Erro e Tamanho Amostral

Transcrição

1 Erro e Lucas Santana da Cunha 30 de agosto de 2018 Londrina 1 / 17

2 Estimação é o nome técnico para o processo que consiste em se utilizar os dados de uma amostra para estimar parâmetros populacionais desconhecidos. Dentre as diversas características (parâmetros) de uma população que podem ser estimadas, estudaremos as mais utilizadas: média (µ) e a proporção (p). 2 / 17

3 Os estimadores pontuais especificam um único valor para o parâmetro. Como exemplos de estimadores pontuais, temos: a média amostral Ȳ que é um estimador da média populacional µ; a proporção amostral ˆP que é um estimador da proporção populacional p 3 / 17

4 Exemplo 1 De uma amostra aleatória de 10 alunos do curso de economia do 2 o ano matutino, calculou-se as alturas (cm): a) Dê uma estimativa pontual da altura média dessa população (µ); b) Dê uma estimativa pontual da proporção de alunos, dessa população, que têm altura acima de 170 cm (π). 4 / 17

5 Esse procedimento não permite julgar qual a possível magnitude do erro amostral que se está cometendo; Assim, o processo de estimação deve também levar em conta o possível erro amostral do estimador Definição O erro É dado pela diferença entre o estimador e o parâmetro: e = Ȳ µ (Média) e = ˆP p (Proporção) Sua magnitude pode ser quantificada a partir da distribuição amostral do estimador. 5 / 17

6 Da distribuição amostral dos estimadores da média e da proporção, temos que o erro máximo amostral é dado por: e max = ±z (γ/2) σ n, na estimação de µ; p(1 p) e max = ±z (γ/2), na estimação de p. n Em que, γ representa o grau de confiança associado ao valor do erro amostral e z (γ/2) é o valor obtido da distribuição normal correspondente à area γ/2. 6 / 17

7 Exemplo 2 Um grupo de técnicos em eficiência pretende utilizar a média de uma amostra aleatória de tamanho n = 150 para estimar a aptidão mecânica média (avaliada por certo teste padronizado) dos operários da linha de montagem de uma grande indústria. Se, com base na experiência, os técnicos podem supor que σ = 6, 2 para tais dados, qual o valor do erro máximo amostral, com uma probabilidade de 0,99? 7 / 17

8 Exemplo 3 Para estimar a proporção de pessoas que sentiram algum efeito colateral ao tomarem uma vacina contra gripe, pretende-se utilizar uma amostra aleatória de 400 pessoas. Com uma probabilidade de 95%, o que pode-se afirmar a respeito do erro máximo amostral da verdadeira proporção? 8 / 17

9 É muito comum ao pesquisador indagar sobre o número de elementos da amostra, quando pretende realizar uma pesquisa de campo ou uma simples investigação. Em toda experimentação ou pesquisa, a utilização de amostragem está condicionada nível de confiança, informações prévias, tamanho população e o erro amostral (maior a precisão, maior a amostra). 9 / 17

10 Proporção Definição O tamanho da amostra para estimar a proporção é dado por: n 0 z2 (γ/2) p(1 p) e 2, se N infinito n n 0 1+ n 0 N se N finito em que: n 0 é o tamanho da amostra se N for infinito ou inicial se N for finito; z (γ/2) é o nível de confiança; p é o valor obtido de trabalhos anteriores (p = 0, 50 quando não há informação); N é o tamanho da população se a mesma for finita; e = π ˆp é o erro amostral arbitrado pelo pesquisador. 10 / 17

11 Exemplo 4 Um candidato a prefeito gostaria de fazer uma pesquisa eleitoral sobre a intenção de voto na sua cidade de eleitores. Assumindo um erro amostral de 2%, pede-se: a) A um nível de confiança de 95%, qual deveria ser o tamanho mínimo da amostra para a pesquisa? b) A um nível de 99%, qual deveria ser o tamanho mínimo da amostra para a pesquisa? 11 / 17

12 Média Definição n 0 z2 (γ/2) σ2 e 2, se N infinito n n 0 1+ n 0 N, se N finito em que σ 2 é a variância obtida de trabalhos anteriores; e = µ ȳ é o erro de precisão arbitrado pelo pesquisador. 12 / 17

13 Exemplo 5 Uma pesquisa é planejada para determinar as despesas médicas anuais das famílias dos empregados de uma grande empresa. A gerência da empresa deseja ter 95% de confiança de que a média da amostra está no máximo com uma margem de erro de ±R$ 50 da média real das despesas médicas familiares. Um estudo-piloto indica que o desvio-padrão pode ser calculado como sendo igual a R$ 400. a) Qual o tamanho de amostra necessário? b) Se a gerência deseja estar certa em uma margem de erro de ±R$ 25, que tamanho de amostra será necessário? 13 / 17

14 Exercício 1 Um grupo de técnicos em eficiência, utilizou uma amostra aleatória de tamanho n = 150 e obteve uma estimativa pontual da a aptidão mecânica média (avaliada por certo teste padronizado) dos operários da linha de montagem de uma grande indústria no valor de ȳ = 69, 5. Se, com base na experiência, os técnicos podem supor que σ = 6, 2 para tais dados, qual o valor do erro máximo amostral, com um nível de confiança de 0,95? 14 / 17

15 Exercício 2 Numa amostra de 250 pessoas entrevistadas ao saírem de postos de votação em todo um estado, 145 afirmaram ter votado pela reeleição do governador em exercício. Ao nível de 99% de confiança, o que podemos dizer sobre o erro máximo, se tomarmos ˆp = 145/250 = 0, 58 como uma estimativa da verdadeira proporção de votos que o atual governador obterá? 15 / 17

16 Exercício 3 Se considerarmos um nível de confiança de 95%, com margem de erro de 3% para mais e para menos, sendo que a proporção populacional (incidência) com o atributo pesquisado seja de 15%. Determine: a) a amostra mínima inicial. b) a amostra mínima final, caso a população tenha elementos. c) a amostra mínima final se a população tiver 250 elementos. 16 / 17

17 Exercício 4 Um economista deseja estimar a renda média para o primeiro ano de trabalho de um bacharel em economia. Quantos trabalhadores devem ser entrevistados, se o economista deseja ter 90% de confiança em que a média amostral esteja a menos de R$ 250,00 da verdadeira média populacional? Suponha que saibamos, por um estudo prévio, que para tais rendas, σ = R$ 2000, / 17