Métodos Estatísticos

Transcrição

1 Métodos Estatísticos 8 Inferência Estatística stica Estimação de Parâmetros Média Referencia: Estatística Aplicada às Ciências Sociais, Cap. 9 Pedro Alberto Barbetta. Ed. UFSC, 5ª Edição, 22.

2 Estimação de Parâmetros - Média POPULAÇÃO µ=? AMOSTRA Observações: X 1 X 2 X 3... µ µ = x ± erro amostral

3 Estimação de uma média µ Média amostral: X Relação entre o parâmetro µ e a estatística X

4 Relação entre µ e X Desde que a amostra seja aleatória e razoavelmente grande (n > 3), tem-se: Os possíveis valores de seguem uma distribuição (aproximada) normal com média e desvio padrão dados por X µ = µ X σ X = σ n

5 Distribuição de X 95% µ,96. 1 σ µ ± X

6 Estimação do erro padrão da média S X = S n para N desconhecido ou muito grande S X = S n N N n 1 para N conhecido e não muito grande

7 Intervalo de confiança para a média µ X ± t.s X X média da amostra S erro padrão da média X t abscissa da distrib. t com gl = n - 1

8 A distribuição t de Student normal t α t α

9 A distribuição t de Student Distribuição t com gl = 1 2,5% 95% 2,5% Área cauda sup. gl, ,76 t ===> t = 12,76

10 Exemplo Encontrar o valor de t para: a) nível de confiança de 99%, com 19 graus de liberdade (amostra com 2 elementos) R = 2,861

11 Exemplo Encontrar o valor de t para: b) nível de confiança de 95%, com 19 graus de liberdade (amostra com 2 elementos) R = 2,93

12 Exemplo Encontrar o valor de t para: c) nível de confiança de 95%, com graus de liberdade 1,96 8 Comparar este resultado com o valor de z (normal)

13 Exemplo O tempo de resposta de um algoritmo de otimização, implementado numa certa máquina, foi observado 2 vezes. Desta amostra, obteve-se as seguintes estatísticas: média de 82, minutos e desvio padrão de 1, minutos. Apresente um intervalo de confiança para o tempo médio de resposta do algoritmo nesta máquina.

14 Exemplo n = 2 (19 graus de liberdade) s = 1, minutos X = 82, minutos nível de 95% de confiança: t = 2,93

15 Exemplo _ IC : 1 X+ t α/2 s - t ,93 n 2 4,7

16 Exemplo IC :82, ± 4,7 minutos LS = 82, + 4,7 = 86,7 minutos LI = 82, - 4,7 = 77,3 minutos µ em [77,3; 86,7], com 95% de confiança

17 Tamanho de Amostras

18 Tamanho da amostra para estimar uma Média Considere o intervalo de confiança para µ: X ± z. σ X onde erro máximo (E) σ X = σ n E : erro amostral máximo especificado a priori.

19 Tamanho da amostra para estimar uma Média Cálculo inicial: n = z 2 E. σ 2 2 n = n se N é muito grande ou desconhecido n = N.n N +n se N não for muito grande e for conhecido

20 Tamanho de Amostras Avaliação a priori do desvio padrão: Estudos passados Amostra piloto Fixando-se um valor teórico

21 Exercício Qual o tamanho da amostra para estimar o tempo médio de um algoritmo de otimização, numa certa máquina, admitindo-se um erro máximo de 1 minuto? Considere que numa amostra piloto com 2 observações, encontrou-se um desvio padrão de 1, minutos.

22 Tamanho da amostra para estimar uma Proporção Cálculo inicial: n = z 2. π(1 π) E 2 n = n se N é muito grande ou desconhecido n = N.n N +n se N não for muito grande e for conhecido

23 Tamanho da amostra para estimar uma Proporção Estimação a priori da proporção π: Estudos passados Amostra piloto Fixando-se um valor teórico (,5)

24 Exercício Para se comparar dois sistemas computacionais (A e B), fez-se um estudo preliminar observando-se o desempenho deles sobre 1 cargas de trabalho. Em 6 delas, o sistema A apresentou melhor desempenho. Qual deve ser o tamanho da amostra para garantir um erro não superior a 4%?

25 Tamanho de amostra Estimar várias proporções a nível de 95% de confiança. Expressão aproximada: n = E 1 2

26 Tamanho de amostra Estimar várias proporções a nível de 95% de confiança. n = E 1 2 n = n se N é muito grande ou desconhecido n = N.n N +n se N não for muito grande e for conhecido