá do repouso (v 0 = 0), de modo que as equações que efetivamente nos interessam são (2) (3) (4) Ø Objetivos O objetivo do experimento é determinar a aceleração do carrinho. Isso será feito de 3 maneiras distintas: 1) Parte I: Combinando uma medida do desnível do trilho com uma decomposição elementar das forças em ação para prever a aceleração esperada. 2) Parte II: Analisando graficamente os tempos t que o carrinho leva para atingir diferentes posições x ao longo do trilho, e usando a equação 3 para estimar a. 3) Parte III: Combinando uma medida do tempo para chegar até uma posição com uma estimativa da velocidade instantânea nesse momento para, usando a equação 4, inferir o valor de a. As seções abaixo detalham os procedimentos a serem seguidos nestas 3 partes da experiência. Além de preencher as tabelas fornecidas, você deve fazer o gráfico pedido na parte II, e responder ao questionário ao final desse roteiro. Ø Cuidados preliminares Para realizar a experiência com o trilho de ar deve-se ter alguns cuidados preliminares: a) verificar o balanceamento do carrinho e o nivelamento do trilho; b) JAMAIS posicionar o carrinho no trilho quando o fluxo de ar estiver desligado, nem desligar o ar com o carrinho ainda sobre o trilho; c) não se apoiar sobre a bancada enquanto se realizam medidas para não alterar o nivelamento estabelecido. 1

2 Ø Parte I Após os cuidados preliminares acima, meça a altura (h) do calço de madeira disponibilizado. Para tanto use o instrumento disponível que lhe proporcione a medida mais precisa possível de h. Anote sua medida na Tabela 1. Mesmo antes de botar o carrinho para andar, você deve ser capaz de prever qual será sua aceleração usando apenas a medida do desnível h e sabendo que a distância entre os pés do trilho é d = (100,00 ± 0.01) cm. Anote o valor previsto de a na Tabela 1. Não é necessário propagar o erro nesse cálculo da aceleração prevista, mas escreva seu resultado obedecendo as regras de operações com algarismos significativos. Dica: Faça um diagrama do trilho desnivelado e das forças envolvidas. Use g = 979,15 cm/s 2. Ø Parte II Nesta parte da experiência mediremos o tempo t que o carrinho leva para ir de uma posição inicial x 0 até uma outra posição x ao longo do trilho. Variaremos x e mediremos como o tempo t varia em função de x, anotando as medidas na Tabela 2. Os dados serão analisados linearizando a equação 3 e aplicando o método dos mínimos quadrados para estimar a aceleração a que melhor representa os dados experimentais coletados. Coleta de dados: Com o trilho já desnivelado, siga os seguintes passos: 1. Ligue a ventoinha e posicione o carrinho em contato com o disparador. Como a maioria dos disparadores não está funcionando, segure o carrinho gentilmente, sem força-lo contra o trilho! 2. Meça a posição inicial do carrinho (P 0 ). Para tanto desloque um dos sensores de tempo e posicione-o de modo que ele seja disparado no instante em que o carrinho for solto. Leia a posição do pé do carrinho na direção do movimento com a trena acoplada ao próprio trilho de ar. Este pé dianteiro será usado para medir posições do carrinho. Anote o valor de P 0 na Tabela Desloque o carrinho aproximadamente 25 cm ao longo do trilho. Posicione o segundo sensor de modo que ele seja disparado quando o carrinho atingir esta nova posição x. Leia o valor de x na trena e anote-o na Tabela Volte o carrinho a sua posição inicial. Zere o cronômetro e solte o carrinho. O cronômetro parará no momento em que sua bandeirola cruzar o segundo sensor. Anote o tempo t correspondente na Tabela Repita a medida do tempo mais duas vezes, anotando os resultados na Tabela Completadas 3 medidas, anote o valor médio de t na Tabela 2. Para simplificar a análise, não é necessário calcular a incerteza nessa média. 7. Posicione o segundo sensor a aproximadamente 25 cm de sua posição anterior e repita os passos 4, 5 e 6 até completar a Tabela 2. Análise: Para analisar os dados da Tabela 2 vamos utilizar um tratamento gráfico: a) Linearize a equação levando em consideração quem foi a variável independente (X) e quem foi a variável dependente (Y) nesta parte do experimento. Identifique X e Y, bem como os coeficientes A e B da reta Y = A + B X na Tabela 3. b) Aplicando o método dos mínimos quadrados (regressão linear), estime os valores dos coeficientes A e B da melhor reta. Use os valores obtidos para A e B para estimar os valores da posição inicial (x 0 ) e da aceleração (a) do carrinho que melhor descrevem seus resultados experimentais. Anote tudo na Tabela 3. Tenha o cuidado de anotar seus resultados apenas com os algarismos significativos. c) Faça um gráfico de Y contra X, indicando tantos os pontos experimentais como a melhor reta calculada. 2

3 Ø Parte III Nesta última parte da experiência posicionaremos um sensor aproximadamente na metade do trilho e mediremos dois tempos: O tempo t que o carrinho leva para ir da posição inicial até o meio do trilho, e o tempo de passagem T durante o qual a bandeirola interrompe o feixe de luz infravermelha do sensor. Medindo também o comprimento L da bandeirola, podemos estimar a velocidade instantânea v do carrinho no instante t usando v = L / T. Combinando essas medidas com a equação 4, v = a t, podemos estimar a aceleração a. Coleta de dados: Para implementar esta ideias siga os seguintes passos: 1. Posicione o carrinho em contato com o disparador, com o primeiro sensor posicionado de forma a ser disparado assim que o carrinho for solto. 2. Posicione o segundo sensor aproximadamente na metade do trilho. 3. Solte o carrinho e meça o tempo t que ele leva para chegar até o segundo sensor. Repita a medida 5 vezes, anotando-as na Tabela Meça o comprimento L da bandeirola, anotando-o na Tabela Afaste o primeiro sensor e ajuste o cronômetro de modo a medir o tempo de passagem da bandeirola. 6. Solte o carrinho de sua posição inicial e meça 5 vezes o tempo de passagem T. Anote as medidas individuais na Tabela 4. Análise: Analisaremos os dados coletados com um tratamento estatístico, visando obter não apenas um valor para a aceleração do carrinho (a), mas também a incerteza nesse valor (Δa). Antes de mais nada vejamos como expressar a aceleração a como uma função das medidas de L, t, e T. Da equação 4 sabemos que a = v / t, onde v é a velocidade v do carrinho no instante t. Por sua vez essa velocidade instantânea pode ser estimada a partir de v = L / T. Combinando as duas equações obtemos a aceleração a em termos das variáveis L, t, e T: (5) Para calcular a basta usar o valor de L e os valores médios de t e T. Já para calcular o erro em a precisamos aplicar a fórmula da propagação de erros à equação 5 para ver como as incertezas em L, t, e T se propagam para a: (6) onde ΔL, Δt, e ΔT são os erros totais em L, t, e T, respectivamente. No dia da prova você terá que fazer isso sozinho, mas hoje vamos dar uma ajudinha grátis: (7) Assim como no cálculo de a, os valores de t e T que entram nessa contam são os valores médios (t e T). Como temos apenas uma medida de L, a incerteza ΔL é igual a seu erro de escala, ΔL esc. Já para os tempos t e T temos tanto erros de escala, Δt esc e ΔT esc, como erros de natureza estatística (erro aleatório provável), E ap (t) e E ap (T), os quais devem ser somados aos de escala para obter os erros totais. Para botar essa matemática toda para funcionar siga os seguintes passos: a) Calcule a média, desvio padrão, erro aleatório provável (= desvio padrão da média), e o erro total em t e T. Anote os resultados na Tabela 5. Atenção: Não arredonde os valores ainda, pois esta é uma etapa intermediária dos cálculos! b) Insira os valores de L e ΔL, os valores médios e erros totais em t e T na equação 7. Anote a conta em detalhe e sem arredondamentos na Tabela 5. c) Use os resultados para calcular a aceleração a e sua incerteza Δa. Anote tudo na Tabela 5. 3

4 Ø Questionário Questão 1: Na Tabela 1 você fez uma previsão teórica do valor da aceleração do carrinho, baseada apenas em trigonometria e nas leis de Newton. Já nas partes II e III você mediu a aceleração experimentalmente. Quais das duas acelerações mais se aproxima da previsão teórica? Responda a pergunta calculando os erros percentuais dos valores de a obtidos partes II e III com respeito ao valor obtido na parte I. Questão 2: Além da aceleração, sua análise de mínimos quadrados resultou em uma estimativa da posição inicial do carrinho (x 0, na Tabela 3). O valor obtido é condizente com o esperado? Justifique. Questão 3: Nesta experiência você obteve a aceleração média do carrinho. Por que esta aceleração pode ser empregada nas equações do MRUV? 4

5 Tabela 1 Parte I Desnível (altura do calço) Aceleração prevista h (cm) = a (cm/s 2 ) = Tabela 2 Coleta de dados da Parte II P 0 (cm) = x (cm) t 1 (s) t 2 (s) t 3 (s) t (s) Tabela 3 Análise da Parte II Linearização (fórmulas) Resultados da Regressão Linear (com unidades e apenas os algarismos significativos) X = A = Y = B = A = x 0 = B = a = OBS: Não se esqueça de entregar também o gráfico! 5

6 Tabela 4 Coleta de dados da Parte III L (cm) t (s) T (s) Tabela 5 Análise da Parte III Média Desvio padrão Erro aleatório provável Erro Total = E esc + E ap t (s) = σ(t) (s) = E ap (t) (s) = Δt (s) = T (s) = σ(t) (s) = E ap (T) (s) = ΔT (s) = a = Escreva aqui a conta feita para calcular a (equação 5), com valores não arredondados Escreva aqui a conta feita para calcular Δa (equação 7), com valores não arredondados Δa = Com os valores de a e Δa obtidos acima, escreva seu resultado final para a aceleração do carrinho. a = ( ± ) cm / s 2 6