Contabilometria. Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

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1 Contabilometria Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

2 Intervalos de Confiança Fonte: LEVINE, D. M.; STEPHAN, D. F.; KREHBIEL, T. C.; BERENSON, M. L.; Estatística Teoria e Aplicações, 5a. Edição, Editora LTC, São Paulo, 2008

3 Tópicos 1. Intervalos de confiança para a média populacional, μ Quando o desvio-padrão σ da população é conhecido Quando o desvio-padrão σ é desconhecido 2. Intervalos de confiança para a proporção populacional, π

4 Estimativa Pontual Uma estimativa pontual é um número único. Para a média populacional (e o desvio-padrão populacional), uma estimativa pontual é a média de uma amostra (e o desvio-padrão de uma amostra). Um intervalo de confiança traz informação adicional sobre a variabilidade da informação Limite Inferior de Confiança Estimativa Pontual Largura do Intervalo de Confiança Limite Superior de Confiança

5 Estimativas por Intervalo de Confiança Um intervalo de confiança dá uma estimativa intervalar para os valores: Leva em consideração a variação nas estatísticas amostrais que ocorrem de amostra para amostra Baseia-se em todas as observações de uma amostra Dá informações sobre quão próxima aquela informação está do parâmetro populacional É estabelecido em termos do nível de confiança Ex. 95% de confiança, 99% de confiança Nunca pode ser 100% de confiança

6 Estimativa por Intervalo de Confiança A fórmula geral para todos os intervalos de confiança é: Estimativa Pontual ± (Valor Crítico) (Erro Padrão)

7 Nível de Confiança Nível de Confiança Confiança em que o intervalo definido irá conter o parâmetro populacional desconhecido. É um percentual (menor que 100%)

8 Nível de Confiança Suponha nível de confiança = 95% Também escrito (1 - ) = 0,95 Uma interpretação em termos de frequência relativa: No longo prazo, 95% de todos os intervalos de confiança que puderem ser construídos, irão conter o verdadeiro parâmetro populacional desconhecido. Um intervalo específico pode conter ou não o verdadeiro parâmetro populacional.

9 Intervalo de Confiança Por que não levar o nível de confiança o mais próximo de 100% possível? Porque isto implicaria aumentar também o intervalo de confiança diminuindo a precisão; Intervalos maiores são piores para a tomada de decisões; Até aqui, quanto maior o nível de confiança maior o intervalo de confiança!

10 Intervalo de Confiança para a Média (σ conhecido) Premissas: População com desvio-padrão conhecido População com distribuição nos moldes da distribuição normal Se a população não for normal, use amostras grandes Estimativa do Intervalo de Confiança: X Z σ n (onde Z é o valor crítico para uma probabilidade α/2 em cada cauda, de uma distribuição normal padronizada)

11 Encontrando o Valor Crítico, Z Considere um intervalo com um nível de confiança igual a 95%: 1.95 α α Z unidades: X unidades: Z= -1,96 0 Z= 1,96 Limite Inferior do Intervalo de Confiança Estimativa Pontual Limite Superior do Intervalo de Confiança

12 Encontrando o Valor Crítico, Z Os intervalos de confiança mais comuns são 90%, 95%, e 99% Nível de Confiança Coeficiente de confiança Valor-Z 80% 90% 95% 98% 99% 99.8% 99.9% ,28 1,645 1,96 2,33 2,58 3,08 3,27

13 Intervalos e Níveis de Confiança Distribuição da Média Amostral /2 1 /2 Intervalos se extendem de σ X Z n até X Z σ n μ x μ x 1 x 2 Intervalos de Confiança x (1- )x100% dos intervalos construídos contém μ; ( )x100% não contém.

14 Intervalo de Confiança para μ (σ conhecido) Exemplo Uma amostra de 11 circuitos retirada de uma população que segue a distribuição normal, tem resistência média de 2,20 ohms. Nós sabemos, de testes passados, que o desvio padrão da população é.35 ohms. Determine um intervalo de confiança a 95% de confiança para a verdadeira resistência média da população de circuitos.

15 Intervalo de Confiança para μ (σ conhecido) Exemplo σ X Z n 2,20 1,96 (.35/ 2, (1,9932 ; 2,4068) 11) Nós estamos 95% confiantes de que o intervalo 1,9932 a 2,4068 ohms contém a verdadeira média da população. Apesar da verdadeira média poder ou não estar dentro deste intervalo, 95% dos intervalos formados desta maneira conterão a verdadeira média.

16 Intervalo de Confiança para μ (σ Desconhecido) Se o desvio-padrão da população é desconhecido, nós podemos usar o desvio-padrão da amostra, S Isso introduz uma incerteza adicional, já que S é varia de amostra para amostra Então, utiliza-se a distribuição t ao invés da distribuição normal

17 Premissas: Intervalo de Confiança para μ (σ Desconhecido) População com desvio-padrão desconhecido População normalmente distribuída Se a população não for normal, use amostras grandes Use a distribuição t de Student Estimativa do Intervalo de Confiança: X tn- 1 (onde t é o valor crítico de uma distribuição t com n-1 g.l. e áreas α/2 em cada cauda) S n

18 Distribuição t de Student O valor t depende dos graus de liberdade (g.l.) Número de observações que são livres para variar depois que a média da amostra foi calculada g.l. = n - 1

19 Graus de Liberdade Idéia: Número de observações que são livres para variar depois que a média da amostra foi calculada Exemplo: Suponha que a média de 3 números seja igual a 8.0 Seja X 1 = 7 Seja X 2 = 8 Qual deve ser o valor de X 3? Se a média dos três valores é 8.0, então X 3 tem que ser igual a 9 (i.e., X 3 não é livre para variar) Aqui, n = 3, então os graus de liberdade são = n 1 = 3 1 = 2 (2 números podem assumir qualquer valor, mas o terceiro não está livre para variar dada uma certa média)

20 Distribuição t de Student Obs: t Z à medida que n aumenta Normal Padrão (t com gl = ) Distribuições t são em forma de sino, simétricas, mas com caudas mais gordas que a distribuição normal t (gl = 13) t (gl = 5) 0 t

21 Tabela da Distribuição t de Student Area Cauda Sup. gl ,000 3,078 6,314 Seja: n = 3 gl = n - 1 = 2 =.10 /2 = ,817 1,886 2, ,765 1,638 2,353 /2 =.05 O corpo da tabela contém valores t, não probabilidades 0 2,920 t

22 Intervalo de Confiança para μ (σ Desconhecido) Exemplo Uma amostra aleatória com n = 25 elementos tem X = 50 e S = 8. Construa um intervalo de confiança para a média μ a um nível de confiança de 95% g.l. = n 1 = 24, então O intervalo de confiança é X t S /2, n-1 50 n (2,0639) 8 25 (46,698 ; 53,302)

23 Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional, π Uma estimativa de intervalo para a proporção populacional ( π ) pode ser calculada acrescentando uma incerteza à proporção na amostra ( p )

24 Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional, π Lembre que a distribuição da proporção amostral é aproximadamente normal, se o tamanho da amostra for grande, com desvio-padrão σ p (1 ) n que pode ser estimado a partir dos dados da amostra com: p(1 p) n

25 Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional, π Os limites superiores e inferiores do intervalo de confiança para a proporção populacional são calculados a partir da fórmula onde p Z p(1 Z é o valor crítico para o intervalo de confiança desejado, obtido na distribuição normal padronizada n p é a proporção na amostra n é o tamanho da amostra p)

26 Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional, Exemplo Uma amostra aleatória de 100 pessoas mostrou que 25 delas fizeram saques em seus fundos para aposentadoria no último ano. Construa um intervalo de confiança a 95% para a verdadeira proporção da população que recorreu aos fundos de aposentadoria. p Z p(1 p)/n 25/100 1,96.25(.75)/ ,96 (.0433) (0,1651 ; 0,3349)

27 Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional, Exemplo Com 95% de confiança podemos afirmar que o intervalo entre 16,51% e 33,49% contém a verdadeira proporção da população que fez saques em seus fundos de aposentadoria. Apesar do intervalo.1651 a.3349 poder ou não conter a verdadeira proporção, 95% dos intervalos formados desta maneira a partir de amostras de tamanho 100, conterão a verdadeira proporção.