Professora Ana Hermínia Andrade. Período

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1 Estimação intervalar Professora Ana Hermínia Andrade Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise Período

2 Estimação Intervalar Vimos que como os estimadores pontuais especificam um único valor para o estimador, não podemos julgar qual a possível magnitude do erro que estamos comentendo. Daí, surge a idéia de construir os intervalos de confiança, de forma que a estimativa pontual esteja acompanhada de uma medida de erro. [ Intervalo Estimativa de Confiança = Pontual ± Erro de Estimação ] Mas como obter o erro de estimação??? Utilizando distribuição amostral do estimador pontual.

3 Estimação Intervalar intervalo de confiança (ou estimativa intervalar) Representa uma amplitude de valores que tem alta probabilidade (grau de confiança) conter o verdadeiro valor do parâmetro. Grau de confiança (ou nível de confiança) Uma medida que representa a probabilidade do intervalo conter o parâmetro populacional. Tal probabilidade é chamada de 1 α. Logo, α será a probabilidade de erro ao se afirmar que o intervalo contém o verdadeiro valor do parâmetro.

4 Intervalo de confiança para a média populacional Duas situações são consideradas quando desejamos estabelecer um intervalo de confiança para a média de uma população: 1 A variância σ 2 é conhecida; 2 A variância σ 2 é desconhecida;

5 Intervalo de confiança para a média populacional Adicionalmente, deve-se verificar se uma das duas suposições seguintes é satisfeita: 1 A amostra é proviniente de uma população normal. Pois, sabemos que se X N(µ, σ 2 ) então X N(µ, σ 2 /n). 2 A amostra é suficientemente grande, o que nos permite aproximar a distribuição da média amostral X pela distribuição normal, como na suposição anterior.

6 Intervalo de confiança para a média populacional De modo geral, estamos interessados em encontrar um intervalo na forma: IC = [X ε 0 ; X + ε 0 ] = [X ± ε 0 ] onde ε 0 representa a margem de erro ou erro de precisão em relação à média µ. Portanto, o objetivo é encontrar ε 0 tal que que é equivalente a P( X µ < ε 0 ) = 1 α, P( ε 0 < X µ < ε 0 ) = 1 α. A última expressão pode ser reescrita da forma P(µ ε 0 < X < µ + ε 0 ) = 1 α.

7 Caso 1: A variância σ 2 é conhecida Sabemos que X é o estimador de µ. Supondo que pelo menos uma das suposições está satisfeita, temos que X N(µ, σ 2 /n) e, então, X µ σ/ = Z N(0, 1). n Daí, P( µ ε 0 µ σ/ n P(µ ε 0 < X < µ + ε 0 ) = 1 α < X µ σ/ n < µ + ε 0 µ σ/ ) = 1 α. n P( ε 0 σ/ n < Z < +ε 0 σ/ n ) = 1 α. P( z α/2 < Z < +z α/2 ) = 1 α. z α/2 = ε 0 σ/ n e z α/2 = ε 0 σ/ n

8 Caso 1: A variância σ 2 é conhecida Logo, ε 0 = z α/2 σ n

9 Caso 1: A variância σ 2 é conhecida Dessa forma, se X for a média de uma amostra aleatoria de tamanho n, proveniente de uma população com variância conhecida, um intervalo de 100(1 α)% de confiança para a média populacional é dado por: ( ) IC µ 100(1 α)% = σ σ X z α/2 n, X + z α/2 n em que z α/2 é o quantil da normal padrão de nível α/2.

10 Exemplo Em uma industria de cerveja, a quantidade de cerveja inserida em latas se comporta como uma distribuição normal com média 350 ml e desvio padrão 3 ml. Após alguns problemas na linha de produção, suspeita-se que houve alteração na média. Uma amostra de 20 latas acusou uma média de 346 ml. Obtenha um intervalo de 95% para a quantidade média de cerveja inserida em latas, supondo que não tenha ocorrido alteração na variabilidade.

11 Exemplo Resposta: A variância σ 2 é conhecida, então o intervalo é dado por ( ) IC µ 100(1 α)% = σ σ X z α/2 n, X + z α/2 n Como 1 α = 0, 95, temos que α = 0, 05. Então, α/2 = 0, 025. Ou seja, devemos olhar na tabela da normal padrão qual o número z 0,025.

12 Exemplo Olhando na tabela, temos que z α/2 = 1, 96. Assim, o intervalo é obtido através de: ( IC µ 95% = 346 1, 96 3, , 96 3 ) = (344.69, ) Isto é, o intervalo de valores [344, 69; 347, 31] contém a quantidade média de cerveja inserida nas latas está com 95% de confiança. Logo, conclui-se que realmente houve alteração, após os problemas encontrados na linha de produção, na quantidade média de cerveja inserida em latas.

13 Intervalo de confiança para a média populacional Caso 2: A variância σ 2 é desconhecida O processo para se obter o intervalo de confiança é semelhante ao anterior. Contudo, como σ 2 é desconhecida, é preciso substitui-la pela variância amostral (S 2 ): n S 2 i=1 = (X i X ) 2 n 1 Nessa situação, a quantidade T = X µ S/ n t (n 1) tem distribuição t-student com n 1 graus de liberdade, e não mais distribuição normal padrão.

14 Distribuição t-student A distribuição t-student apresenta propriedades semelhantes as da distribuição normal padrão (como, por exemplo, simetria em torno de 0), no entanto, é mais dispersa. Em outras palavras, a distribuição t-student concentra mais probabilidades nas caldas do que a distribuição normal padrão. A medida que n cresce, a distribuição t-student se aproxima mais da distribuição normal padrão, pois S se aproxima mais de σ.

15 Distribuição t-student Existe uma distribuição t-student para cada valor dos graus de liberdade (n 1).

16 Intervalo de confiança para a média populacional Caso 2: A variância σ 2 é desconhecida Dessa forma, se X for a média de uma amostra aleatória de tamanho n, proveniente de uma população com variância desconhecida, um intervalo de 100(1 α)% de confiança para a média populacional é dado por: ( ) IC µ 100(1 α)% = S S X t (n 1,α/2) n, X + t (n 1,α/2) n, onde t (n 1,α/2) é o quantil da t-student de nível α/2. Obs: Se σ 2 for desconhecida, mas o tamanho da amostra for suficientemente grande, pode-se utilizar z α/2 no lugar de t (n 1;α/2)

17 Exemplo Deseja-se avaliar a dureza média do aço produzido sob um novo processo de têmpera. Uma amostra de 10 corpos de prova de aço produziu os seguintes resultados, em HRc: 36, 4 35, 7 37, 2 36, 5 34, 9 35, 2 36, 3 35, 8 36, 6 36, 9. Construir um intervalo de 95% de confiança para a dureza média do aço.

18 Resposta: Temos a média amostral dada por: X = E a variância amostral: X i (X i X ) (X i X ) 2 36, 4 0, 25 0, , 7 0, 45 0, , 2 1, 05 1, , 5 0, 35 0, , 9 1, 25 1, , 2 0, 95 0, , 3 0, 15 0, , 8 0, 35 0, , 6 0, 45 0, , 9 0, 75 0, , 865 n i=1 X i n = Então, n S 2 i=1 = (X i X ) 2 n 1 4, 865 = = Daí S =

19 Resposta: Além disso, n = 10 e 1 α = 0, 95, daí Assim, t (n 1,α/2) = t (9,0.025) = 2.26 IC µ 95% = ( X t (n 1,α/2) S n, X + t (n 1,α/2) S n ) = ( , ) = (35.625, ). Ou seja, com 95% de confiança o intervalo [35, 625; 36, 675] contém a dureza média do aço.

20 Intervalo de confiança para a proporção populacional Vimos que, para n suficientemente grande, ( ˆp N p, p(1 p) n ). O intervalo que estamos procurando é da forma IC = [ˆp ± ε 0 ] Assim, por um caminho semelhante ao adotado no caso da média, a margem de erro é dada por ε 0 = z α/2 p(1 p) n

21 Intervalo de confiança para a proporção populacional Dessa forma, se ˆp for a proporção de indivíduos com uma característica de interesse em uma amostra aleatória, de tamanho n, proveniente de uma população onde a proporção verdadeira de indivíduos com a característica é p, um intervalo de 100(1 α)% de confiança para essa proporção populacional p é dado por IC p 100(1 α)% = ( p(1 p) p(1 p) ˆp z α/2, ˆp + z α/2 n n em que z α/2 é o quantil da normal padrão com α/2 de nível de confiança. )

22 Na prática, o valor de p é desconhecido (é justamente p que queremos estimar!). Nessa situação, duas abordagens são razoáveis: 1 Abordagem otimista: substituir o valor de p por sua estimativa ˆp. Nesse caso, ( ) ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) IC p 100(1 α)% = ˆp z α/2, ˆp + z α/2 n n 2 Abordagem conservadora: substituir p(1 p) por seu valor máximo, 1/4, quando p = 1/2. Nesse caso, ( ) IC p 100(1 α)% = 1 1 ˆp z α/2, ˆp + z α/2 4n 4n

23 Exemplo Um estudo foi feito para determinar a proporção de famílias que tem telefone em uma certa comunidade. Uma amostra de 200 famílias é selecionada ao acaso, e 160 afirmam ter telefone. Qual o intervalo para p com 95% de confiança?

24 Exemplo Resposta:Temos que ˆp = 160/200 = 0, 8. Como 1 α = 0, 95 então z α/2 = z 0,025 = 1, 96. Assim, adotando abordagem otimista, temos ( ) IC µ ˆp(1 ˆp) ˆp(1 ˆp) 95% = ˆp z α/2, ˆp + z n α/2 n ( ) 0, 8(1 0, 8) 0, 8(1 0, 8) = 0, 8 1, 96, 0, 8 + 1, = (0.7446, ). Ou seja, com 95% de confiança o intervalo [74, 46%; 85, 54%] contém a porcentagem de famílias que tem telefone nessa comunidade.

25 Exemplo Se calcularmos o intervalo adotando abordagem conservadora, temos ( ) IC µ 95% = 1 1 ˆp z α/2, ˆp + z α/2 4n 4n ( ) 1 1 = 0, 8 1, 96, 0, 8 + 1, = (0.7307, ). Observe que, o intervalo com a abordagem conservadora fornece um intervalo maior.

26 Considerações: interpretação do intervalo de confiança Um erro comum é dizer que a probabilidade do parâmetro (µ ou p) estar no intervalo de 100(1 α)%. O parâmetro (µ ou p) não é uma variável aleatória, portanto não existe probabilidade sobre ele. O parâmetro é uma constante desconhecida, sobre a qual desejamos inferir, através das quantidades amostrais (X ou ˆp). Então, qual a interpretação do intervalo de confiança????? A interpretação correta é do intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do parâmetro (µ ou p) com 100(1 α)% de confiança.

27 Fatores determinantes do erro de estimação O erro de estimação dependende do(a): Tamanho da amostra (n): Quanto menor o tamanho da amostra, maior será o erro de estimação. Variabilidade da característica na população: Quanto maior for a variabilidade da característica cuja média está sendo estimada, maior será o erro de estimação. Nível de confiança (1 α): Se quisermos uma confiança maior no intervalo teremos um erro de estimação maior.