14. Distribuição de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas

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1 4. Distribuição de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas Os valores assumidos por uma variável aleatória contínua podem ser associados com medidas em uma escala contínua como, por exemplo, a altura de uma pessoa:,7 m;,7 m;,73 m; pois o resultado depende da precisão do instrumento utilizado na medição. Na prática, não nos resta outra escolha que não seja arredondar as medidas para o inteiro mais próximo ou para algumas casas decimais. No caso das variáveis aleatórias discretas, as probabilidades eram representadas pelas alturas dos retângulos do histograma. Nas variáveis aleatórias contínuas, representamos probabilidades por áreas, não por áreas de retângulos, mas por áreas sob a curva ajustada aos dados como na Figura 4., que apresenta os dados referentes à altura dos empregados de uma empresa. Figura 4. - Histograma da variável contínua altura O gráfico de uma variável aleatória contínua pode apresentar diversas formas, como nos gráficos a seguir: UAB/FURG --- Profª Suzi Samá Pinto e Profª Carla Silva da Silva --- Introdução à Estatística Econômica -- 8

2 A maioria das distribuições dos salários das empresas possui uma assimetria à direita, pois poucos recebem salários altos Um professor espera que as notas de seus alunos apresentem uma distribuição assimétrica à esquerda, ou seja, muitos alunos com notas altas ,0,5 3,0 4,5 6,0 7,5 9,0 0, A altura das pessoas costuma apresentar uma distribuição simétrica A probabilidade de uma variável aleatória assumir um valor no intervalo de a a b é dada pela área sob a curva entre esses dois valores. A probabilidade ou a área abaixo da curva é calculada pela seguinte expressão: P(a X b) b a f(x) dx, onde f(x) é a função que gera a curva. Existem várias distribuições de probabilidade contínuas que variam de acordo com suas características e sua forma da curva. Nesta disciplina, estudaremos especificamente a Distribuição Normal. UAB/FURG --- Profª Suzi Samá Pinto e Profª Carla Silva da Silva --- Introdução à Estatística Econômica -- 8

3 0. Distribuição Normal Muitos fenômenos sociais, psicológicos, físicos entre outros, apresentam uma distribuição normal. Uma das propriedades das distribuições normais é a simetria da curva, como na Figura 4.. No que diz respeito às características humanas, a maioria dos adultos se enquadra entre 55 a 85 cm de altura; poucos são muito baixos (menos de 55 cm de altura) ou muito altos (mais de 85 cm). A maior parte dos coeficientes de inteligência (QI) está entre 85 e 5. Há uma queda gradativa dos escores (medida) em ambas as extremidades, com uns poucos gênios obtendo QI maior que 45 e com poucas pessoas com QI inferior a 55. Portanto, podemos verificar que diversas variáveis contínuas apresentam um comportamento semelhante independente do experimento de que são provenientes. As distribuições normais são importantes em estatística, pois muitas das técnicas de inferência estatística baseadas nas distribuições normais também funcionam bem, quando aplicadas a outras distribuições que são aproximadamente simétricas. Gauss estudando este comportamento chegou à conclusão que a equação dessa curva seria: f(x) x µ..e para -8 < x < 8, π onde desvio padrão populacional µ média da população e número de euler π constante pi Notação: X:N (µ, ) lê-se: a variável aleatória X tem distribuição normal com média µ e variância. Exemplo: X:N(00, 5) lê-se: a variável aleatória X apresenta distribuição normal com média igual a 00 e variância igual a 5. UAB/FURG --- Profª Suzi Samá Pinto e Profª Carla Silva da Silva --- Introdução à Estatística Econômica -- 83

4 Características da curva normal É simétrica em relação à média µ; O ponto máximo (moda) de f(x) é o ponto x µ; Os pontos de inflexão da função são: µ - e µ + ; A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é ou 00%; A curva é assintótica em relação ao eixo dos x, ou seja, prolonga-se em ambas direções, aproximando-se do eixo horizontal, sem jamais tocá-lo. Para obter a probabilidade indicada na figura acima, devemos calcular: P(a X b) b a.e π x µ. dx Como os valores de probabilidade são obtidos por integração numérica, seria muito trabalhoso utilizar essa função. Para facilitar, usaremos a variável normal padrão ou variável padronizada, z. 0. Variável Normal Padrão ou Variável Padronizada A distribuição normal padrão é uma distribuição com forma normal (de sino), de média 0 (zero) e desvio padrão igual a (um). Devido a essas e outra características, a distribuição normal padrão é muito útil. Para podermos utilizar a distribuição normal padrão na análise de dados, basta calcular o escore padrão ou a variável padronizada (z) que indica a direção e o quanto qualquer escore padrão se desvia da média de uma distribuição em uma escala de unidades de desvios padrões. z x µ UAB/FURG --- Profª Suzi Samá Pinto e Profª Carla Silva da Silva --- Introdução à Estatística Econômica -- 84

5 Exemplo: A média para valores de QI em testes de inteligência é 00, com um desvio padrão de 5. Se você tem um QI de 30, qual seria seu valor z? Interprete esse resultado Solução: µ 00 5 z, 0 5 Uma pessoa com QI igual a 30 está dois desvios padrões acima da média, pois o valor de z é positivo. 0.3 A Curva Normal Padrão A função normal padrão é dada pela seguinte expressão: f(z).e π z Para obter a probabilidade, nesse caso, devemos calcular: P(a z b) b a.e π z dz A vantagem de usar a variável padronizada z, é que os valores da área, ou as probabilidades, podem ser calculados e organizados em uma única tabela. P (x x x ) A probabilidade de um determinado valor x estar entre dois limites, x e x, é igual a probabilidade de um determinado valor z estar entre dois limites z e z : P (x x x ) P ( z z z ) x x P (z z z ) z z UAB/FURG --- Profª Suzi Samá Pinto e Profª Carla Silva da Silva --- Introdução à Estatística Econômica -- 85

6 0.3 Uso da tabela da curva normal padrão Para usar a tabela z, da curva normal padrão, deve-se usar o fato de que a curva é simétrica e centrada na média. O corpo da tabela é constituído das probabilidades (área sob a curva entre os limites de zero a z). Os valores de z estão nas margens da tabela, na primeira coluna está o valor inteiro e a primeira casa decimal, na primeira linha está a segunda casa decimal. Por exemplo, o valor de z,5 é obtido pela intersecção da linha que contém o valor, e a coluna que contém a segunda casa decimal, o 5, do valor de z procurado: A área abaixo da curva entre zero e o valor de z igual a,5 é de 0,3944. Como mostrado na tabela abaixo: Segunda casa decimal Valor inteiro e a primeira casa decimal z ,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,00 0,060 0,099 0,039 0,079 0, 0,0398 0,0438 0,0478 0,057 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0, 0,0793 0,083 0,087 0,090 0,0948 0,0987 0,06 0,064 0,3 0,79 0,7 0,55 0,93 0,33 0,368 0,406 0,443 0,4 0,554 0,59 0,68 0,664 0,700 0,736 0,77 0,808 0,5 0,95 0,950 0,985 0,09 0,054 0,088 0,3 0,57 Probabilidade entre a 0,6 0,58 0,9 0,34 0,357 0,389 0,4 0,454 0,486 média zero e o valor 0,7 0,580 0,6 0,64 0,673 0,704 0,734 0,764 0,794 z,5 0,8 0,88 0,90 0,939 0,967 0,996 0,303 0,305 0,3078 0,9 0,359 0,386 0,3 0,338 0,364 0,389 0,335 0,3340,0 0,343 0,3438 0,346 0,3485 0,3508 0,353 0,3554 0,3577, 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,379 0,3749 0,3770 0,3790, 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,395 0,3944 0,396 0,3980,3 0,403 0,4049 0,4066 0,408 0,4099 0,45 0,43 0,447,4 0,49 0,407 0,4 0,436 0,45 0,465 0,479 0,49,5 0,433 0,4345 0,4357 0,4370 0,438 0,4394 0,4406 0,448 UAB/FURG --- Profª Suzi Samá Pinto e Profª Carla Silva da Silva --- Introdução à Estatística Econômica -- 86

7 Exemplo de uso da tabela: Dados os valores de z, determine as probabilidades indicadas abaixo: a-) P( 0 z ) Estamos procurando a probabilidade de um valor z estar entre zero e dois. A tabela fornece a área entre a média de z (zero) e o valor de z procurado. Obtemos esse valor, procurando na primeira coluna da tabela o valor de z,0 e na primeira linha o valor 0 que é a segunda casa decimal. O valor da área é 0,477. P( 0 z ) 0,477 b-) P(z ) Como a curva é simétrica e a área abaixo da curva é igual a um, cada metade vale 0,5. Estamos procurando a probabilidade de um valor z ser maior ou igual a. A tabela fornece a área entre a média de z (zero) e o valor de z procurado. Portanto, é necessário subtrair o valor encontrado na tabela de 0,5. 0,5 0,477 0,08 P(z ) 0,5 0,477 0,08 c-) P( z - ) Como a curva é simétrica à área entre z0 e z é a mesma entre z - e z0. Com raciocínio análogo ao item anterior, temos: P( z - ) 0,5 0,477 0,08 P( z - ) 0,08 UAB/FURG --- Profª Suzi Samá Pinto e Profª Carla Silva da Silva --- Introdução à Estatística Econômica -- 87

8 d-) P(,0 z,5 ) Dê z0 até o ponto z,5 a área é igual a 0,4938, subtraindo desse valor a área menor que é 0,477 e vai de z0 até o ponto z teremos a área procurada. 0,066 P(,0 z,5 ) 0,4938 0,477 P(,0 z,5 ) 0,066 e-) P( -,6 z,43 ) 0,9880 P( -,6 z,43 ) 0, ,495 P( -,6 z,43 ) 0,9880 f-) P(z -,63 ) P(z -,63 ) 0,5 + 0,4484 0,9484 P(z -,63 ) 0,9484 UAB/FURG --- Profª Suzi Samá Pinto e Profª Carla Silva da Silva --- Introdução à Estatística Econômica -- 88

9 Exemplos Exemplo : Voltando ao exemplo dos QIs. Qual a probabilidade de selecionarmos, ao acaso, uma pessoa e ela ter QI entre 90 e 5? Considere média populacional 00 e desvio padrão igual a 5. Solução: P(90 x 5 )? Padronizando a variável x, temos: z x µ ,67 Para x 90 o valor de z correspondente é z - 0,67 Padronizando a variável x, temos: z x µ Para x 5 o valor de z correspondente é z,0 P(90 x 5 ) P(0,67 z,0) 0, ,343 P(90 x 5) 0,5899 P(90 x 5) 0,5899,0 Exemplo : Em uma distribuição normal com média 30 e desvio padrão 4, determine a probabilidade de um indivíduo apresentar valor maior ou igual a 38. Solução: Padronizando a variável x, temos: x µ z 4,0 Para x 38 o valor de z correspondente é z,0 P(x 38 ) P(z ) 0,5 0,477 0,08 P(x 38 ) 0,08 P(x 38 ) 0,08 UAB/FURG --- Profª Suzi Samá Pinto e Profª Carla Silva da Silva --- Introdução à Estatística Econômica -- 89