Inferência Estatística: DEEST/UFOP Prof.: Spencer Barbosa da Silva

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1 Inferência Estatística: Prof.: Spencer Barbosa da Silva

2 Amostragem Estatística Descritiva Cálculo de Probabilidade Inferência Estatística Estimação Teste de Hipótese Pontual Por Intervalo

3 Conceitos básicos Estimação É um processo que consiste em avaliar os parâmetros de uma distribuição de estimadores obtidos em uma amostral. Parâmetro As quantidade da população, em geral, desconhecidas e sobre as quais temos interesse, e usualmente representadas por letras gregas tais como,, e, entre outras. Estimativa Valor numérico de um estimador.

4 são usados para descrever a População X 1, X 2, X 3,..., X N Parâmetros,,p O pesquisador seleciona uma A amostra gera Amostra: X 10, X 21,..., X n Dados 7,0; 5,8; 6,4;... Os dados são processados por Estimativas: 7,0; 1,2; 80% Estatísticas ou estimadores: X, s, p São usadas para estimar As estatísticas geram

5 Distribuições Amostrais Definição: Uma distribuição amostral é uma distribuição de freqüência ou distribuição de probabilidade de uma estatística da amostra que é formada quando amostras de tamanho n são repetidamente colhidas de uma população. - Se a estatística da amostra for a média amostral, resultará em uma distribuição amostral das médias amostrais; - Se for a variância, resultará em uma distribuição amostral das variâncias amostrais. - Se for a proporção de itens com cada característica, será a distribuição amostral das proporções amostrais.

6 Exemplo 1: 8 amostras aleatórias de 10 elementos Amostra Valores x x ~ ) , , , ,90-0, , , ,10 0, ,80 0,5-2 Em que é a média amostral, é a mediana amostral e x (1) x x ~ é o mínimo amostral. x (1

7 Exemplo 2: Um jogo consiste em lançar uma moeda 3 vezes. Para cada lançamento: Se cair cara você ganha 1 ponto Caso saia coroa, você perde um ponto - Determine as distribuições de probabilidade dos estimadores e. x S 2 Solução: Em uma população podemos assumir os valores 1 e 1, com probabilidades iguais. c= cara e k=coroa, 2 3 =8 lançamentos. ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). ( ), ( ),

8 Baseando-se na tabela acima, podemos construir as distribuições dos estimadores, dada por: X 0 4/3-1 -1/3 1/3 1 p i 2/8 6/8 p i 1/8 3/8 3/8 1/8 S E ( X ) 1* * * 1* E( S 2 ) 0* *

9 Estimação Pontual Definição: As estimativas são ditas pontuais quando apontam para um único valor. Tabela: Estimadores para Média, Variância e Proporção Parâmetro Estimador Estimativa por ponto X 2 S 2 S X 27 anos S 2 10 anos s 3, 16 anos P p ˆ 0,3 p

10 Teorema Central do Limite 1. Quando a população é normal N(;), a média amostral de amostras de tamanho n tem distribuição N ; n 2. Para uma pop. Não-normal com média e d.p., a distribuição da média amostral X para amostras de tamanho n suficientemente grande é aproximadamente normal com média e desvio padrão n, isto é: X X ~ N(0,1) n

11 Teorema Central do Limite

12 Exemplo 3: Coleta-se uma amostra de 10 observações independentes de uma N(2;2). Determine a probabilidade de a média amostral: a) Ser inferior a 1. 2 Solução: 2; 2 e n 10 X 1 2 P( X 1) P P( Z 2,23) 0,0125 1,42 n 10 Portanto, a probabilidade de a média amostral ser inferior a 1 é de 0,0125. b) Ser Superior a 2,5. X 2,5 2 P( X 2,5) P 1 P( Z 1,11) 0,1314 1,42 n 10

13 Exemplo 4: O gráfico enumera os períodos de tempos que os adultos gastam lendo jornais. Selecione ao acaso 50 adultos com idade entre 18 e 24 anos. Qual é a probabilidade de que o tempo médio gasto por eles lendo jornal esteja entre 8,7 e 9,5 minutos? Suponha = 1,5 minutos. Solução: Como n >30, então pelo TCL a distribuição de médias das amostras é aproximadamente normal N; n X 9 1,5 0, 2121 X n 50 P(8,7 X 9,5) 8,7 9 P 1,5 50 X 9,5 9 1,5 n 50 P( 1,41 Z 2,36)

14 Continuação, P( 8,7 X 9,5) P( Z 2,36) P( Z 1,41) 0,9909 0,0793 0,9116. Então, a probabilidade de que o tempo médio gasto pelos 50 adultos lendo jornal esteja entre 8,7 e 9,5 minutos é 0,9116. Assim, 91,16% das amostras de 50 adultos com idade entre 18 e 24 anos apresentarão uma média situada entre 8,7 e 9,5 minutos. Isso significa que, assumindo que o valor =9 esteja correto, somente 8,84% de médias das amostras estarão fora do intervalo dado.

15 Dica de estudo 1. Para obter as probabilidades de membros individuais de uma população com uma variável aleatória x, distribuída normalmente, use a fórmula: z X 2. Para obter probabilidade para a média X de uma amostra de tamanho n, use a fórmula: z X x x onde, X n

16 Estimação Intervalar Definição: Uma estimativa intervalar é um intervalo de valores usados para estimar um parâmetro populacional. Definição: O Nível de Confiança é a probabilidade de que o intervalo estimado contenha o parâmetro populacional.

17 As estimativas intervalares são chamadas de Intervalo de Confiança. Um intervalo de confiança para um determinado parâmetro populacional é dado por estimador pontual para o parâmetro ± margem de erro A margem de erro diminui a medida que o tamanho da amostra aumenta. Todo intervalo de confiança está associado a um nível de confiança. Podemos determinar por exemplo um intervalo de 90% de confiança para a média populacional.

18 Intervalo de Confiança para a média populacional () 100(1 )% IC para a média populacional, onde a é População Normal e desvio-padrão é conhecido (), temos: Fórmula: X z * ; X z * 1 2 n 2 n 100(1 )% IC para a média populacional, onde a é População Normal e desvio-padrão é desconhecido (), temos: Fórmula: X s s n t ; X t * 2; n1 * 2; n1 1 n Dica: IC para pequenas mostras. Usa a distribuição t, quando n<30

19 density Distribuição Normal versus t Normal t(n-1=2) t(n-1=3) t(n-1=15) x

20 Tabela t-student

21 Intervalo de Confiança para a média populacional () População Não-Normal. Grande Amostras, Fórmula: X s s z 2 * ; X z 2 * 1 n n

22 Intervalo de Confiança para a média populacional µ

23 Exemplo 1: Uma amostra de 80 motoristas de determinado estado indica que um automóvel roda, em média, km por ano, com d.p de km. Construa um intervalo de confiança de 98% de confiança para a rodagem anual média dos carros. Solução: n 80, ( amostra grande) X x 1 0,98 0, 02 0,02 z 0, km, 3800km ( d. p populac. conhecido ) Procura 0,01 dentro da tabela e encontra o valor de 2,32 em módulo. z * ; X z * 1 2 n 2 n ,32* ; ,32* ,34;22985,66

24 Exemplo 1: Uma pesquisa deseja estudar o perfil do aluno da UFOP. Uma das variáveis de interesse é a idade. 10 alunos foram selecionados e suas idades foram anotadas: Sabe-se que a idade do aluno da UFOP segue a distribuição Normal. Com base nesta amostra, obtenha uma estimativa pontual e uma Intervalar (com 92% de confiança) para a idade média do aluno da UFOP.

25 Exemplo 3: Uma pesquisa deseja estimar o número médio de crianças por família em uma certa cidade. Sabe-se que o numero de crianças por família nesta cidade segue a distribuição Normal com variância famílias foram entrevistadas quanto ao numero de crianças: Com base nesta amostra, obtenha uma estimativa pontual e uma intervalar (com 98% de confiança) para o número médio de criancas por familia nesta cidade.

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