MAE Introdução à Probabilidade e Estatística II Resolução Lista 4

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1 MAE 9 - Introdução à Probabilidade e Estatística II Resolução Lista 4 Professor: Pedro Morettin e Profa. Chang Chian Exercício 1 Antes de testar se a produtividade média dos operários do período diurno é igual a produtividade média do período noturno, precisamos vericar se a variância é igual para os dois grupos. Em primeiro lugar note que S = = = 15 i=1 (X i X) 15 i=1 X i i=1 X i 1 15 ( 15 ) i=1 X i 15 ( 15 i=1 X i ) (1) a variância amostral dos ope- Seja S1 a variância amostral dos operários do diurno e S rários do noturno, então, pela equação (1), temos que S1 = 15 = 35, S = 15 = 105, 73 Então, a estatística para testar H 0 : σ 1 = σ 1 versus H 1 : σ 1 σ é dada por W = S S 1 F (n 1, n 1 1) sendo n 1 o tamanho da amostra da população 1 e n o tamanho da amostra da população. Sabendo que sob H 0, temos que W F (, ), logo a região crítica é tal que P (W RC) = P (W < f 1 W > f ) em que, considerando α = 0, 05, P (W < f 1 H 0 ) = 0, 05 e P (W < f H 0 ) = 0, 975. Assim, f 1 = 0, 3357 e f =, 9785 e RC =]0; 0, 3357[ ], 9785; + [. Como foi observado que W =, 96 / RC, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, os operários do período diurno e noturno tem variâncias iguais. 1

2 Feito isso, agora, desejamos testar H 0 : µ 1 = µ H 1 : µ 1 µ em que µ 1 é a média dos operários do período diurno e µ é a média dos operários do período noturno e as variâncias são iguais. Para essa situação, considere a seguinte estatística do teste X Ȳ S p 1/n1 + 1/n em que Sp = (n 1 1) S1 + (n 1) S e, sob H 0, T t n1 +n n 1 + n. Então, considerando um nível de signicância α = 0, 05, a região crítica é ] ; f 1 [ ]f ; + [ com P (T < f 1 H 0 ) = 0, 05 e P (T > f H 0 ) = 0, 05. Usando os dados das amostras, temos que S p = 70, 73, X = 1, Ȳ = 10 e 0, 65. Ou seja, a região crítica é ] ;, 0484[ ], 0484; + [ ao nível de signicância α = 0, 05. Como T / RC, não temos evidência para rejeitar H 0 e concluímos que não há diferença entre as produtividades média do período noturno e do período diurno. Exercício Desejamos testar H 0 : p M p F = 0, 1 H 1 : p M p F 0, 1 em que p M é a proporção de votantes masculinos do partido e p F é a proporção de votantes femininos do partido. Sob H 0, pode-se provar que Z = ( pˆ M pˆ F ) (p M p F ) pm ˆ (1 pˆ M ) + pˆ F (1 pˆ F ) n M n F N(0, 1) com n F = 65, n M = 400, pˆ F = 0, 3104 e pˆ M = 0, 45. A região de rejeição é da forma ] ; f 1 [ ]f ; [ com P (Z < f 1 H 0 ) = α e P (Z < f H 0 ) = 1 α. Ou seja, a região crítica é ] ; 1, 96[ ]1, 96; [ ao nível de signicância α = 0, 05. Como foi observado que sob H 0, Z = 0, 478 / RC, concluímos que a hipótese do partido está correta, baseado nestas evidências (não rejeitamos H 0 ). Exercício 3 Aqui temos o caso de uma amostra pareada em que podemos denir a variável D = Y X, sendo X a variável aleatória que corresponde ao número de peças produzidas na semana sem intervalo e Y a variável aleatória que corresponde ao número de peças produzidas na semana com intervalo. Assumindo normalidade para a variável D, temos que D N(µ D, σ D ). Queremos testar se a produtividade efetivamente sobe com o intervalo para o café, ou seja

3 H 0 : µ D = µ Y µ X = 0 H 1 : µ D = µ Y µ X > 0 em que µ X a média de peças produzidas na semana sem intervalo e µ Y a média de peças produzidas na semana com intervalo. ( ) Sabemos que D = Ȳ X N µ D, σ D. Considere SD n = 1 n i=1 n 1 (D i D). Então, a estatística n( D µd ) S D t n 1. Portanto, a região crítica é tal que P (T > t c ) = 0, 05, assumindo um nível de signicância de 5%. Como para esses dados, T t 5, a região crítica do teste é ], 015; + [. Foi observado que, sob H 0 (µ D = 0), 1, 753, em que foram usados os dados da tabela abaixo, sendo que a penúltima linha corresponde às médias e a última às variâncias amostrais ( D = 1, 5 e SD = 8, 3). Como T / RC, não rejeitamos H 0, e concluímos que baseado neste teste a produtividade não aumenta devido ao intervalo para café. Variável D D X Y ,5 3,5 34,0 8,3 43,9 33, Exercício 4 (a) Desejamos testar H 0 : σ A = σ B H 1 : σ A σ B em que σa é a variância da fábrica A e σ B seguinte estatística é a variância da fábrica B. Considere a W = S B S A em que SA é a variância amostral da fábrica A e S B B. é a variância amostral da fábrica 3

4 Sob H 0, sabemos que W F (n B 1, n A 1) = F (74, 99). Então, a região crítica é ]0; f 1 [ ]f ; [ com P (W < f 1 H 0 ) = α e P (W < f ) = 1 α. Usando os dados do problema, temos a seguinte região de rejeição: ]0; 0, 6468[ ]1, 55; + [ ao nível de α = 0, 05. Como observou-se que W = 1, 78 RC, rejeitamos a hipótese nula, ou seja, as variâncias não são iguais ao nível de signicância α = 0, 05. (b) Neste contexto, desejamos testar H 0 : µ A = µ B H 1 : µ A µ B em que µ A é a vida média da lâmpada da fábrica A e µ B é a vida média da fábrica B. Assumindo normalidade das populações, considere a seguinte estatística (utilizada quando as variâncias não são iguais e são desconhecidas) X A X B SA /n A + SB /n B em que X A é média amostral da fábrica A e X B é média amostral da fábrica B. Sob (A + B) H 0, sabemos que T t v, com v A /(n A 1) + B /(n B 1), com A = s A /n A e B = s B /n B. Além disso, a região crítica é ] ; f 1 [ ]f ; [ com P (T < f 1 H 0 ) = α e P (T < f H 0 ) = 1 α. Para os dados do problema, temos que s A = 8100, s B = 400 n A = 100, n B = 75, X A = 1190, XB = 130, A = 81 e B = 19, de forma que v 13 e T t 13.Ou seja, a região de rejeição é ] ; 1, 978[ ]1, 978; [ com nível de signicância α = 0, 05. Como, 41 RC, rejeitamos a hipótese nula, isto é, concluímos que a vida média das lâmpadas produzidas em fábricas distintas é diferente. Além disso, o intervalo( de conança para diferença das médias com conança γ = 0, 95 é IC(µ A µ B ; 0, 95) = X A X 1 B + f 1 S p ) 75 ; X A X 1 B + f S p = 75 ( 71, 394; 8, 606). Exercício 5 Supondo que as duas amostras são independentes, primeiramente vamos testar se a variância dos salários dos torneiros mecânicos é diferente da variância dos empregados da indústria mecânica em geral. 4

5 H 0 : σ T M = σ IM H 1 : σ T M σ IM em que σt M é a variância dos torneiros mecânicos e σ IM Considere a seguinte estatística é a variância da indústria mecânica. W = S T M S IM em que ST M é a variância amostral dos toneiros mecânicos e S IM é a variância amostral da indústria mecânica. Sob H 0, sabemos que W F (n T M 1, n IM 1) = F (4, 35). Então, a região crítica é ]0; f 1 [ ]f ; [ com P (W < f 1 H 0 ) = α e P (W < f ) = 1 α. Usando os dados do problema, temos a seguinte região de rejeição: ]0; 0, 4601[ ], 0617; + [ com nível α = 0, 05. Como observou-se que W =, 163 RC, rejeitamos a hipótese nula, ou seja, as variâncias não são iguais ao nível de signicância α = 0, 05. Sendo assim, agora queremos testar H 0 : µ T M = µ IM H 1 : µ T M µ IM em que µ T M é o salário médio dos torneiros mecânicos e µ IM é o salário médio da indústria mecânica. Assumindo normalidade das populações, considere a seguinte estatística (utilizada quando as variâncias não são iguais e são desconhecidas) X T M X IM ST M /n T M + SIM /n IM em que X T M é média amostral dos torneiros mecânicos e X IM é média amostral da indústria (T M + IM) mecânica. Sob H 0, sabemos que T t v, com v T M /(n T M 1) + IM /(n IM 1), com T M = s T M /n T M e IM = s IM /n IM. Além disso, a região crítica é ] ; f 1 [ ]f ; [ com P (T < f 1 H 0 ) = α e P (T < f H 0 ) = 1 α. Para os dados do problema, temos que s T M = 1, 565, s IM = 0, 75 n T M = 5, n B = 36, X T M = 4,, XIM = 3, 64, T M = 0, 065 e IM = 0, 001, de forma que v 39 e T t 39.Ou seja, a região de rejeição é ] ;, 03[ ], 03; [ com nível de signicância α = 0, 05. Como, 019 / RC, não rejeitamos a hipótese nula, isto é, concluímos que os salários médios não diferem, apesar da variância diferir. Exercício 6 Queremos testar se a nota média do grupo 1 é superior à nota média do grupo. Para isso, antes temos que avaliar se as variâncias são iguais, ou seja 5

6 H 0 : σ 1 = σ H 1 : σ 1 σ. Considere a seguinte estatística W = S S 1 em que S1 é a variância amostral do grupo 1 e S é a variância amostral do grupo. Sob H 0, sabemos que W F (n 1, n 1 1) = F (31, 9). Então, a região crítica é ]0; f 1 [ ]f ; [ com P (W < f 1 H 0 ) = α e P (W < f ) = 1 α. Usando os dados do problema, temos a seguinte região de rejeição: ]0; 0, 4841[ ], 0841; + [ ao nível de α = 0, 05. Como observou-se que W = 1, 78 / RC, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, as variâncias são iguais ao nível de signicância α = 0, 05. Feito isso, queremos testar se H 0 : µ 1 = µ contra H 1 : µ 1 > µ. Consciente que as variâncias são iguais e assumindo normalidade das populações temos para esse teste a estatística X Ȳ S P 1 n n n1 com Sp i=1 = (X i X) + n j=1 (Y j Ȳ ), denotando por X a variável aleatória correspondente às notas do grupo 1 e por Y a variável aleatória das notas do grupo. n 1 + n Sob H 0, sabemos que T t n1 +n. A região crítica neste caso é unilateral, da forma ]f ; + [ com P (T > f H 0 ) = α. Para os dados em questão, temos que n 1 = 30 e n = 3, S p = 0, 5047, X = 7, 8, Ȳ = 7, 4 e f = 1, Ou seja, a região crítica é ]1, 6707; + [ ao nível de signicância α = 0, 05. Como foi observado que, 16 RC, rejeitamos H 0, ou seja, temos evidência para armar que as notas do grupo 1 são superiores. Exercício 7 (a) Aqui temos o caso de uma amostra pareada em que podemos denir a variável D = X Y, sendo X a variável aleatória que corresponde à pressão medida depois do remédio e Y a variável aleatória que corresponde à pressão medida antes do remédio. Assumindo normalidade para a variável D, temos que D N(µ D, σ D ). Queremos testar se a pressão efetivamente sobe depois de tomar o remédio, ou seja H 0 : µ D = µ X µ Y = 0 H 1 : µ D = µ X µ Y > 0. ) Sabemos que D = X (µ Ȳ N D, σ D. Considere SD n = 1 n i=1 n 1 (D i D). Então, a estatística 6

7 n( D µd ) t n 1. S D Portanto, a região crítica é tal que P (T > t c ) = 0, 05, assumindo um nível de signicância de 5%. Como para esses dados, T t 6, a região crítica do teste é ]1, 943; + [. Foi observado que, sob H 0 (µ D = 0),, 6737, em que foram usados os dados da tabela abaixo. Como T RC, rejeitamos H 0, e concluímos que o remédio realmente tem o efeito colateral de aumentar a pressão diastólica. Variável D Dados Média Variância X ,43 80,9 Y , 54,48 D ,9 10,57 (b) Um intervalo de conança de γ = 0, 9 para o efeito médio da droga µ D é: IC(µ D ; 0, 9) = ] D S t D 90% n ; D S + t D 90% n [, em que t 90% é tal que P ( t 90% < T < t 90% ) = 0, 9. Assim, t 90% = 1, 943 e IC =]0, 90; 5, 67[. Exercício 8 Vamos testar primeiramente se as variâncias das populações são iguais: H 0 : σ A = σ B H 1 : σ A σ B em que σa é a variância da população A e σ B a seguinte estatística é a variância da população B. Considere W = S B S A em que SA é a variância amostral da população A e S B população B. Sob H 0, sabemos que W F (n B 1, n A 1) = F (7, 7). é a variância amostral da Então, a região crítica é ]0; f 1 [ ]f ; [ com P (W < f 1 H 0 ) = α e P (W < f ) = 1 α. Usando os dados do problema, temos a seguinte região de rejeição: ]0; 0, 1840[ ]5, 4355; + [ ao nível de α = 0, 0. Como observou-se que W = 1, 65 / RC, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, as variâncias são iguais ao nível de signicância α = 0, 0. Neste contexto, desejamos testar H 0 : µ A = µ B H 1 : µ A µ B 7

8 em que µ A é a média da população A e µ B é a média da população B. Assumindo normalidade das populações, considere a seguinte estatística X A X B S p 1/nA + 1/n B em que Sp = (n A 1)SA + (n B 1)SB, XA é a média amostral de A e n A + n B X B é a média amostral de B. Sob H 0, sabemos que T t na +n B e a região crítica é ] ; f 1 [ ]f ; [ com P (T < f 1 H 0 ) = α e P (T < f H 0 ) = 1 α. Para os dados do problema, temos que s A =, 86, s B = 3, 7, s p = 3, n A = 8, n B = 8, XA =, XB = 15, 5 e T t. Ou seja, a região de rejeição é ] ;, 65[ ], 65; [ com nível de signicância α = 0, 0. Como foi observado que 1, 73 / RC, não rejeitamos a hipótese nula, isto é, concluímos que as médias são iguais ao nível de signicância de %. 8