Universidade Federal da Paraíba Departamento de Estatística Lista Intervalo de Confiança e Teste de Hipótese

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1 1. Considere a amostra aleatória simples X = X 1,X 2,X 3,X 4 de uma população com µ e desvio padrão σ. Dois estimadores da verdadeira média populacional µ são apresentados a seguir: µ 1 = X 1 + 3X 3 2 X 2 + X 4 4 e µ 2 = X 3 + X 2 3 3X 1 X 4 6 Verifique se os estimadores são não viciados. Caso algum seja viciado transforme-o em um estimador não viciado; Qual dos estimadores é o mais eficiente? Qual dos dois estimadores você escolheria para estimar µ? 2. Acredita-se que a condição sócio econômica de um aluno é um dos fatores importantes no rendimento escolar. Assim sendo, decidiu-se tomar uma amostra aleatória de 23 alunos dentre aqueles que possuem um baixo rendimento escolar, a qual forneceu uma renda semanal média de R$ 87, 00 e desvio padrão R$ 5, 50. Supondo que a renda é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal: Determine um intervalo de confiança para a verdadeira média da renda dos estudantes com baixo rendimento escolar, para um nível de confiança de 95%; Supondo que é considerado de baixa renda se a remuneração mensal for inferior a R$ 400, podese afirmar com 95% de confiança, que existem evidências que alunos de baixa renda tem baixo rendimento escolar? Justifique; (c) Qual o tamanho de amostra necessário, para um nível de confiança de 95%, se quisermos uma margem de erro máxima de R$ 2, 00 para a renda semanal? 3. Um certo jogador de basquete converte em média 65% dos seus arremessos a meia distância. Com o objetivo de melhorar sua pontaria, ele realizou uma série de treinamentos durante durante 15 dias. Para verificar se os treinamentos surtiram efeito, ele faz 100 arremessos e converte 70 deles. O que o jogador pode concluir ao nível de 5% de significância? Qual o p-valor do teste? A partir de qual nível de significância o jogador poderá concluir que houve melhora em sua pontaria? 4. Uma análise química de uma substância é feita para determinar sua porcentagem de ferro. Em uma amostra de 10 medidas observou-se uma porcentagem média de 30% de ferro com desvio padrão de 0, 5%. Supondo que a porcentagem de ferro é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal, encontre um IC para a média populacional com 99% de confiança. 5. O dono de uma fábrica de confecção de tapetes está desconfiado que está havendo um gasto excessivo de tinta em uma das etapas do processo. Com o objetivo de verificar se isto de fato está ocorrendo, foi selecionada uma amostra aleatória de 30 tapetes e obteve-se um gasto médio de tinta de 1,8 l com variância de 0,36 l 2. Sabe-se que a quantidade de tinta gasta no processo em condições normais tem distribuição normal com média 1,6. O que o dono da fábrica pode concluir com 90% de confiança? O dono da fábrica não está satisfeito com o tamanho do intervalo encontrado e deseja reduzir esse intervalo em 10% mantendo-se o mesmo nível de confiança. Quantos tapetes precisam ser selecionados a mais para completar a amostra?

2 6. Uma agência de publicidade afirma que uma campanha promocional recente atingiu 30% das famílias de certa localidade. A empresa que financiou a propaganda duvida dessa porcentagem e resolve fazer um levantamento para verificar a autenticidade da afirmativa. Encontre para as duas situações abaixo qual deve ser o tamanho da amostra para que a estimativa obtida tenha um erro máximo de 3% ao nível de 95% de confiança? Admitindo que a proporção de famílias atingidas seja realmente 30%; Considerando que nada se sabe a respeito da proporção de famílias atingidas pela campanha promocional. 7. Em geral, sabe-se que as mulheres do curso de exatas têm melhores desempenhos na disciplina de estatística. Estudos mostram que as notas das mulheres são normalmente distribuídas com média 8,0 e desvio padrão de 1,4. A partir de uma amostra aleatória de 36 mulheres dos cursos de exatas, especialistas no assunto comprovaram com 3% de significância que as mulheres têm nota média superior a 8. Qual foi o valor mínimo da nota média da amostra necessária para comprovar tal afirmação? 8. Em uma indústria de cerveja, a quantidade de cerveja inserida em latas tem-se comportado como uma variável aleatória normal com média 350 ml e desvio padrão 3 ml. Após alguns problemas na linha de produção, suspeita-se que houve alteração na média. Uma amostra de 20 latas acusou média 346 ml. É possível concluir se houve alteração na média do processo com uma confiança de 95%? 9. O tempo de execução de uma etapa em um processo de produção foi medido doze vezes, obtendo-se os seguintes resultados em minutos: Apresente um intervalo de 95% de confiança para o tempo médio; É possível afirmar com uma confiança de 95% que o tempo médio de execução de uma etapa do processo produtivo seria superior a 14 minutos, se fossem medidos os tempos de todos os funcionários do setor? 10. Uma Fábrica produziu chips Pentium IV em um certo período. São selecionados aleatoriamente 400 chips para testes. Suponha que 20 chips não tenham a velocidade de processamento adequada, construa um intervalo para a proporção de chips adequados com 95% de confiança; Verifique se essa amostra é suficiente para obter um intervalo de 99% de confiança e erro amostral máximo de 0, 5% para a proporção de chips adequados. Caso contrário, qual deveria ser o tamanho da amostra? 11. Segundo um fabricante "tomou DORIL, a dor sumiu"em 90% dos casos. Na dúvida o CRM testou o medicamento em 150 pessoas e constatou que a "dor sumiu"em 120 delas. Isso faculta ao CRM classificar a propaganda do fabricante como enganosa? Use um nível de 5% de significância. Estime, através de um intervalo de confiança o verdadeiro valor de p, para um nível de confiança de 95%. 12. A nota média em matemática no vestibular das engenharias, dos alunos que fazem cursinho é 5,9. Desconfiando-se de um baixo rendimento nos últimos anos em matemática, dos pré-vestibulandos, Page 2

3 resolveu-se retirar uma amostra de 35 alunos que fizeram vestibular, computando-se uma média de 4,5 e um desvio padrão 1,3 na disciplina aludida. Ao nível de 5% de significância você aceitaria a hipótese de que a nota média em matemática diminuiu? 13. O prefeito de João Pessoa deseja estimar a média de gastos para os turistas que visitam a cidade. Com este propósito, uma amostra aleatória de 120 turistas foi selecionada para a investigação e encontrouse que a média foi de R$800 com desvio padrão de R$200. Achar o intervalo de confiança, para a média de todos os gastos de turistas com a cidade, para um nível de confiança de 99%. 14. O valor médio das vendas por estabelecimento varejista, durante o último ano, de um particular produto, foi de R$ 3.425, 00 para uma amostra de 25 estabelecimentos. Com base em dados de vendas de outros produtos similares, supõe-se que a distribuição das vendas seja normal e que o valor do desvio padrão da população seja R$ 200, 00. Suponha que tenha sido afirmado que o verdadeiro valor das vendas por estabelecimento é inferior a R$ 3.500, 00. Testar esta afirmação ao nível de significância de 5% 15. A idade média dos alunos do 3o período de Química em 2004 na UFPB foi de 20 anos. Teve-se a impressão de que a idade média dos estudantes do mesmo curso em 2005 haveria aumentado. Obteve-se uma amostra de 36 estudantes do 3o período em 2005 que forneceu uma idade de 22 anos com desviopadrão de 7 anos. A impressão é verdadeira? Verifique ao nível de 5% de significância. 16. Aplicou-se um teste a uma amostra constituída de 20 alunos de engenharia mecânica sobre Conhecimentos Gerais, sendo obtida uma média de 4,7 e desvio-padrão 1,2. Em anos anteriores esse mesmo teste acusou média de 5,2 para todos os alunos. Com base nesses dados, pode ser concluído que houve um decréscimo na média de Conhecimentos Gerais dos alunos de engenharia mecânica? Suponha que as notas do teste são normalmente distribuídas. Use nível de significância de 1%. 17. Em determinada cidade, uma pesquisa em 2001 revelou que 40% da população feminina fumava mais de uma carteira de cigarros por dia. Nos últimos anos com a intensificação da campanha contra o fumo, desconfia-se que houve uma redução na proporção de mulheres fumantes. Feita uma nova pesquisa em 2005 com 100 mulheres, observou-se que 36% da população feminina continuava fumando mais de uma carteira por dia. Realize o teste de hipótese com nível de significância de 5% interpretando os resultados. 18. Uma companhia de automóveis lançou um novo modelo na categoria dos populares, muito mais possante, e diz ser o mesmo mais econômico, fazendo uma média de 14 k m /l. O engenheiro mecânico de uma companhia concorrente não acredita no anuncio da concorrente e resolve testar 16 desses automóveis, encontrando uma média de 13, 6 k m/l com desvio-padrão de 1, 6 k m/l. O que o engenheiro mecânico deve concluir ao nível de 5% de significância? (Suponha o necessário para resolver o problema) 19. Os novos operários de uma empresa são treinados a realizarem uma nova tarefa, cujo tempo X (em horas) de aprendizado é anotado. Observou-se que X tem distribuição normal com média µ = 25 hs. Uma nova técnica de ensino, que deve melhorar o tempo de aprendizado, foi testada em uma amostra aleatória de 16 novos empregados, os quais apresentaram um tempo médio de aprendizado de X = 23hs com um desvio padrão de S = 10hs. Você diria, ao nível de 5% de significância, que a nova técnica é melhor que a anterior? Page 3

4 H 0 : µ = (σ = 150) 20. Fazendo o teste: para uma amostra de tamanho n = 100, estabeleceu-se a H 1 : µ = (σ = 200) seguinte região crítica: RC = x : x Qual a probabilidade de rejeitar H 0 quando H 0 verdadeira? Qual a probabilidade de não rejeitar H 0 quando H 0 é falsa? 21. Uma empresa de pneus de bicicletas registrou em seus arquivos, o tempo de duração dos pneus em meses, a seguinte distribuição de freqüência, foi obtida observando-se uma amostra de 36 pneus: Tempo Mão de Obra No. de pneus Estimar, por intervalo de confiança, a média do tempo de duração de um pneu. Use nível de confiança de 95%; Sabe-se que o pneu é considerado BOM se durar no mínimo 9 meses. Estime com 95% de confiança a verdadeira proporção de pneus considerados bons. 22. Com base nos dados abaixo, Cigarros sem filtro Cigarros com filtro Não fumam Total Homens Mulheres Total você pode concluir que: A proporção de fumantes é diferente de 80%, para uma significância de α = 4%; A proporção dos que fumam cigarros com filtro é inferior a 70%, para uma significância de α = 2%; (c) A população de fumantes feminina é diferente de 40%, para uma significância de α = 1%; 23. Uma cadeia de oficinas mecânicas instalará um novo estabelecimento em um local proposto se passarem, pelo local, mas que 200 carros por hora durante certos períodos do dia. Para 30 horas aleatoriamente selecionadas durante tais períodos, o número médio de carros que passaram pelo local foi de 208,5, com desvio padrão 30,0. Supõe-se que o número de carros que passam nestes períodos seja uma variável aleatória aproximadamente normal. Qual a decisão que o gerente da cadeia de oficinas deve tomar? Use um nível de significância de 5%? Page 4

5 Gabarito 1a. Questão: Tem-se que: E (µ 1 ) = 6µ 4 portanto, µ 1 é um estimador viciado para µ E (µ 2 ) = µ portanto, µ 2 é um estimador não viciado para µ Para, µ 1 = 4µ 1 6 tem-se que E (µ 1 ) = µ portanto, é um estimador não viciado para µ A variância dos estimadores µ 1 e µ 2 é dada por, 2a. Questão: Va r (µ 1 ) = 42σ2 64 Va r (µ 2 ) = 50σ2 36 Portanto, µ 1 é mais eficiente que µ 2. Nestas condições, o estimador escolhido é µ 1. I C µ ; 95% = 87 ± 2, 4 = 84, 6 ; 89, 4 Sim, pois supondo que o mês tem 4 semanas, tem-se que o IC para a renda mensal média é: Visto que os dados coletados eram para renda semanal, então para Y = 4X, isto é, para a renda mensal, tem-se, e o desvio padrão para Y é, S Y = 23 i =1 Yi Y 2 = 23 1 Nestas condições, segue que, Y = 23 i =1 23 i =1 Y i 23 = 23 i =1 4 X i 23 = 4 23 i =1 X i 23 = 4 X 4 Xi 4X i =1 Xi X 2 23 i =1 Xi X 2 = = 4 = 4 S X I C µ ; 95% = 4 87 ± 4 2, 4 = 338, 4 ; 357, 6 (c) Portanto, pode-se concluir com 95% de confiança que a renda mensal média dos alunos com baixo rendimento escolar é inferior a R$400. Logo, existem evidências que alunos de baixa renda tem baixo rendimento escolar. Do problema, tem-se que E 2. Como não conhecemos o desvio padrão populacional, vamos supor que σ = S X = 5, 5. Assim σ E = z α = 1, 96 5, n n portanto, n 30. Page 5

6 3a. Questão: Observação 1. Note que, como não conhecemos σ, deveríamos utilizar, E = t α 2 ; n 1 S X n. Entretanto, desta maneira deveremos utilizar um processo recursivo na determinação de n. Tem-se que: p = 0, 7 e z α = 1, 64. H 0 : p 0, 65 As hipóteses são: H 1 : p > 0, 65 Valor crítico: z c = 1, 64 ou p c 0, 65 0,65 0,35 = 1, 64 p c = 0, Valor do teste: z 0 = 1, 05 Região Crítica: RC = x : x 1, 64 ou RC = x [0, 1] : x 0, 73 Conclusão: Como z 0 / RC, não rejeitamos H 0 ao nível de significância de 5%. Logo, não existem evidências de que o treinamento surtiu efeito. p-valor= 0, 147. Portanto, para α 0, 147 o jogador poderá concluir que houve melhora em sua pontaria. 4a. Questão: Tem-se que: I C µ ; 99% = 30 ± 0, 5 = 29, 5 ; 30, 5 5a. Questão: Tem-se que t α 2 ; 29 = 1, 70, assim I C µ ; 90% = 1, 8 ± 0, 19 = 1, 61 ; 1, 99 Logo, pode-se concluir com 90% de confiança que realmente está havendo um gasto excessivo de tinta no processo, pois o limite inferior do IC é maior que 1,6. Note que o tamanho do intervalo é, Limite superior-limite inferior = (X + E ) (X E ) = 2E. Portanto, uma redução em 10% do tamanho do intervalo é igual a, Deste modo, a nova margem de erro é dada por, 2E 0, 1 2E = (1 0, 1) 2E = 1, 8E = 1, 8 0, 19 = 0, 342 E 0, 342 = = 0, Assim, utilizando a aproximação normal, tem-se que 0, 36 E = 1, 64 = 0, 171 n = 34 n Portanto, deve-se selecionar mais 4 tapetes. Page 6

7 6a. Questão: Para p = 0, 3 tem-se que, 0, 3 0, 7 0, 03 = 1, 96 n = 897 n Se não tem-se informação nenhuma, devemos escolher p de tal forma que maximize a expressão p(1 p). Deste modo, para p = 0, 5 obtemos o máximo. Assim, 0, 5 0, 5 0, 03 = 1, 96 n = 1068 n 7a. Questão: O valor crítico é dado por, x c 8, 0 1,4 36 = z α 2 x c = 8, 4 Portanto, a nota média mínima necessária para comprovar a afirmação é 8,4. 8a. Questão: I C (µ; 95%) = (344, 7 ; 347, 3). Houve alteração pois... 9a. Questão: I C (µ; 95%) = (13, 02 ; 14, 98); Não pois o I.C. com 95% de confiança contém valores inferiores a a. Questão: I C (µ; 95%) = (0, 93 ; 0, 97); O tamanho da amostra deveria ser Logo, a amostra não é suficiente. 11a. Questão: RC = x : x 1, 64 e z 0 = 4, 02. Como z 0 RC, rejeitamos H 0 ao nível de significância de 5%. Logo, existem evidências de que o fabricante fez propaganda enganosa; I C (p ; 95%) = (0, 74 ; 0, 86). 12a. Questão: RC = x : x 1, 69 e t 0 = 6, 37. Como t 0 RC, rejeitamos H 0 ao nível de significância de 5%. Logo, existem evidências de que a nota média em matemática diminuiu. 13a. Questão: I C (µ; 99%) = (752, 2 ; 847, 8) 14a. Questão: RC = x : x 1, 64 e z 0 = 1, 875. Como z 0 RC, rejeitamos H 0 ao nível de significância de 5%. Logo, existem evidências de que o valor das vendas por estabelecimento é inferior a R$ 3.500, a. Questão: RC = x : x 1, 69 e t 0 = 1, 71. Como t 0 RC, rejeitamos H 0 ao nível de significância de 5%. Logo, existem evidências de que a idade média dos estudantes aumentou. 16a. Questão: RC = x : x 2, 54 e t 0 = 1, 86. Como t 0 / RC, não rejeitamos H 0 ao nível de significância de 1%. Logo, não existem evidências de que houve um decréscimo na média de Conhecimentos Gerais dos alunos de engenharia mecânica. 17a. Questão: RC = x : x 1, 64 e z 0 = 0, 82. Como z 0 / RC, não rejeitamos H 0 ao nível de significância de 5%. Logo, não existem evidências de que houve decréscimo na proporção de fumantes femininas. Page 7

8 18a. Questão: RC = x : x 1.75 e t 0 = 1. Como t 0 / RC, não rejeitamos H 0 ao nível de significância de 5%. Logo, não existem evidências de que o automóvel faça menos de 14 k m/l. 19a. Questão: RC = x : x 1.75 e t 0 = 0, 8. Como t 0 / RC, não rejeitamos H 0 ao nível de significância de 5%. Logo, não existem evidências de que a nova técnica é melhor que a anterior. 20a. Questão: P(Erro tipo I) = 0, 0918; P(Erro tipo II) = 0, 0668; 21a. Questão: I C (µ; 95%) = (7, 32 ; 9, 34); I C (p ; 95%) = (0, 31 ; 0, 63). 22a. Questão: RC = x : x 1, 75, x 1, 75 e z 0 = 0, 26. Como z 0 / RC, não rejeitamos H 0 ao nível de significância de 4%. Logo, não existem evidências de que a proporção de fumantes é diferente de 80%; RC = x : x 2, 05 e z 0 = 1, 55. Como z 0 / RC, não rejeitamos H 0 ao nível de significância de 2%. Logo, não existem evidências de que a proporção dos que fumam cigarros com filtro é inferior a 70%; (c) RC = x : x 2, 33, z 0 2, 33 e z 0 = 3, 86. Como z 0 RC, rejeitamos H 0 ao nível de significância de 1%. Logo, existem evidências de que a proporção de fumantes feminina é diferente de 40%. 23a. Questão: RC = x : x 1.70 e t 0 = 1, 55. Como t 0 / RC, não rejeitamos H 0 ao nível de significância de 5%. Logo, não existem evidências de que o número médio de carros que passaram pelo local é maior que 200. Portanto, o gerente da cadeia de oficinas não deve instalar a nova oficina no local. Page 8