ESTIMAÇÃO POR INTERVALO DE CONFIANÇA. Profª Sheila Oro 1

Transcrição

1 ESTIMAÇÃO POR INTERVALO DE CONFIANÇA Profª Sheila Oro 1

2 DEFINIÇÃO Um itervalo de confiança (ou estimativa intervalar) é uma faixa (ou um intervalo) de valores usada para se estimar o verdadeiro valor de umparâmetro populacional. Profª Sheila Oro 2

3 NÍVEL DE CONFIANÇA Fornece a taxa de sucesso do procedimento usado para a construção do intervalo de confiança. É expresso por 1 α. Indica a probabilidade de que um intervalo de confiança contenha o valor do parâmetro. α é a probabilidade de erro na estimação por intervalo. Profª Sheila Oro 3

4 NÍVEL DE CONFIANÇA Salvo menção em contrário, supomos os intervalos de confiança simétricos em probabilidade, isto é, tais que a probabilidade de o parâmetro ficar fora do intervalo à sua esquerda é igual à probabilidade de ficar fora à direita, ambas iguais a α/2. As escolhas mais comuns para o nível de confiança são: 90%, 95% e 99%. Profª Sheila Oro 4

5 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA UMA PROPORÇÃO p Dada uma v.a. com distribuição Binomial: X ~ B(n, θ) A proporção de valores X, obtida com base em uma amostra é: p= X n Essa proporção é uma estimativa da probabilidade de ocorrer o evento de interesse na população. Profª Sheila Oro 5

6 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA UMA PROPORÇÃO p Essa estimativa está associada a uma variabilidade. A variabilidade é medida pelo desvio padrão: σ= p q n Profª Sheila Oro 6

7 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA UMA PROPORÇÃO p O intervalo de 95% de confiança para a probabilidade p, para grandes amostras, é dado por: p±1,96 σ Profª Sheila Oro 7

8 MARGEM DE ERRO A proporção de determinado evento na amostra estima a proporção desse evento na população de onde a amostra foi selecionada. O intervalo de confiança fornece a margem de erro da estimativa. Essa margem de erro é dada pela amplitude do intervalo de confiança. Profª Sheila Oro 8

9 EXEMPLO Um teste realizado com 280 pessoas consistia em adivinhar em qual das mãos (ambas fechadas) do pesquisador estava uma moeda. Em 44% das tentativas a identificação foi correta da mão selecionada. A estimativa de intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional p é Margem de erro 0,381 < p < 0,498 0,498 0,381 = 0,117 Profª Sheila Oro 9

10 EXEMPLO Neste exemplo, o pesquisador está 95% seguro de que a proporção de pessoas que acertarão a mão com a moeda está entre 38,1% e 49,7%. A margem de erro é de 11,7%. Profª Sheila Oro 10

11 EXERCÍCIO 1 Considere a situação do exemplo anterior. Determine o intervalo de confiança e a margem de erro se a amostra envolver 1000 pessoas. Profª Sheila Oro 11

12 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA UMA MÉDIA Dada uma v.a. X com distribuição Normal X ~ N(µ, σ²) O intervalo de 95% de confiança para a média, para grandes amostras, é dado por: s x x±1,96 s x Onde é o erro padrão da média, isto é, uma estimativa da variabilidade das médias, caso o pesquisador tomasse, nas mesmas condições, um grande número de amostras. s x= s n Profª Sheila Oro 12

13 EXEMPLO Em uma indústria de refrigerantes, a quantidade de refrigerante inserida em latas tem-se comportado como uma v.a. com média 350 ml e desvio padrão 3 ml. Após alguns problemas na linha de produção, suspeita-se que houve uma alteração na média. Uma amostra de 50 latas acusou média de 346 ml. Constrir um intervalo de confiança para o novo valor da quantidade média de refrigerante inserida em latas, com nível de confiança de 95%, supondo que não houve alteração no desvio padrão do processo. 344,69 ml < µ < 347,31 ml margem de erro 1,31 ml Profª Sheila Oro 13

14 EXEMPLO A quantidade média µ de refrigerante inserida nas latas, após os problemas na linha de produção, é de 346 ml, tolerando, com 95% de confiança, uma margem de erro de até 1,31 ml. Assim, o intervalo (344,69 ; 347,31) contém, com 95% de confiança, o valor µ. Isso mostra que estatisticamente houve alteração média do processo, pois o valor da média antiga (350ml) não pertence ao intervalo. Profª Sheila Oro 14

15 EXERCÍCIO 2 Uma fundição produz blocos para motor de caminhões. Os blocos têm furos para as camisas e deseja-se verificar qual é o diâmetro médio no processo do furo. A empresa retirou uma amostra de 36 blocos e mediu os diâmetros de 36 furos (um a cada bloco). A amostra acusou média de 98 mm e desvio padrão de 4 mm. Construir um intervalo de confiança para média do processo, com nível de confiança de 95%. Interpretar o resultado. Se o processo deveria ter média 100 mm, há evidência estatística (com 95% de confiança) de que a média do processo não está no valor ideal? Explique. Profª Sheila Oro 15

16 EXERCÍCIO 3 A Companhia de Instrumentos Científicos de Precisão fabrica termômetros que devem informar temperaturas de 0ºC no ponto de congelamento da água. Testes em uma amostra de 100 desses instrumentos revelam que no ponto de congelameto da água, alguns termômetros indicam temperaturas abaixo de 0º (indicadas por números negativos) e alguns dão temperatura acima de 0º (indicadas por números positivos). Suponha que a leitura média seja 0ºC e o desvio padrão das leituras seja 1ºC. Suponha, também, que as leituras sejam normalmente distribuídas. Construir um intervalo de confiança para a média do processo, com nível de confiança de 95%. Interpretar o resultado. Profª Sheila Oro 16

17 VALOR CRÍTICO Muitos métodos estatísticos incluem o uso de um escore padrão (z), que pode ser usado para se distinguir entre estatísticas amostrais que têm chance de ocorrer e aquelas que não têm. Tal escore z é chamado VALOR CRÍTICO. Profª Sheila Oro 17

18 VALOR CRÍTICO - DEFINIÇÃO Número na fronteira que separa estísticas amostrais que têm chance de ocorrer daquelas que não têm. O número zα/2 é um valor crítico que é um escore z com aprobabilidade de separar uma área de α/2 na cauda direita da distribuição normal padronizada. Profª Sheila Oro 18

19 EXEMPLO Para calcular o valor crítico zα/2 correspondente ao nível de confiança de 95%, não devemos procurar 0,95 na tabela. Um nível de confiança de 95% corresponde a α = 0,05, enquanto que α/2 = 0,025. Na tabela vemos que zα/2 = 1,96, observando que a área à sua esquerda deve ser 1 0,025 = 0,975. Voltando à tabela, encontramos que a área de 0,975 (corpo da tabela) corresponde a exatamente 1,96 (escore z). Portanto, para um nível de confiança de 95%, o valor crítico é zα/2 = 1,96. Profª Sheila Oro 19

20 EXERCÍCIO 4 Complete a tabela: Nível de confiança α Valor crítico zα/2 90% 0,10 95% 0,05 1,96 99% 0,01 Profª Sheila Oro 20

21 EXERCÍCIO 5 Use o nível de confiança dado e os dados amostrais para achar o intervalo de confiança para estimar a média populacional µ. Salários de graduados que tiveram a disciplina de estatística na faculdade: 90% de confiança; n = 40, X = R$16720,00 e = R$18270,00. Profª Sheila Oro 21

22 EXERCÍCIO 6 Use o nível de confiança dado e os dados amostrais para achar a margem de erro e o intervalo de confiança para a média populacional. Suponha que a população tenha uma distribuição normal. Tempo de vida de um computador de mesa: 99% de confiança; n = 30, X = 6,8 anos, s = 2,4 anos. Profª Sheila Oro 22