Cap. 8 Distribuições contínuas e modelo normal

Transcrição

1 Estatística Aplicada às Ciências Sociais Seta Edição Pedro Alberto Barbetta Florianópolis: Editora da UFSC, 2006 Cap. 8 Distribuições contínuas e modelo normal

2 Variável aleatória discreta variável aleatória contínua os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável E. os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais E Número de filhos Altura de um indivíduo

3 Eemplo (com( variável discreta) Um jogo de azar é realizado da seguinte forma: toma-se um círculo e divide-se-o em quatro partes iguais, 1 a 4. Sobre o centro do círculo, é fiado um ponteiro, o qual é girado e anota-se o número do setor onde a ponta do ponteiro parou

4 Distribuição de probabilidades 0,25 p() p() 0,25 0,25 0,25 0,25 1 0,25 2 0,25 3 0,25 4 0,25 Total

5 Eemplo 8.1: com variável aleatória contínua Sobre o centro de um círculo, é fiado um ponteiro, o qual é girado. Anota-se o ângulo formado pelo ponteiro com o eio horizontal, como na figura a seguir.

6 Eemplo 8.1 α Construir a distribuição de probabilidades para o ângulo (α) obtido neste eperimento.

7 Eemplo 8.1 f() X = variável aleatória que indica o ângulo formado Área = 1 0 o 360 o

8 Eemplo 8.1 Qual é a probabilidade de se obter um ângulo entre 30 o e 60 o?

9 Eemplo 8.1 f() P(30 o < X < 60 o ) = área = 0, o o 60 o o

10 Eemplo 8.2 Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do seo masculino. Seja X a sua altura, em centímetros.

11 Eemplo 8.2 f() altura (em cm.)

12 Distribuição normal f() área total = 1 σ σ µ -σ µ + σ µ

13 Eemplo 8.2 Representar: o evento: o estudante selecionado ter 180 cm ou mais (X 180) e a probabilidade deste evento: P(X 180)

14 Eemplo 8.2 f() P(X 180) altura (em cm.) X 180

15 Distribuição normal Identificada pela média (µ) e pelo desvio padrão (σ). σ µ

16 Média e Desvio Padrão Mesmo σ e diferentes µ µ 1 µ 2 (µ 2 > µ 1 )

17 Média e Desvio Padrão Mesmo µ e diferentes σ σ 1 (σ 2 > σ 1 ) σ 2 µ

18 Distribuição normal Simetria em relação à média. 50% Áreas iguais µ µ µ+a µ a a a

19 Valor padronizado z = - µ σ µ σ O valor z (valor padronizado) é uma medida relativa. Mede o quanto se afasta da média (µ), em unidade de desvio padrão (σ).

20 Eemplo 8.2 Se a altura de um indivíduo for = 190 cm, então qual é o escore padronizado z correspondente? z µ = σ = = 10 2

21 Eemplo 8.2 µ = 170 σ = z

22 Eemplo 8.2 σ µ = 170 σ = z

23 Distribuição normal área = 68,3% µ-σ µ -1 0 µ+σ 1 z

24 Distribuição normal área = 95,4% µ-2σ µ -2 0 µ+2σ 2 z

25 Distribuição normal área = 99,7% µ-3σ µ -3 0 µ+3σ 3 z

26 Distribuição normal padrão Distribuição de X: normal com µ = 170 e σ = 10 Distribuição de Z: normal padrão P(X > 180) = P(Z > 1) z µ = = = 1 σ 10

27 Tabela da distribuição normal padrão E. Qual é a área acima de z = 0,21? segunda decimal de z z ,0 0,1 (pela tabela) 0,2... 0,4168 (área na cauda superior )

28 Eercício: uso da tabela Com base na tabela da normal padronizada, calcular: a) P(Z > 1) 0,1587 (tabela) 0 +1 z

29 Eercício Com base na tabela da normal padronizada, calcular: b) P(Z > 1,23) 0,1093 (tabela) 0 1,23 z

30 Eercício c) P(-2 < Z < 2) 0,0228 (tabela) z P(-2 < Z < 2) = 1-2.(0,0228) = 0,9544

31 Eercício Selecionar, aleatoriamente, de uma certa universidade, um estudante do seo masculino. Seja X o valor de sua altura, em centímetros. Admitindo que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm, qual a probabilidade do estudante sorteado ter altura superior a 185 cm?

32 Resposta = 185 cm (µ = 170, σ = 10) z =? z = µ σ = = 1,5

33 Resposta: P(X > 185) = P(Z > 1,5) = 0,0668 (tabela) 0 1,5 z Então, P(X > 185) = P(Z > 1,5) = 0,0668

34 Aproimação da binomial pela normal

35 Aproimação da binomial pela normal Quando o número de ensaios (n) da binomial é grande, a distribuição binomial pode ser aproimada por uma distribuição normal com: média µ = nπ desvio padrão: σ = nπ ( 1 - π )

36 Distribuições binomiais para diferentes valores de n e π. n = 2 n = 2 π = 0,5 π = 0,2 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 p() ,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 p() 0 1 2

37 Distribuições binomiais para diferentes valores de n e π. n = 10 n = 10 π = 0,5 π = 0,2 0,3 p( ) 0,3 p() 0,2 0,2 0,1 0,

38 Distribuições binomiais para diferentes valores de n e π. n = 50 n = 50 π = 0,5 π = 0,2 0,1 p( ) 0,15 p() 0,1 0,05 0,

39 Distribuições binomiais para diferentes valores de n e π. π = 0,5 π = 0,2 n = 2 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 p() ,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 p( ) n = 10 0,3 p( ) 0,3 p() 0,2 0,2 0,1 0, n = 50 0,1 p( ) 0,15 p() 0,1 0,05 0,

40 Aproimação da binomial pela normal Em geral, a distribuição binomial pode ser aproimada por uma normal quando: nπ 5 e n(1-π) 5 Nesse caso, µ = nπ σ = nπ ( 1 - π )

41 Eemplo 8.9 Seja Y o número de caras em 10 lançamentos de uma moeda perfeitamente equilibrada. Então, Y é binomial com n = 10 e π = 0,5. Calcular a probabilidade de ocorrer eatamente 4 caras.

42 Cálculo pela normal e pela binomial 0,2 f() P(Y = 4) = 0,2051 pela binomial (Tabela 2) P(3,5 < X < 4,5) = área sob a curva de uma normal 0, ,5 4,5 Eercício: fazer o cálculo pela normal (ver solução no livro)

43 Eemplo Em dez lançamentos de uma moeda honesta, qual é a probabilidade de ocorrer mais de 6 caras? Pela binomial: P(Y > 6) = P(7) + P(8) + P(9) + P(10) = 0, , , ,001 = 0,172 E pela normal?

44 Eemplo 0,205 0,246 0,205 P(Y > 6) = 0,172 0,117 0,117 0,044 0,001 0,01 0,044 0,01 0, Observe que em termos de área devemos considerar acima de 6,5 (correção de continuidade)

45 Eemplo P(X>6,5)

46 Eemplo P(X>6,5) 5 6,5

47 Eemplo µ = 5 σ = 1, = 6,5 z = - µ σ 6,5-5 = = 0,95 1,581139

48 Eemplo 0, ,95 z Lembrando: a probab. eata (pela binomial) é de 0,1720