Notas de Aula. Estatística Elementar. by Mario F. Triola. Tradução: Denis Santos

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1 Notas de Aula Estatística Elementar 10ª Edição by Mario F. Triola Tradução: Denis Santos Slide 1

2 Capítulo 7 Estimativas e Tamanhos Amostrais 7-1 Visão Geral 7-2 Estimando a Proporção Populacional 7-3 Estimando a Média Populacional: σ Conhecido 7-4 Estimando a Média Populacional: σ Desconhecido 7-5 Estimando a Variância Populacional Slide 2

3 Seção 7-1 Visão Geral Created by Erin Hodgess, Houston, Texas Revised to accompany 10 th Edition, Tom Wegleitner, Centreville, VA Slide 3

4 Introdução Este capítulo apresenta os conceitos iniciais de inferência estatística. As duas maiores aplicações da estatística inferencial compreendes (1) estimar o valor de um parâmetro populacional, e (2) testar alguma idéia (ou hipótese) a respeito desta população. Nós apresentaremos métodos para estimar estes importantes parâmetros populacionais: proporção, média e variância. Nós também apresentaremos métodos para determinar o tamanho amostral necessário para obtermos estas estimativas. Slide 4

5 Seção 7-2 Estimando a Proporção Populacional Created by Erin Hodgess, Houston, Texas Revised to accompany 10 th Edition, Tom Wegleitner, Centreville, VA Slide 5

6 Objetivo Nesta seção nós apresentamos importantes métodos para utilizar a proporção amostral como um estimados para a proporção populacional atravéz de um intervalo de confiança. Também apresentamos métodos para calcular o tamanho amostral necessário para obtermos estas estimativas. Slide 6

7 Requisitos para Estimar uma Proporção Populacional 1. O plano amostral é o de Amostra Aleatória Simples. 2. As condições para a distribuição binomial são satisfeitas. (Veja Seção 5-3.) 3. Há ao menos 5 sucessos e 5 falhas. Slide 7

8 Notação para Proporções p = Proporção populacional p ˆ x = n Proporção amostral (lê-se p-chapéu ) de x sucessos em uma amostra de tamanho n q = 1 - p = ˆ ˆ Proporção amostral de falhas em uma amostra de tamanho n Slide 8

9 Definição Uma estimativa pontual é um valor único (ou pontual) usado para estimar um parâmetro populacional. Slide 9

10 Definição A proporção amostral p ˆ é a melhor estiativa pontual para a proporção populacional p. Slide 10

11 Exemplo: 829 adultos do estado de Minnesota-EUA são entrevistados,e 51% deles são contra o uso de fotografias em multas de trânsito de radares. Usando os resultados desta pesquisa, ache a melhor estimativa pontual para a proporção de todos os adultos deste estado americano que são contra o uso de fotos em multas de trânsito. Como a proporção amostral é o melhor estimador pontual para a proporção populacional, podemos concluir que a melhor estimativa para p é Se queremos estimar o percentual de adultos do estado de Minesota que são contra o uso de fotografias em multas de trânsito, nossa melhor estimativa é 51%. Slide 11

12 Definição Um Intervalo de Confiança é uma faixa (ou um intervalo) de valores usados para estimar o valor verdadeiro de um parâmetro populacional. Um intervalo de confiança é geralmente abreviado por IC. Slide 12

13 Definição O Nível de confiança é a probabilidade 1-α (geralmente expressa ao equivalente em percentual) associada ao número de vezes que o intervalo de confiança contém o parâmetro populacional, assumindo que o processo de estimação seja repetido um grande número de vezes. (O nível de confiança é também chamado de grau de confiança, ou coeficiente de confiança.) O Nível de significância é a probabilidade α, ou seja, é o complementar do nível de confiança. As escolhas mais comuns são 90%, 95%, or 99%. (α = 10%), (α = 5%), (α = 1%) Slide 13

14 Exemplo: 829 adultos do estado de Minnesota-EUA são entrevistados,e 51% deles são contra o uso de fotografias em multas de trânsito de radares. Usando os resultados desta pesquisa, ache a melhor estimativa pontual para a proporção de todos os adultos deste estado americano que são contra o uso de fotos em multas de trânsito. Nós estamos 95% confiantes que o intervalo de a contém o valor real de p. Esta afirmação significa que se nós selecionarmos várias amostras diferentes de tamanho 829 e construirmos o IC correspondente, em 95% deles teremos o valor real da proporção populacional p. Slide 14

15 Usando Intervalos de Confiança para Comparações Não use a sobreposição de intervalos de confiança como base para conclusões formais a respeito da igualdade de proporções. Slide 15

16 Valores Críticos 1. Nós sabemos da Seção 6-6 que sobre certas condições, a distribuição amostral da proporção amostral pode ser aproximada por uma distribuição normal, conforme Figura 7-2 abaixo. 2. Proporções amostrais tem uma chance relativamente pequena (com probabilidade denotada pela significância α) de pertencer a uma das bordas vermelhas da Figura 7-2 a seguir. 3. Denotando a área de cada borda sombreada por α/2, nós vemos que há uma probabilidade total de α que a proporção amostral pertença a uma das duas bordas vermelhas. Slide 16

17 Valores Críticos 4. Pela regra do complementar (do Capítulo 4), há uma probabilidade 1-α de que a proporção amostral pertença a região central da Figura 7-2 a seguir. 5. O valor z que separa a cauda direita, comumente denotado por z α /2, é chamado de Valor Crítico, devido a ser o limite que separa proporções amostrais que são prováveis de ocorrer daquelas que são improváveis. Slide 17

18 O Valor Crítico z α/ 2 Figura 7-2 Slide 18

19 Notação Para Valor Crítico O Valor Crítico z α/2 é o z positivo que está na fronteira vertical que separa uma área de α/2 na cauda direita da distribuição normal padronizada. (O valor -z α/2 é o valor que está na fronteira vertical para a área de α/2 na cauda esquerda.) O índice α/2 simplesmente é um lembrete de que o escore z separa uma área de α/2 na cauda direita da distribuição normal padronizada. Slide 19

20 Definição Um Valor Crítico é um número que separa estatísticas amostrais que têm chance de ocorrer daquelas que não têm. O número z α/2 é um valor crítico que é um escore z com a propriedade de separar uma área de α/2 na direita da distribuição normal padronizada. (Veja Figura 7-2). Slide 20

21 Encontrando z α/2 Para um Nível de Confiança de 95% α = 5% α/ 2 = 2.5% =.025 -z z α/ 2 α/ 2 Valores Críticos Slide 21

22 Encontrando z α/2 Para um Nível de Confiança de 95 % α = 0.05 Use a Tabela A-2 para encontrar um escore z oe 1.96 z α/ + α/2 = 1.96 Slide 22

23 Definição Quando os dados de uma amostra aleatória simples são usados para estimar a proporção populacional p, a margem de erro, denotada por E, é a diferença máxima provável (com probabilidade 1 α) entre a ˆ proporção amostral p e o valor verdadeiro da proporção populacional p. A margem de erro E é também chamado de erro máximo da estimativa e pode ser encontrada pela multiplicação do valor crítico e o desvio padrão da das proporções amostrais, conforme mostrado na Fórmula 7-1 a seguir. Slide 23

24 Margem de Erro para a Estimativa de p Fórmula 7-1 E = z α / 2 p ˆ q ˆ n Slide 24

25 Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional p ˆ E < p < pˆ ˆ + E onde E = z α / 2 pˆ qˆ n Slide 25

26 Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional - cont p ˆ E < p < p ˆ + E p ˆ + E (p ˆ E, p ˆ + E) Slide 26

27 Regra de Arredondamento para Estimativas de Intervalo de Confiança para p Arredonde os limites do intervalo de confiança para p para três dígitos significativos. Slide 27

28 Procedimento para a Construção de um Intervalo de Confiança para p 1. Verifique que os requisitos são satisfeitos. (A amostra é uma amostra aleatória simples, as condições para distribuição binomial são satisfeitas, e a distribuição normal pode ser usada para aproximar a distribuição das proporções amostrais porque as duas condições np 5 e nq 5 são satisfeitas.) 2. Recorra à Tabela A-2 e ache o valor crítico z α/2α que corresponde ao nível de confiança desejado. 3. Calcule a margem de erro E =Zα/2 ˆˆ p q n Slide 28

29 Procedimento para a Construção de um Intervalo de Confiança para p 4. Usando o valor da margem de erro calculada E e o valor da proporção amostral p, ˆ calcule os valores p E ˆ e p+e. ˆ Substitua estes valores no formato geral do intervalo de confiança: p ˆ E < p < p ˆ + E 5. Arredonde os limites do intervalo de confiança para três dígitos significativos. Slide 29

30 Exemplo: 829 adultos do estado de Minnesota-EUA são entrevistados,e 51% deles são contra o uso de fotografias em multas de trânsito de radares. Use estes resultados. a) Ache a margem de erro E que corresponde ao nível de confiança de 95%. b) Ache o Intervalo de Confiança de 95% de confiança para estimar a proporção populacional p. c) Baseado nos resultados, podemos concluir que a maioria dos adultos de Minnesota são contra o uso de fotografia em multas? Slide 30

31 Exemplo: 829 adultos do estado de Minnesota-EUA são entrevistados,e 51% deles são contra o uso de fotografias em multas de trânsito de radares. Use estes resultados. a) Ache a margem de erro E que corresponde ao nível de confiança de 95 %. Primeiro, verificamos os requisitos. Notamos que np= , e que nq= ˆ ˆ Em seguida, calculamos a margem de erro. Nós encontramos p ˆ = 0.51, ˆq = = 0.49, z α/2 = 1.96, e n = 829. (0.51)(0.49) E =1.96 = Slide 31

32 Exemplo: 829 adultos do estado de Minnesota-EUA são entrevistados,e 51% deles são contra o uso de fotografias em multas de trânsito de radares. Use estes resultados. b) Ache o Intervalo de Confiança de 95% de confiança para estimar a proporção populacional p. Nós substituímos os valores encontrados na Parte a para obter: < p < , < p < Slide 32

33 Exemplo: 829 adultos do estado de Minnesota-EUA são entrevistados,e 51% deles são contra o uso de fotografias em multas de trânsito de radares. Use estes resultados.. c) Baseado nos resultados, podemos concluir que a maioria dos adultos de Minnesota são contra o uso de fotografia em multas? Baseado nos resultados da pesquisa, nós temos com 95% de confiança de que os limites de 47.6% e 54.4% contém o valor verdadeiro do percentual de adultos de Minnesota que são contra o uso de fotografia em multas de trânsito. Em outras palavras, o percentual de adultos contra o uso de fotos pode ser qualquer valor entre 47.6% e 54.4%. Portanto, como a maioria necessita de um percentual maior que 50%, não podemos concluir com segurança que a maioria destes adultos são contra o uso de fotos (devido aos limites do intervalo de confiança não serem ambos maiores que 50%). Slide 33

34 Tamanho Amostral Suponha que queremos coletar dados amostrais com o objetivo de estimar alguma proporção populacional. Como sabemos quantos itens amostrais devem ser obtidos? Slide 34

35 Determinando Tamanho Amostral E = z α / 2 ˆ ˆ n p q (resolvendo para n temos) n = ( Z ) 2 ˆ α / 2 E 2 ˆ p q Slide 35

36 Tamanho Amostral Para Estimar a Proporção p Quando uma estimativa de ˆp é conhecida: n = ˆ ˆ ( ) 2 p q zα α / 2 E 2 Fórmula 7-2 Quando nenhuma estimativa de ˆ p é conhecida: n = ( ) zα α / 2 E 2 Fórmula 7-3 Slide 36

37 Exemplo: Suponha que um sociólogo deseja determinar a porcentagem atual de famílias americanas que usam o . Quantas famílias devem ser entrevistadas para que tenhamos 95% de confiança em que a porcentagem amostral não terá um erro maior que quatro pontos percentuais? a) Use este resultado de um estudo anterior: Em 1997, 16.9% das famílias americanas usavam e- mails (com base nos dados do The World Almanac and Book of Facts). b) Assuma que não temos nenhuma informação prévia que sugira um possível valor para p. ˆ Slide 37

38 Exemplo: Suponha que um sociólogo deseja determinar a porcentagem atual de famílias americanas que usam o . Quantas famílias devem ser entrevistadas para que tenhamos 95% de confiança em que a porcentagem amostral não terá um erro maior que quatro pontos percentuais? a) Use este resultado de um estudo anterior: Em 1997, 16.9% das famílias americanas usavam s (com base nos dados do The World Almanac and Book of Facts). n = [z a/2 ] 2 ˆp ˆq Para termos 95% de confiança de que nosso percentual E 2 = [1.96] 2 (0.169)(0.831) = = 338 famílias amostral esteja a no máximo quatro pontos percentuais da verdadeira porcentagem de todas as famílias, devemos selecionar aleatoriamente e entrevistar 338 famílias. Slide 38

39 Exemplo: Suponha que um sociólogo deseja determinar a porcentagem atual de famílias americanas que usam o . Quantas famílias devem ser entrevistadas para que tenhamos 95% de confiança em que a porcentagem amostral não terá um erro maior que quatro pontos percentuais? b) Assuma que não temos nenhuma informação prévia que sugira um possível valor para p. ˆ n = [z a/2 ] E 2 = (1.96) 2 (0.25) = = 601 famílias Sem qualquer informação prévia, nós necessitamos de uma amostra maior para mantermos os mesmos resultados com 95% de confiança e um erro não maior que 4%. Slide 39

40 Encontre a Estimativa Pontual e o Erro E a partir de um Intervalo de Confiança Estimativa pontual para p: ˆ ˆ p = (limite superior do intervalo) + (limite inferior do intervalo) Margem de erro: 2 E = (limite superior do intervalo) - (limite inferior do intervalo 2 Slide 40

41 Recapitulando Nesta seção nós estudamos: Estimativas pontuais. Intervalos de confiança. Níveis de confiança. Valor críticos. Margem de erro. Determinando o tamanho amostral. Slide 41

42 Seção 7-3 Estimando a Média Populacional: σ Conhecido Created by Erin Hodgess, Houston, Texas Revised to accompany 10 th Edition, Tom Wegleitner, Centreville, VA Slide 42

43 Objetivo Esta seção apresenta os métodos para usar dados amostrais para encontrar estimativas pontuais e intervalares para a média de uma população. Um pré-requisito necessário nesta seção é o conhecimento do valor do desvio padrão da população. Slide 43

44 Pré-Requisitos 1. O plano amostral utilizado é amostra aleatória simples. (Todas as amostras de mesmo tamanho são equiprováveis.) 2. O valor do desvio padrão populacional σ é conhecido. 3. Pelo menos uma destas condições são satisfeitas: A população é normalmente distribuída ou n > 30. Slide 44

45 Estimação Pontual da Média Populacional A média amostral x é a melhor estimativa pontual para a média populacional µ. Slide 45

46 Média Amostral 1. Para todas as populações, a média amostral x é um estimador não-viciado para a média populacional µ, µ o que significa que a distribuição das médias amostrais tende a se centralizar em torno do valor da média populacional µ. 2. Para muitas populações, a distribuição das médias amostrais x tende a ser mais consistente (com menos variação) que a distribuição de qualquer outra estatística amostral. Slide 46

47 Exemplo: Um estudo mediu a temperatura de 106 adultos saudáveis. A média amostral foi de 98.2ºF (36.8ºC) e o desvio padrão amostral foi de 0.62ºF. Qual a estimativa pontual para a média populacional µ para a temperatura de todas as pessoas?. Como a média amostral x é a melhor estimativa pontual para a média populacional µ, podemos concluir que a melhor estimativa pontual para a média populacional µ da temperatura corporal de todas as pessoas é o F (36.8ºC). Slide 47

48 Definição A margem de erro é a diferença máxima provável (com probabilidade 1 α) entre a Média Amostral x o valor verdadeiro da média populacional µ, e é denotada por E. Slide 48

49 Fórmula Margem de erro E = z α/2 σ Fórmula 7-4 n Margem de erro para média (baseada em σ conhecido) Slide 49

50 Estimativa do Intervalo de Confiança Para a Média Populacional µ (com σ Conhecido) ou ou x E < µ < x + E x + E (x E, x + E) Slide 50

51 Definição Os dois valores x E e x + E são chamados de limites do Intervalo de Confiança. Slide 51

52 Procedimento para Construção de um Intervalo de Confiança para µ (com σ conhecido) 1. Verifique se os requisitos são satisfeitos. 2. Consulte a Tabela A-2 e encontre o valor crítico z α/2 que corresponde ao grau de confiança desejado. 3. Calcule a margem de erro E = z α/ 2 σ/ n. 4. Calcule os valores x E e x + E. Substitua estes valores no formato geral para intervalo de confiança: x E < µ < x + E 5. Arredonde os valores resultantes segundo a regra a seguir: Slide 52

53 Regras de Arredondamento para Intervalos de Confiança Usadas para Estimar µ 1. Quando usar o conjunto de dados originais, arredonde os limites do intervalo de confiança para uma casa decimal a mais que os dados originais. 2. Quando os dados originais não são conhecidos e apenas as estatísticas de resumo (n, x, s) são usadas, arredonde os limites do intervalo de confiança para o mesmo número de casas decimais usado para a média amostral. Slide 53

54 Exemplo: Um estudo mediu a temperatura de 106 adultos saudáveis. A média amostral foi de 98.2ºF (36.8ºC) e o desvio padrão amostral foi de 0.62ºF. Calcule a margem de erro E e o intervalo de confiança com 95% de confiabilidade para µ. n = 106 x = o s = 0.62 o α = 0.05 α /2 = z α/ 2 = 1.96 E = z α/ 2 σ = = 0.12 n 106 x E < µ < x + E µ o 0.12 < µ < o o F < µ < o F o C < µ < o C Slide 54

55 Exemplo: Um estudo mediu a temperatura de 106 adultos saudáveis. A média amostral foi de 98.2ºF (36.8ºC) e o desvio padrão amostral foi de 0.62ºF. Calcule a margem de erro E e o intervalo de confiança com 95% de confiabilidade para µ. n = 106 x = o s = 0.62 o α = 0.05 α /2 = z α/ 2 = 1.96 E = z α/ 2 σ = = 0.12 n 106 x E < µ < x + E o < µ < o Baseada na amostra analisada, o intervalo de confiança para a média populacional é o F < µ < o F. Se selecionarmos amostras diferentes de mesmo tamanho, 95% dos intervalo de confianças conterão a média populacional µ. Slide 55

56 Tamanho Amostral para Estimar a Média µ n = (z ) σ 2 α/2 α Fórmula 7-5 E Onde z α/2 = Escore z crítico baseado no nível de confiança desejado E = margem de erro desejada σ = desvio padrão populacional Slide 56

57 Regra de Arredondamento para o Tamanho Amostral n Quando calcular o tamanho amostral n, se o uso da Fórmula 7-5 não resultar em um número inteiro, sempre aumente o valor de n para o número inteiro seguinte mais próximo. Slide 57

58 Calculando o Tamanho Amostral n Quando σ é desconhecido 1. Use a regra empírica da amplitude (veja a Seção 3-3) para estimar o desvio padrão como segue: σ amplitude/4. 2. Realize um estudo piloto pelo processo de amostragem. Comece o processo de coleta da amostra e com base nos valores iniciais, calcule o desvio padrão amostral s e o use no lugar de σ. 3. Estime o valor de σ usando os resultados de outro estudo feito anteriormente. Slide 58

59 Exemplo: Suponha que desejamos estimar o escore de QI médio para a população de professores de estatística. Quantos professores de estatística devem ser selecionados aleatoriamente para os testes de QI, se desejamos estar 95% confiantes em que a média amostral estará a menos de dois pontos de QI da média populacional? Assuma que σ = 15, conforme é encontrado na população em geral. α = 0.05 α /2 = z α/ 2 = 1.96 E = 2 σ = 15 n = = = Com uma amostra aleatória simples de 217 professores de estatística, estaremos 95% confiantes em que a média amostral estará a menos de 2 pontos de QI da verdadeira média populacional µ. Slide 59

60 Recapitulando Nesta seção nós estudamos: Margem de erro. Estimação do intervalo de confiança para a média populacional com σ conhecido. Regras de arredondamento. Tamanho amostral para estimação da média µ.. Slide 60

61 Seção 7-4 Estimando a Média Populacional: σ Desconhecido Created by Erin Hodgess, Houston, Texas Revised to accompany 10 th Edition, Tom Wegleitner, Centreville, VA Slide 61

62 Ponto Chave Esta seção apresenta métodos para calcular um intervalo de confiança para estimar a média populacional quando o desvio padrão é desconhecido. Com σ desconhecido, nós usaremos a distribuição t de Student assumindo que certos requisitos são atendidos. Slide 62

63 Requisitos com σ Desconhecido 1) A amostra é uma amostra aleatória simples. 2) A amostra provém de uma população normalmente distribuída ou n > 30. Use a distribuição t de Student Slide 63

64 Distribuição t de Student Se a distribuição de uma população é essencialmente normal, então a distribuição de t = x - µ s n é a distribuição t de Student para todas as amostras de tamanho n. É geralmente chamada de distribuição t e é usada para calcular valores críticos denotado por t α/2. Slide 64

65 Definição O número de graus de liberdade para uma coleção de dados amostrais é o número de valores amostrais que podem variar após certas restrições serem impostas aos dados amostrais. Nesta seção, temos que graus de liberdade = n 1 Slide 65

66 Margem de Erro E para Estimação de µ (Comσ Desconhecido) Fórmula 7-6 E = t α / 2 s n onde t α/2 tem n 1 graus de liberdade. Tabela A-3 lista valores para t α/2 Slide 66

67 Intervalo de Confiança para Estimação de µ (Com σ Desconhecido) x E < µ < x + E onde E = t α /2 s n t α /2 encontrado na Tabela A-3 Slide 67

68 Procedimento para Construção de um Intervalo de Confiança para µ (Com σ Desconhecido) 1. Verifique se os requisitos são satisfeitos. 2. Usando n - 1 graus de liberdade, consulte a Tabela A-3 e ache o valor crítico t α/ 2 que corresponde ao nível de confiança desejado. 3. Calcule a margem de erro E = t α/ 2 s / n. 4. Calcule os valores x - E e x + E. Substitua estes valores no formato geral de intervalo de confiança: x E < µ < x + E 5. Arredonde os limites do intervalo de confiança resultante. Slide 68

69 Exemplo: Um estudo mediu a temperatura de 106 adultos saudáveis. A média amostral foi de 98.2ºF (36.8ºC) e o desvio padrão amostral foi de 0.62ºF. Calcule a margem de erro E e o intervalo de confiança com 95% de confiabilidade para µ. Slide 69

70 Exemplo: Um estudo mediu a temperatura de 106 adultos saudáveis. A média amostral foi de 98.2ºF (36.8ºC) e o desvio padrão amostral foi de 0.62ºF. Calcule a margem de erro E e o intervalo de confiança com 95% de confiabilidade para µ. n = 106 x = o s = 0.62 o E = t α/ 2 s = = n 106 α = 0.05 α /2 = t α/ 2 = 1.96 x E < µ < x + E o < µ < o Slide 70

71 Exemplo: Um estudo mediu a temperatura de 106 adultos saudáveis. A média amostral foi de 98.2ºF (36.8ºC) e o desvio padrão amostral foi de 0.62ºF. Calcule a margem de erro E e o intervalo de confiança com 95% de confiabilidade para µ. n = 106 x = o s = 0.62 o α = 0.05 α /2 = t α/ 2 = 1.96 E = t α/ 2 s = = n 106 x E < µ < x + E o < µ < o Baseado na amostra analisada, o intervalo de confiança para a média populacional é o < µ < o. O intervalo é o mesmo do calculado na Seção 7-2, mas em outros casos, a diferença pode ser muito maior. Slide 71

72 Propriedades Importantes Distribuição t de Student 1. A distribuição t de Student é diferente para diferentes tamanhos amostrais (veja Figura 7-5, a seguir, para os casos de n = 3 e n = 12). 2. A distribuição t de Student tem a mesma forma simétrica em sino variabilidade (com distribuições mais largas) que se espera com pequenas amostras. 3. A distribuição t de Student tem média t = 0 (assim como a distribuição normal padronizada tem média z = 0). 4. O desvio padrão da distribuição t de Student varia com o tamanho amostral e é maior que 1 (diferentemente da distribuição normal padronizada, que tem σ = 1). 5. À medida que o tamanho amostral n cresce, a distribuição t de Student se aproxima da distribuição normal padronizada. Slide 72

73 Distribuição t de Student para n = 3 and n = 12 Figura 7-5 Slide 73

74 Escolhendo a Distribuição Apropriada Figura 7-6 Slide 74

75 Exemplo: Temos o escore Flesch para medir facilidade em leitura para 12 páginas diferentes aleatoriamente selecionadas do livro Harry Potter e a Pedra Filosofal, de J.K. Rowling. Ache a estimativa intervalar com 95% de confiança para µ, a média do escore Flesch para facilidade de leitura. (as 12 páginas aparentam ter uma distribuição em forma de sino com x = e s = 4.68.) Slide 75

76 Exemplo: Temos o escore Flesch para medir facilidade em leitura para 12 páginas diferentes aleatoriamente selecionadas do livro Harry Potter e a Pedra Filosofal, de J.K. Rowling. Ache a estimativa intervalar com 95% de confiança para µ, a média do escore Flesch para facilidade de leitura. (as 12 páginas aparentam ter uma distribuição em forma de sino com x = e s = 4.68.) x = s = 4.68 α = 0.05 α/2 = t α/2 = E = t α / 2 s = (2.201)(4.68) = n 12 x E < µ < x + E < µ < < µ < < µ < Nós estamos 95% confiantes que este intervalo contem a média do escore Flesch para facilidade de leitura para todas as páginas do livro. Slide 76

77 Encontrando a Estimativa Pontual e a Margem de Erro E para um Intervalo de Confiança Estimativa pontual para µ: x = (limite superior de confiança) + (limite inferior de confiança) 2 E = Margem de erro: (limite superior de confiança) + (limite inferior de confiança) 2 Slide 77

78 Intervalo de Confiança para Comparar Dados Assim como nas Seções 7-2 e 7-3, não use a sobreposição de intervalos de confiança como uma base para tirar conclusões finais a respeito da igualdade de médias. Slide 78

79 Recapitulando Nesta seção nós estudamos: Distribuição t de Student. Graus de liberdade. Margem de erro. Intervalo de confianças para µ com σ desconhecido. Escolhendo a distribuição apropriada. Estimativa pontual. Usando intervalos de confiança para comparar dados. Slide 79

80 Seção 7-5 Estimando a Variância Populacional Created by Erin Hodgess, Houston, Texas Revised to accompany 10 th Edition, Tom Wegleitner, Centreville, VA Slide 80

81 Ponto Chave Esta seção apresenta métodos para (1) encontrar a estimativa de um intervalo de confiança para o desvio padrão ou variância populacional e (2) determinar o tamanho amostral requisitado para estimar o desvio padrão ou variância populacional. Nós também introduziremos a distribuição qui-quadrado, que é usada para calcular as estimativas para o intervalo de confiança para σ ouσ 2. Slide 81

82 Requisitos 1. O plano amostral é amostra aleatória simples. 2. A população deve ter valores normalmente distribuídos (mesmo que a amostra seja grande). Slide 82

83 Distribuição Qui-quadrado χ 2 = (n 1) s 2 σ 2 Fórmula 7-7 onde n = Tamanho Amostral s 2 = Variância amostral σ 2 = Variância populacional Slide 83

84 Propriedades da Distribuição da Estatística Qui-quadrado 1. A distribuição qui-quadrado não é simétrica, ao contrário das distribuições normal e t de Student. Com o aumento dos graus de liberdade a distribuição torna-se cada vez mais simétrica. Figura 7-8 Distribuição qui-quadrado Figura 7-9 Distribuição qui-quadrado para gl = 10 e gl = 20 Slide 84

85 Propriedades da Distribuição da Estatística Qui-quadrado - cont 2. Os valores do qui-quadrado podem ser zero ou positivos, mas nunca podem ser negativos. 3. A distribuição qui-quadrado é diferente para cada número de graus de liberdade, o qual é gl = n 1 nesta seção. Com o seu aumento, a distribuição qui-quadrado se aproxima da distribuição normal. Na Tabela A-4, cada valor crítico de χ 2 corresponde a uma área dada na linha do alto da tabela, e esta área representa a área acumulada à direita do valor crítico. Slide 85

86 Exemplo: Ache os valores críticos de χ 2 que determina regiões críticas que contêm uma área de em cada cauda. Assuma que o tamanho amostral relevante é 10, de modo que o número de graus de liberdade é 10 1, ou 9. α = 0.05 α/2 = α/2 = Slide 86

87 Valor Críticos da Distribuição Qui-quadrado Áreas à direita de cada cauda Figura 7-10 Slide 87

88 Estimadores de σ 2 A variância amostral s 2 é a melhor estimativa pontual para a variância populacional σ 2. Slide 88

89 Intervalo de Confiança (ou Estimativa Intervalar) Para a Variância Populacional σ 2 (n 1)s 2 (n 1)s 2 < σ 2 < VC à Direita χ 2 D χ 2 E Slide 89

90 Intervalo de Confiança (ou Estimativa Intervalar) Para a Variância Populacional σ 2 - cont (n 1)s 2 (n 1)s 2 < σ 2 < 2 2 VC à Direita χ D χ E VC à Esquerda Slide 90

91 Intervalo de Confiança (ou Estimativa Intervalar) Para a Variância Populacional σ 2 - cont (n 1)s 2 (n 1)s 2 < σ 2 < 2 2 VC à Direita χ D χ E VC à Esquerda Intervalo de Confiança para o desvio padrão populacional σ (n 1)s 2 (n 1)s 2 < σ < χ 2 2 D χ E Slide 91

92 Procedimentos para a Construção de um Intervalo de Confiança Para σ ou σ 2 1. Verifique que os requisitos são satisfeitos. 2. Usando n 1 graus de liberdade, consulte a Tabela A-4 e ache os valores críticos χ 2 D e χ 2 E que corresponde ao nível de confiança desejado. 3. Calcule os limites superior e inferior do intervalo de confiança usando o formato para o intervalo de confiança: (n 1)s 2 χ 2 R < σ 2 < (n 1)s 2 χ 2 L Slide 92

93 Procedimento para a Construção de um Intervalo de Confiança para σ ou σ 2 - cont 4. Se um intervalo de confiança para σ é desejado, tome a raiz quadrada dos limites superior e inferior do IC para σ 2 e mude σ 2 to σ. 5. Arredonde os limites do intervalo de confiança resultante. Se estiver usando o conjunto original de dados, arredonde para uma casa decimal a mais que as usadas para o conjunto original de dados. Se estiver usando o desvio padrão ou variância amostrais, arredonde os limites do IC para o mesmo número de casas decimais. Slide 93

94 Intervalo de Confianças para Comparação de Dados Conforme orientado nas seções anteriores, não use a sobreposição de IC como base para tirar conclusões sobre a igualdade de variâncias ou desvio padrões. Slide 94

95 Exemplo: Um estudo mediu a temperatura de 106 adultos saudáveis. A média amostral foi de 98.2ºF (36.8ºC) e o desvio padrão amostral foi de 0.62ºF. Calcule o intervalo de confiança com 95% de confiabilidade para σ. n = 106 x = 98.2 o F s = 0.62 o F α = 0.05 α /2 = α /2 = χ 2 D = , χ 2 E = (106 1)(0.62) 2 < σ 2 < (106 1)(0.62) < σ 2 < < σ < 0.74 Nós somos 95% confiantes de que os limites de 0.56 F e 0.74 F contem o valor verdadeiro de σ. Nós estamos 95% confiantes de que o desvio padrão da temperatura corporal de todas as pessoas saudáveis está entre 0.56 F e 0.74 F. Slide 95

96 Determinando o Tamanho Amostral Slide 96

97 Exemplo: Queremos estimar σ, o desvio padrão da temperatura corporal de todas as pessoas saudáveis. Queremos ter 95% de confiança de que nossa estimativa esteja a menos de 10% do valor verdadeiro de σ. Qual o tamanho mínimo da amostra? Assuma que a população é normalmente distribuída. Da Tabela 7-2, podemos ver que para 95% de confiança e um erro de 10% para σ corresponde a uma amostra com no mínimo 191 pessoas. Slide 97

98 Recapitulando Nesta seção apresentamos: A distribuição qui-quadrado. Usar a Tabela A-4. Intervalo de confiança para a variância e desvio padrão populacionais. Determinando o tamanho amostral. Slide 98