Intervalos de Confiança Prof. Walter Sousa

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1 Estatística Intervalos de Confiança Prof. Walter Sousa

2 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS A distribuição amostral de um estimador (estatística, tal como a média ou uma proporção) é a distribuição de probabilidades de todos os valores que a estatística pode assumir quando todas as amostras possíveis de mesmo tamanho n são extraídas da população.

3 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS DAS MÉDIAS É a distribuição de probabilidades das médias amostrais, com todas a amostras de mesmo tamanho n, tiradas de uma mesma população. A média das médias amostrais é igual à média da população. XX pode ser vista como uma variável aleatória. Valor esperado: E(XX ) = μμ (média da população). Desvio padrão das médias amostrais(σσ XX ) (Erro padrão da média): Para populações infinitas ou muito grandes, temos: σσ XX = σσ nn nn = ttttttttttttt dddd aaaaaaaaaaaaaa σσ = dddddddddddd ppppppppppp dddd pppppppppppppppp. Quando um estimador, tal qual XX, atinge o parâmetro populacional, dizemos que é não-tendencioso (não-viesado).

4 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS DAS PROPORÇÕES É a distribuição de probabilidades das proporções amostrais, com todas as amostras apresentando o mesmo tamanho n. A média (proporção ou percentual médio) da distribuição amostral é sempre igual à proporção da população (PP = PP). PP = média das distribuições amostrais das proporções. PP = proporção populacional. Temos que o desvio padrão das proporções amostrais é: σσ pp = pp(1 PP) nn

5 FATOR DE CORREÇÃO PARA POPULAÇÕES FINITAS Se a população for finita e o tamanho da amostra é superior a 5% da população, as fórmulas dos desvios padrão das médias amostrais e das proporções sofrerão uma modificação, devendo ser multiplicadas pelo fator (fator de correção finita): NN nn NN 1 N = tamanho da população n = tamanho da amostra. σσ XX = σσ nn NN nn NN 1 σσ pp = pp(1 PP) nn NN nn NN 1

6 TEOREMA DO LIMITE CENTRAL Se população sob amostragem tem distribuição normal, a distribuição das médias amostrais também será normal para todos os tamanhos de amostra. Se a população básica é não-normal, a distribuição de médias amostrais será aproximadamente normal para grandes amostras (uma diretiva utilizada é n > 30). Obs: Se nn 30 e a população é não-normal, os métodos não se aplicam.

7 ESTIMAÇÃO Processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar os valores dos parâmetros populacionais desconhecidos. Pode ser pontual, quando origina uma única estimativa do parâmetro ou intervalar, quando fornece um intervalo de valores possíveis.

8 ESTIMAÇÃO POR INTERVALOS Intervalos de Confiança A um intervalo de confiança associa-se um nível de confiança, que indica a probabilidade de sucesso na construção do intervalo que julgamos conter o parâmetro populacional. Por exemplo, a uma confiança de 95%, temos 95% de chance de que o parâmetro pertença ao intervalo construído. Às vezes, o nível de confiança é expresso como uma probabilidade ou área 1 αα, onde αα nível de significância é o complemento do nível de confiança. Por exemplo, se o nível de confiança é 95%, temos que αα=5%.

9 INTERVALOS CONFIANÇA PARA A MÉDIA Os intervalos de confiança (IC) para a média são construídos com o estimador XX, obtido da amostra, no centro do intervalo: IIII = XX ± ee Erro de estimação: O erro(e) de estimação diz respeito ao desvio entre a média amostral e a verdadeira média da população. O erro máximo (ee) é igual à metade da amplitude do intervalo. ee = zz αα/2 σσ xx ou ee = tt αα/2 σσ xx IC = XX ± zz αα/2 σσ xx IC = XX ± tt αα/2 σσ xx Lembrando: σσ xx = σσ nn confinça) e αα é o nível de significância do intervalo (complementar da

10 Distribuição Z ou t-student A distribuição que devemos utilizar para arbitrar os escores Z (da distribuição normal) ou t (da distribuição t-student), do intervalo, seguem as seguintes regras básicas: A variável é normal e Se o parâmetro da variância populacional for conhecido (consequentemente o desvio padrão), para qualquer tamanho de amostra, devemos utilizar a distribuição Z (normal padrão). Se o parâmetro da variância for desconhecido, devemos utilizar a distribuição t-student, com n 1 graus de liberdade. Se a amostra for grande, acima de 30 elementos, pode-se utilizar a tabela Z (teorema do limite central), pois para grandes amostras a diferença dos scores é não significativa.

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12 EXEMPLO Os salários dos trabalhadores da construção civil seguem uma distribuição norma, com média desconhecida e desvio padrão de R$ 50,00. Uma amostra de 100 empregados apresentou média de R$ 300,00. Construa um intervalo com 95% de confiança para a verdadeira média salarial. (Dado P(Z>1,96) = 0,025)

13 TAMANHO DA AMOSTRA Cálculo do tamanho da amostra: nn = (zz αα/2 σσ xx ee )2

14 INTERVALOS CONFIANÇA PARA PROPORÇÕES A estimativa de proporções populacionais é muito semelhante à de médias populacionais, com a exceção de que a distribuição t-student não é utilizada. Utiliza-se somente a tabela Z da normal padrão. PP ± ZZ σσ pp σσ pp = pp(1 PP) nn

15 Estatística Intervalos de Confiança Exercícios Prof. Walter Sousa

16 Questão 1 (FCC) Para responder à questão seguinte, considere as tabelas a seguir. Elas fornecem alguns valores da função de distribuição F(x). A tabela 1 refere-se à variável normal padrão, as tabelas 2 e 3 referem-se à variável t de Student com 10 e 15 graus de liberdade, respectivamente.

17 Questão 1 O peso de crianças recém-nascidas do sexo feminino numa comunidade tem distribuição normal com média µ e desvio padrão desconhecido. Uma amostra de 16 recém-nascidos indicou um peso médio de 3,0 kg e desvio padrão amostral igual a 0,8 kg. Um intervalo de confiança para µ, com coeficiente de confiança de 96% é dado por: a) 3,0 ± 0,37 b) 3,0 ± 0,41 c) 3,0 ± 0,45 d) 3,0 ± 0,68 e) 3,0 ± 0,73 Gab. C)

18 Questão 2 (ESAF/AFPS) Tem-se uma população normal com média μμ e variância 225. Deseja-se construir, a partir de uma amostra de tamanho n dessa população, um intervalo de confiança para μμ com amplitude 5 e coeficiente de confiança de 95%. Assinale a opção que corresponde ao valor de n. Use como aproximadamente 2 o quantil de ordem 97,5% da distribuição normal padrão. a) 225 b) 450 c) 500 d) 144 e) 200 Gab.: D)

19 Questão 3 (ESAF/SUSEP) Uma variável aleatória X tem distribuição normal com média desconhecida μ e variância 1. Assinale a opção que dá a amplitude do menor intervalo de confiança para μ, no nível de 96%, para uma amostra de X de tamanho 16. Use no cálculo a tabela da função de distribuição da normal padrão apresentada abaixo a) 4,0 b) 1,0 c) 2,2 d) 3,2 e) 5,0 Gab.: B)

20 Questão 4 (FCC/BACEN) Os preços de um determinado produto vendido no mercado têm uma distribuição normal com desvio padrão populacional de R$ 20,00. Por meio de uma pesquisa realizada com uma amostra aleatória de tamanho 100, com um determinado nível de confiança, apurou-se, para a média destes preços, um intervalo de confiança sendo [R$ 61,08; R$ 68,92]. A mesma média amostral foi obtida quadruplicando o tamanho da amostra e utilizando também o mesmo nível de confiança. Nos dois casos considerou-se infinito o tamanho da população. O novo intervalo de confiança encontrado no segundo caso foi: a) [R$ 63,04; R$ 66,96] b) [R$ 62,06; R$ 67,94] c) [R$ 61,57; R$ 68,43] d) [R$ 61,33; R$ 68,67] e) [R$ 61,20; R$ 68,80]

21 Racunho Questão 4

22 Questão 5 (FCC) Uma variável aleatória X tem uma distribuição normal com uma variância igual a 2,25 e uma população considerada de tamanho infinito. Uma amostra aleatória de tamanho igual a 144, desta população, apresentou uma média igual a 20 e um intervalo de confiança de amplitude igual a 0,55, a um nível de confiança (1 α). Caso o tamanho da amostra tivesse sido de 100 e a média da amostra apresentasse o mesmo valor encontrado na amostra anterior, o intervalo de confiança, a um nível de confiança (1 α), seria igual a (A) [19,895 ; 20,105]. (B) [19,865 ; 20,135]. (C) [19,835 ; 20,165]. (D) [19,670 ; 20,330]. (E) [19,340 ; 20,660]. Gab.: D)

23 Racunho Questão 5

24 Questão 6 (FCC) Uma pesquisa realizada com habitantes de uma cidade, escolhidos aleatoriamente, revelou que 70% deles estavam satisfeitos com o desempenho do prefeito. Considere que é normal a distribuição amostral da frequência relativa dos habitantes satisfeitos com o desempenho do prefeito e que, na curva normal padrão Z, a probabilidade P(Z>1,96) = 0,025. Considerando a cidade com uma população de tamanho infinito, o intervalo de confiança para esta proporção ao nível de confiança de 95%, com base no resultado da amostra, é (A) [65,10% ; 74,90%]. (B) [66,08% ; 73,92%]. (C) [67,06% ; 72,94%]. (D) [68,04% ; 71,96%]. (E) [69,02% ; 70,98%]. Gab.: E)

25 Questão 7 (FCC) Em uma empresa com funcionários, verifica-se que os salários de seus empregados apresentam uma distribuição normal com um desvio padrão de R$ 160,00. Selecionando aleatoriamente, sem reposição, 400 destes funcionários, obteve-se um intervalo de confiança de 95% para a média da população dos salários. Considerando na curva normal padrão Z a probabilidade P(Z > 1,96) = 0,025, a amplitude deste intervalo é igual a (A) R$ 12,25. (B) R$ 24,50. (C) R$ 36,75. (D) R$ 49,00. (E) R$ 61,25. Gab.: B)