Bioestatística e Computação I

Transcrição

1 Bioestatística e Computação I Distribuição Amostral da Média Maria Virginia P Dutra Eloane G Ramos Vania Matos Fonseca Pós Graduação em Saúde da Mulher e da Criança IFF FIOCRUZ Baseado nas aulas de M. Pagano e Gravreau e Geraldo Marcelo da Cunha

2 Inferência estatística Variável aleatória numérica parâmetros desconhecidos média desvio padrão estimativa dos parâmetros a partir de uma amostra inferência estatística

3 Inferência estatística Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória na população (ex. altura ou peso) Deseja-se estimar a média desta variável para a população em questão. Retira-se uma amostra de 1000 pessoas dessa população. Calcula-se a média a partir da amostra.

4 Inferência estatística x= Na distribuição da população parâmetro μ média da população σ desvio-padrão Na amostra estimador x 1000 i=1 x i 1000 x estimador do parâmetro - média da amostra ou média amostral estimador de máxima verossimilhança SD desvio padrão da amostra

5 Inferência estatística Se for selecionada uma nova amostra a média amostral será diferente da anterior. Existe uma incerteza na estimação de um parâmetro populacional a partir de uma amostra.

6 Inferência estatística Incerteza da estimação depende de vários fatores Tamanho mínimo da amostra Garantia da precisão desejada Cálculo do tamanho da amostra Características desejáveis da amostra População homogênea. Se os indivíduos forem muito parecidos, qualquer amostra será representativa do grupo inteiro.

7 Inferência estatística Representatividade da amostra para a variável de interesse garantir que a amostra contenha indivíduos de toda a faixa etária pretendida faixas de renda, locais/condições de moradia, acesso aos serviços de saúde, condições gerais de saúde amostra estratificada Amostra aleatória Cada indivíduo da população deve ter igual probabilidade (>0) de ser selecionado. Viés de seleção Se algum dos critérios anteriores não for satisfeito.

8 Viés de seleção Estimação não viesada População Estimação viesada População μ x μ x 15 amostras 15 amostras x 1 x x 15 Programa de Pós-Graduação em Saúde da Mulher e da Criança Bioestatística x e Computação I

9 Inferência estatística Exemplo: Deseja-se estimar a média de uma variável numérica para a população do Rio de Janeiro. Retira-se várias amostras de tamanho n. x2 Amostra 2, média = x1 Amostra 1, média = desvio SD desvio SD1 2 População, média = μ desvio padrão = σ Amostra 3, média = desvio SD3 x 3 Amostra 4, média = desvio SD4 N(μ,σ) x 6 8 x 4

10 Inferência estatística x Distribuiçãos dos valores medidos em cada amostra Amostra 1 Amostra 2 Amostra 3 μ x 1 x 2 x

11 Inferência estatística Média populacional μ = 3,24 Desviopadrão populacional σ Amostra Média Amostral 1 x x x x Variável aleatória X

12 Distribuição amostral X Amostra 1 x x x x Distribuição da variável aleatória X formada pelas médias amostrais calculadas a partir de várias amostras de tamanho n. Distribuição Amostral da Média x Variabilidade SD M X

13 Distribuição amostral Não é prático selecionar várias amostras para estimar a média populacional. Entretanto, a distribuição amostral possui propriedades que permitem inferir sobre a média populacional a partir de uma única amostra de tamanho n, por meio do intervalo de confiança. Teorema Central do Limite

14 Teorema Central do Limite Dado que X é uma variável aleatória numérica A distribuição de probabilidade populacional da variável X possui média μ e desvio σ Foram selecionadas várias amostras dessa população de tamanho n

15 Teorema Central do Limite 1.A média da distribuição amostral, x, é idêntica a média populacional μ. 2.O desvio-padrão da distribuição amostral, SD M, é igual a n. SD M tem um nome especial: erro-padrão da média (EP). 3.Se n é suficientemente grande (>30), a distribuição amostral é aproximadamente normal, independente da distribuição populacional.

16 Teorema Central do Limite Exemplo: Níveis séricos de colesterol. Suponha que a média na população é μ = 211 mg/100ml e o desvio é σ = 46 mg/100ml. Ao retirarmos várias amostras de tamanho n = 30, quantas amostras terão média maior ou igual a 230 mg/100m?

17 Teorema Central do Limite μ = 211 n = 30 σ = 46 x P( 230) =? x= =211 EP= n = =8,4 Distribuição amostral ( X ) Distribuição na população (X) Nível sérico de colesterol (mg/100ml)

18 Teorema Central do Limite Transforma-se a variável X em uma variável com distribuição normal padrão (Z) e consulta-se a tabela da distribuição (A.3). X Z = EP = X / n = X / 30 = X 211 8,4 Para X =230 z= =2,26 8,4 f(z) Pela tabela A.3: z P( x 230) = P(z 2,26) = 0,012 = 1,2%

19 Teorema Central do Limite E se tivéssemos selecionado amostras de tamanho n=100, quantas amostras teriam média maior ou igual a 230 mg/100m? X Z = EP = X / n = X / 100 = X 211 4,6 Para X =230 z= =4,13 4,6 Pela tabela A.3: P( x 230) = P(z 4,13) < 0,001 (< 0,1%)

20 Exercícios Capítulo 8 1 a 6, 8 e 10