Inferência Estatística Estimação de Parâmetros

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1 Inferência Estatística Estimação de Parâmetros Pedro Paulo Balestrassi / (cel) 1

2 Inferência Estatística: uma amostra ajudando a entender uma população População Ex.: Para a distribuição normal os parâmetros são m e s 2. Os termos população e distribuição são equivalentes. Amostragem Estimação de parâmetros e escolha da Distribuição Cálculo de Probabilidades (Usando a Distribuição acima) Informação para tomada de decisão Inferência Estatística Uso de uma amostra aleatória para inferir (aprender) algo sobre uma população. 2

3 Duas formas de se fazer inferência estatística 1)Estimação de Parâmetros: * Estimativas Pontuais * Estimativas Intervalares 2) Teste de Hipóteses População Estimativa Pontual Estimativa Intervalar Média μ Desconhecida Média x =50~μ Estou 95% confiante que a média μ deve estar entre 40 e 60 3

4 Estimador é uma VA e estimativa é um determinado valor Um estimador (ex.: θ): é uma variável aleatória. Uma estimativa (ex.:e(θ)) é um valor específico do estimador. θ X 4

5 Estimador e estimativa: nomenclatura da área Para um estimador θ, de um parâmetro θ, como uma estimativa E(θ) tem-se: Estimador não tendencioso θ deve ter: E(θ)=θ. ENTVM (Estimador Não Tendencioso de Variância Mínima): O estimador não tendencioso de menor variância. Bootstrap: Um método computacional de se obter estimativas. Erro Quadrático Médio de um estimador: EQM(θ)=E θ θ 2 ( um critério para se comparar diferentes estimadores) Estimador de Máxima Verossimilhança: Uma forma de se produzir ENTVM através da maximização de uma função (de verossimilhança) 5

6 Variância Mínima um exemplo A média é um estimador de Variância Mínima em relação a Mediana Desvio padrão

7 Erro Padrão (Standard Error): uma medida de variabilidade para média e proporções Variável Quantitativa SE(x ) = s n ~ σ n Variável Qualitativa SE p = p 1 p n = pq n (Proveniente da Distribuição de Bernoulli) 7

8 Estimativas pontuais de uma proporção - exemplo Para se avaliar a taxa de desemprego em determinado Estado, escolhese uma amostra aleatória de 1000 habitantes em idade de trabalho e contam-se os desempregados: 87. Estimar a proporção de desempregados em todo o Estado (população). Avaliar o erro padrão de estimativa. Uma possível representação p = 0,087 ± 0,009 8

9 Estimativas pontuais de uma média exemplo 1/2 A planilha ao lado representa 20 medidas da espessura da parede Top Wall, em polegadas, após o processo Bodymaker de fabricação de latas. 1) Esse processo pode ser considerado Normal? 2) Quais as estimativas pontuais da Média e do Desvio Padrão das espessuras? 3) Qual o intervalo de 95% de Confiança para a Média e o Desvio Padrão? Body_Top_Wall_20.MTW 9

10 Estimativas pontuais de uma média exemplo 2/2 Normal A nderson-darling N ormality Test A -S quared 0,38 P-V alue 0,371 Estimativas Pontuais M ean 0, S tdev 0, V ariance 0, S kew ness -0, Kurtosis -0, N 20 M inimum 0, ,0058 0,0060 0,0062 0,0064 0,0066 1st Q uartile 0, M edian 0, rd Q uartile 0, M aximum 0, % C onfidence Interv al for Mean Estimativas Intervalares 0, , % C onfidence Interv al for Median 0, , Mean 95% Confidence Intervals 95% C onfidence Interv al for StDev 0, , Median 0, , , , ,

11 Entenda o Central Limit Theorem pelo Quality Gamebox 11

12 Central Limit Theorem: tudo termina em normal σ x = SE x = σ n 12

13 CLT: Moivre/Laplace/Liapunov Para uma população qualquer com média m e desvio padrão s, a distribuição da média amostral X para amostras de tamanho n suficientemente grande é aproximadamente normal com média m e desvio padrão s n, isto é: X m ~ N : (0,1) Ou seja: s n Se X:(m, s) então a distribuição amostral de X é N:(m, ) s n Erro Padrão = Standard Error=SE= s n 13

14 CLT- exemplo 1/3 Ainda com respeito ao exemplo anterior onde se tinha 20 medidas da espessura da parede Top Wall, em polegadas, após o processo Bodymaker. 1) Qual a probabilidade de se obter uma espessura de 0,0063? 2) Qual a probabilidade de se obter uma espessura maior que 0,0067? 3) Qual a probabilidade de se obter uma espessura média maior que 0,0067 em 9 medidas? Body_Top_Wall_20.mtw 14

15 CLT- exemplo 2/3 1) P(X = )=0 (Probabilidade está relacionado a área!) 2) P(X > ) Suposições: 1) Normalidade 2) Desvio Padrão da Amostra é igual ao da População Observe que X é a variável aleatória espessura P( X ) % 15

16 CLT- exemplo 3/3 3) P( X > ) X Usando o TCL e z X m s n Input Constant Mean O desvio padrão aqui se torna o Erro Padrão P(X ) 0 Observe que a variável aleatória agora é espessura média 16

17 IC(m :95%)... para Sigma Conhecido Para uma população com média m e desvio padrão s. A partir da Distribuição da Média Amostral tem-se: Z X s m ~ N : (0,1) n Pelos resultados do Teorema do Limite Central 0.95 Fixando em 0.05, ou seja, 1- =0.95, P( 1.96 Z 1.96) X z 17

18 Veja a diferença entre Confiança e Significância Pelos resultados do TCL: : Nível de significância 1- : Nível de confiança P( 1.96 Z 1.96) 0.95 X m P s n 0.95 Margem de Erro P X 1.96( s n) m X 1.96( s n) ˆ ; ˆ X 1.96 s n) ; X s n) 0 1 IC(m :95%) 18

19 A interpretação de Intervalo de Confiança P X 1.96( s n) m X 1.96( s n) Isso não significa que a probabilidade do parâmetro m cair dentro de um intervalo especificado seja igual a 95%. m sendo o parâmetro, está ou não, dentro do intervalo 95% é a probabilidade de que intervalos aleatórios contenham m. 19

20 IC: exemplo É conhecido agora que na Eleição presidencial dos Estados Unidos de 2008, Obama foi eleito com 7,2% dos votos. Diferentes pesquisas de véspera, com a mesma margem de erro de 3 pontos percentuais, deram resultados diferentes. =7,2% De 20 pesquisas, 3 erraram. Esse resultado foi menos preciso que o esperado. 20

21 Visão prática e probabilística de IC IC(m:95%) Visão Probabilística Visão Prática 95% é a probabilidade de que intervalos aleatórios contenham m. Estamos 95% confiantes de que o intervalo computado contém m 21

22 IC exemplo 1/4 Uma amostra da Resistência ao Estufamento das latas para a inspeção final em um processo de fabricação de latas é dada na planilha ao lado. Tal resistência obedece a uma distribuição normal com desvio padrão de 1 psi. 1) Qual a limitação desse tipo de problema? 2) Qual o intervalo de 95% de confiança para a Resistência Média? Resistência.mtw 22

23 IC exemplo 2/4 1) Qual a limitação desse tipo de problema? Nesse Problema o Desvio Padrão foi dado. Isso não é comum! Dificilmente se conhece a variância de uma população quando sua média é desconhecida! 23

24 IC exemplo 3/4 IC 2) Qual o intervalo de 95% de confiança para a Resistência Média. Substituindo os valores da média e do Desvio Padrão=1 na expressão tem-se: ) X Z n) X Z n) m : ( 1 ) 100 s ; s % ) ; IC m : Por que os valores da Graphical Summary gerados pelo Minitab diferem ligeiramente do intervalo acima calculado? 24

25 IC exemplo 4/4 A nderson-darling N ormality Test A -S quared 0,32 P-V alue 0,504 Mean 91,111 StDev 0,834 V ariance 0,696 S kew ness 0,31815 Kurtosis 1,47862 N 15 M inimum 89, st Q uartile 90,608 M edian 91,143 3rd Q uartile 91,631 M aximum 93,029 Como são feitos tais cálculos? 95% C onfidence Interv al for Mean 90,649 91,573 95% C onfidence Interv al for Median 90,712 91,502 Mean 95% Confidence Intervals 95% C onfidence Interv al for StDev 0,611 1,315 Median 90,6 90,8 91,0 91,2 91,4 91,6 25

26 IC(m :95%)... para Sigma Desconhecido S n) X t S n) IC( m : (1 )100) X t 2 ; 2 Margem de Erro t ( X m) S n 1- S 2 1 n 1 n i 1 ( X i X ) 2 /2 - t /2 0 t /2 /2 t 26

27 A distribuição t de Student Distribuição t de Student, com v graus de liberdade t ( X m) S n S 2 1 n 1 n i 1 ( X i X ) 2 v = n - 1 Normal h v (t) Tal distribuição é usualmente tabelada para alguns valores de v e t 27

28 Student t: exemplo 1/5 A especificação da Largura da Flange das latas para a inspeção final é definida como / e obedece a uma distribuição normal. As medidas da Largura da Flange para uma determinada linha/turno estão dadas na planilha. a) Qual o intervalo de 95% de confiança para a largura Média? Defina para esse caso o Grau de Liberdade e o Nível de significância? b) Qual a diferença básica em relação ao exemplo anterior? c) As medidas estão dentro das especificações? flange.mtw 28

29 Student t: exemplo 2/5 A nderson-darling N ormality Test A -S quared 0,50 P-V alue 0,177 M ean 0, S td ev 0, V ariance 0, S kew ness 0, Kurtosis 0, N 15 Mean 0,078 0,080 0,082 0,084 0,086 95% Confidence Intervals 0,088 0,090 a) Obtido em função do Desvio Padrão amostral e da estatística t de Student M inimum 0, st Q uartile 0, M edian 0, rd Q uartile 0, M aximum 0, % C onfidence Interv al for Mean 0, , % C onfidence Interv al for Median 0, , % C onfidence Interv al for StDev 0, , Median 0,081 0,082 0,083 0,084 0,085 0,086 29

30 Student t: exemplo 3/5 b) Qual a diferença básica em relação ao exemplo anterior da Resistência? Esse problema é bastante real. Usualmente não se tem o Desvio Padrão populacional. A Estatística t de Student visa corrigir essa distorção. 30

31 Student t: exemplo 4/5 c) As medidas estão dentro das especificações? Capabilidade é uma medida fundamental em 6 Sigma 31

32 Student t: exemplo 5/5 P rocess Data LS L 0,072 Target * USL 0,092 S ample M ean 0, Sample N 15 S td ev (Within) 0, StDev (O v erall) 0, LSL O processo apresenta um Ppk razoável (o ideal é 1.5) mas que pode ser melhorado em um projeto 6 Sigma! USL Within Ov erall P otential (Within) C apability C p 1,00 C PL 1,16 C PU 0,85 C pk 0,85 O v erall C apability Pp 0,97 PPL 1,11 PPU 0,82 Ppk 0,82 C pm * 0,072 0,076 0,080 0,084 0,088 0,092 O bserv ed Performance PPM < LSL 0,00 PPM > USL 0,00 PPM Total 0,00 E xp. Within P erformance PPM < LSL 261,99 PPM > USL 5358,40 PPM Total 5620,38 Exp. O v erall Performance PPM < LSL 413,02 PPM > USL 6939,85 PPM Total 7352,87 32

33 Margem de Erro: exemplo 1/2 Suponha que uma pesquisa eleitoral entre dois candidatos A e B seja feita. De 1000 pessoas entrevistadas 550 votariam no candidato A. p = X n = = 0,55 SE p = p 1 p n = pq = (0,55)(0,45) n 1000 =0,0157 IC[p:(1- α)100]= p ±Z α/2 SE p 33

34 Margem de Erro: exemplo 2/2 p = X n = = 0,55 Test and CI for One Proportion Sample X N Sample p 90% CI , (0,524123; 0,575877) Sample X N Sample p 95% CI , (0,519166; 0,580834) Sample X N Sample p 99% CI , (0,509477; 0,590523) 34

35 Amostragem a partir da margem de Erro (d) - exemplo Z α/2 SE p =d Z α/2 n = pq n =d Z α/2 d 2 2 pq Obs.: Quando não existir uma suposição inicial do valor da proporção p, uma boa regra é assumir o valor de 0.5. Considerando d=3% e α=5%, com os dados do exemplo anterior: n=1056 Usando Minitab (preferível): <Power and Sample Size> <Sample Size for Estimation> n=

36 Fórmulas Clássicas de IC - 1/3 Uma regra geral: Use no mínimo 12 observações para obter qualquer intervalo de confiança 36

37 Fórmulas Clássicas de IC - 2/3 37

38 Fórmulas Clássicas de IC - 3/3 38

39 Pratique! Livro Texto: Montgomery/Runger 5e Chapters 7 and 8 (Resolver todos os exercícios com análise de dados pelo Minitab). Estimativas 39